具有有界控制输入的不确定时滞系统的渐近稳定性*

陈衍峰

(通化师范学院 数学学院,吉林 通化 134002)

在控制系统的分析与综合中，一般假定控制输入不受任何约束.即控制输入可以取任何有限值.然而，对于众多的实际工程控制系统来说，所有的执行机构都或多或少的存在某种程度的物理约束.而且在对实际工程系统进行控制时，还必须将有界的控制输入对闭环系统性能的影响,尤其是对闭环系统稳定性的影响考虑进去.目前实际控制系统的控制约束一般分为两类.一类是研究当控制输入有界时，其闭环系统的控制特性下降较大，应该如何设计控制系统的控制器以使得闭环系统稳定；另一类是设计控制系统保证在有界控制输入下控制系统为全局渐近稳定的.前者需要开环系统满足在有界输入下为渐近零可控制的性质,而后者需要采用适当的方法,估计闭环系统的稳定区域.

本文利用李雅普诺夫稳定性定理和苏尔补引理，同时结合饱和函数的上确界，给出闭环系统是全局渐近稳定的方法.

1 问题描述

考虑时滞不确定系统

(1)

其中:x(t)为状态向量；d是时滞；A0和B为已知适当维数的常数矩阵；A1是已知的可逆矩阵；u(t)为输入向量，且满足下面的约束条件.

u(t)∈Ω=[-Δ,+Δ],Δ>0

(2)

ΔA是不确定矩阵，且满足下面的范数有界形式

ΔA=DFE1

(3)

其中，D和E1是已知适当维数的确定矩阵，F是未知矩阵，且满足FTF≤I.

本文的目的是，对不确定时滞系统(1)设计无记忆饱和控制器

u(k)=satΔ(Kx(t))=
sign(Kx(t))min{Δ,|Kx(t)|}

(4)

使其闭环系统渐近稳定.

根据上面所述，则对给定的矩阵D、E1和对称正定矩阵P1，存在对称正定矩阵P0，使得下式成立

(5)

定义一个开椭球体

Ω(P0,r)={x∈Rn|xTP0x

(6)

和饱和函数μ，则对一切x∈Rn有u(t)=satΔ(Kx(t))=(1-μ)Kx(t).因此，系统(1)的闭环系统为

(7)

2 控制器设计

定理1 如果系统(1)满足条件4，则

(1)当λmin(E)≥-1，系统(1)的闭环系统(7)全局渐近稳定；

(2)当λmin(E)<-1，系统(1)的闭环系统(7)局部渐近稳定.

证明 取lyapunov函数

于是，V(x(t))沿闭环系统式(7)有

其中，N=A0+(1-μ)BK+ΔA.将(5)代入上式有

3 数值算例

考虑不确定时滞系统

从而又可以求得

因此，根据定理1知系统(1)的闭环系统是局部渐近稳定的.