空间Lp(Ω)中强收敛和弱收敛的一些判别方法*

邢家省，高建全，罗秀华

(1.北京航空航天大学数学与系统科学学院，数学、信息与行为教育部重点实验室,北京 100191;2.平顶山教育学院，河南 平顶山 467000)

空间Lp(Ω)中强收敛和弱收敛的一些判别方法*

邢家省1，高建全2，罗秀华2

(1.北京航空航天大学数学与系统科学学院，数学、信息与行为教育部重点实验室,北京 100191;2.平顶山教育学院，河南 平顶山 467000)

考虑勒贝格控制收敛定理的应用和强收敛的充分必要条件问题，运用由勒贝格控制收敛定理导出的近代新结果，对一些古典结果的证明方法给予了新的简化处理，给出了强收敛的充分必要条件判别定理.

勒贝格控制收敛定理；强收敛；几乎处处收敛；依测度收敛；弱收敛

勒贝格控制收敛定理的证明和及其应用是经典实变函数论中的重要课题[1-4]，得到了相当广泛深刻的研究，引起了人们极大的研究兴趣.对许多结果,人们给出了多种多样的处理方法，其中许多处理方法是原始复杂的.笔者发现，可以利用近代给出的新的处理方法和结果，对一些经典结果给出新的系统的处理，而不增加难度和复杂性，推进新的认识，有利于理解接受.

1 勒贝格控制收敛定理和强收敛的充分必要条件

定理1就是著名的勒贝格控制收敛定理，显然是一种导致强收敛的充分条件,人们自然要去考虑强收敛的充分必要条件是怎样的.围绕此课题，人们进行了持续研究.

利用勒贝格控制收敛定理可以直接导出如下一系列的结论:

证明首先给出一个基本不等式:

|(|a+b|q-|a|q)|≤ε|a|q+C(ε)|b|qa,b∈R,ε>0，

其中常数C(ε)仅依赖于ε和q.

事实上，当q>1时，记g(t)=|t|q，则g′(t)=q|t|q-1sgnt.利用微分中值定理及带ε的Young不等式，得

|(|a+b|q-|a|q)|=|g(a+b)-g(a)|=|g′(ξ)b|≤q(|a+b|+|a|)q-1|b|≤

q(2|a|+|b|)q-1|b|≤q2q-1((2|a|)q-1+|b|q-1)|b|≤

ε|a|q+C(ε)|b|q.

|f|q-ε|fk-f|q)+=(C(ε)+1)|f|q.

证明必要性显然.

定理8和定理9，在文献[1-4]中给出的证明过程是相当复杂的.笔者利用定理2至定理7的结论，给出了简单处理，而定理2至定理7的证明是勒贝格控制收敛定理的直接深刻挖掘性应用,可以添加在教材里，而不增加难度和复杂性.

2 弱收敛和强收敛的关系

强收敛蕴含弱收敛，下面考察对弱收敛再增加什么条件能保证强收敛.

定理11的证明是泛函分析中的共鸣定理和Lq′(Ω)上泛函范数表示的直接应用.

证明由

再应用条件和定理11，即得结论.

注意到，当1

证明若‖f‖q=0，则结论显然成立.

定理13的结论，对q=1或q=∞的情形不成立.

例2 令

在定理7和定理8中,当p=∞时，充分性结论不成立，上面的例2，可以验证这一点.

定理14 设fk，f∈L1(Ω)，{fk}在L1(Ω)中弱收敛于f，则{fk}强收敛于f当且仅当对每一可测集B⊂Ω，mesB<∞，{fk}在B上依测度收敛于f.

3 弱收敛与有界性

利用共鸣定理和Lp′(Ω)上的有界线性泛函表示定理，即可证明定理15的结论.

利用简单函数集在Lp′(Ω)中的稠密性和{fk}在Lp(Ω)中的有界性，即可证明定理17.

例3 令

在定理19中,对p=1的情形是不成立的，可由上面的例3说明.

4 弱收敛判别定理

引理1[7]设fk，f∈Lp(Ω)，p≥1，fk→f在Lp(Ω)中强收敛，则{fk}依测度收敛于f，并且存在子序列{fkj}⊂{fk}，满足{fkj}在Ω上几乎处处收敛于f.

证明(ⅰ)由Fatou引理，即得结论.

(ⅱ)利用条件mesΩ<∞，{gk}在Ω上几乎处处收敛于g，推出{gk}依测度收敛于g.Ek={x∈Ω|gk(x)-g(x)≥ε}，mesEk→0，k→∞.

由Hölder不等式，得

当q=1时，引理3的(ⅲ)不再成立，例3可以说明这一点.当mesΩ=∞时，引理3的(ⅱ)不再成立.

定理20的条件是事先知道有f∈Lq(Ω)，此时利用简单函数集在Lq′(Ω)中的稠密性，即可给出证明.

[1] 周民强.实变函数论[M].北京：北京大学出版社，1995：183-191.

[2] 郭懋正.实变函数与泛函分析[M].北京：北京大学出版社，2005：115-133.

[3] 徐森林.实变函数论[M].合肥:中国科学技术大学出版社,2002：259-277.

[4] 那汤松,著.实变函数论[M].徐瑞云,译.北京：高等教育出版社，2010:148-159.

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[8] 邢家省.一致凸空间的一些性质及其应用[J].河南科学，2001，19(2)：111-117.

[9] 钟太勇，李德旺，余晓娟.可积函数空间Lp中的几种收敛性关系[J].四川理工学院学报:自然科学版,2007,20(6):11-14.

(责任编辑 向阳洁)

DiscriminanceofStrongandWeakConvergenceinSpaceLp(Ω)

XING Jiasheng1，GAO Jianquan2,LUO Xiuhua2

(1.Department of Mathematics,LMIB of the Ministry of Education,Beihang University,Beijing 100191，China;2.Pingdingshan Institute of Education,Pingdingshan 467000,Henan China)

The application of Lebesgue dominated convergence theorem and the necessary and sufficient condition of strong convergence are discussed in this paper.New simplified proof methods of some classic results are obtained by means of recent results derived by Lebesgue dominated convergence theorem and the discriminant theorem of the necessary and sufficient condition of strong convergence is demonstrated.

Lebesgue dominated convergence theorem;strong convergence;almost sure convergence;convergence in measure;weak convergence

1007-2985(2014)06-0001-06

2014-03-18

国家自然科学基金资助项目(11201020)；北京航空航天大学校级重大教改项目(201401)

邢家省(1964—)，男，河南泌阳人,北京航空航天大学数学与系统科学学院副教授,博士，主要从事偏微分方程、微分几何研究.

O174.2

A

10.3969/j.issn.1007-2985.2014.06.001