“ 三角形三边关系”的教学困惑与价值思考

郭巧红

几何图形边的关系在小学阶段，主要研究图形边的大小关系和位置关系。三角形是最简单的封闭图形，对三角形边的关系的探索，是小学研究几何图形边的大小关系的开始，是对三角形认识的一次升华，是从图形外部的整体感知到图形内部的内在规律的一次探索过程，是从图形要素的认识到要素之间关系的一次递进过程，是从直观观察到思想感悟的一次体验过程，它是将来学生进一步认识其他几何图形、探索图形奥秘的重要基础。

下面，以《三角形三边关系》一课为例，谈一谈笔者对这一课的教学困惑和教学价值的几点思考。

一、教学困惑：3 cm、5 cm、8 cm，能不能围成三角形

三角形三边关系是探究教学中的经典课例，教师在组织学生探究学习时，主要采用以下几个步骤：第一，提供探究材料，有的用小木棒（4根），有的用纸条（4段），木棒或纸条的长度由教师事先设计好。第二，提出探究猜测问题，任意选择3根（3段）是否能围成一个三角形？第三，组织实验验证，在教师的指导下，学生开始动手操作（尝试围三角形）。第四，学生汇报探究结论，这时争论的焦点开始聚集到3 cm、5 cm、8 cm能不能围成三角形？有的学生说“能”，并进行了展示，有的学生说“不能”，也进行了展示。虽然教师非常赞赏并支持后者的观点，但是，这种“不能围成”的展示常常由于缺乏说服力，而导致争论不休，探究结论无法统一，呈现模糊化。一节课结束了，这场争论却没有随着下课铃声的响起而停止，虽然教师一再强调“3 cm、5 cm、8 cm的三根木棒不能围成三角形”这一结论，但是对于那些通过亲自动手操作得到（其实有误差）“3 cm、5 cm、8 cm的三根木棒能围成三角形”这一结论的学生来说，始终疑惑不解。“不让学生围还能说清楚，围了反而就变糊涂了”，这便是教师执教这一课时存在的最大困惑。

二、价值思考：《三角形三边关系》一课的教学价值何在

探究一般由“猜想”和“验证”两部分组成，探究问题的结论一般是未知的或不确定的，这样才能激发学生的探究欲望，也才具备探究的意义。由于问题的结论未知或不确定，因此，可以组织学生凭借经验或直觉提出猜想，然后再验证猜想是否正确，最后得出结论。三角形的三条边具有什么关系？这个问题的结论对小学生而言是未知的、不确定的，是可以构成探究问题的。探究过程的难点在于提出 “三角形任意两边之和大于第三边”这样的猜想。然而，学生具有比较两条边的长短关系的经验，却缺乏“把两条边的长度加起来再与第三条边比较”的经验，因此，学生怎么能想到从这个独特的角度提出猜想，值得反思。另一方面，大多数教师都忽视了学生已有思维经验，只是重视通过操作小棒（牙签、吸管或纸条），组织学生进行验证。操作过程中会产生几个争议点，大多数学生已经能够凭借生活经验、直观观察或依据“两点之间线段最短”对猜想（多数情况下是由教师给出的）作出合理论证，那么接下来的操作小棒围三角形的验证过程还有必要吗？当学生能想到从“把两边加起来再与第三边比较”这一角度研究三角形三边的关系时，对于一个显然成立的结论还有必要进行探究吗？这样明显的“猜想”是否还有必要验证？通过操作小棒验证3 cm、5 cm和8 cm围不成三角形而引发学生的争议和困惑，这样的操作是否值得？积累这种围不成的操作活动经验，其价值何在？用意为哪般？

《义务教育数学课程标准（2011）》在第二学段的课程内容中提出“通过观察、操作，了解三角形两边之和大于第三边”的目标要求。由此可见，《课程标准》并没有在第二学段提出“探索”的过程目标要求，而是提出“了解”的结果目标要求，“了解”是指从具体实例中知道或举例说明对象的有关特征；根据对象的特征，从具体情境中辨认或者举例说明对象。“了解”的同义词是“知道”和“初步认识”，属于结果目标中要求最低的水平。因此，在本课的教学过程中，部分教师不仅没有准确把握好本课的结果目标要求，而且忽视了本课在过程目标中的数学思想价值。

《课程标准》在课程总目标中提出了“四基”的目标要求，强调教师应该引导学生在基础知识、基本技能的学习过程中，感悟数学的基本思想与积累基本活动经验。因此，从“四基”的角度分析，笔者认为：教师不应只看到本节课在基础知识和基本技能方面的教学价值，更不应花大量时间在动手操作上，教师应该看到本节课在“基本思想”和“基本活动经验”方面的教学价值，值得花一些时间让学生在知识与技能的学习过程中，感悟数学思想、积累数学活动经验。就如三角形三边关系中所蕴含的数学基本思想是“推理思想”，其中包括归纳思想、演绎思想和类比思想。教学建议如下。

第一，在新课展开的环节中，教师可以通过引导学生观察锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，让学生发现三角形中三条边之间的关系，归纳得出“三角形两边之和大于第三边”的直观结论。在这个过程中，让学生经历从个别事例的观察到归纳得出一般结论的过程，体会感悟数学中的归纳思想，积累归纳的思维活动经验。

第二，在知识巩固练习的环节中，教师可以通过设计一组具体练习，即给出三条线段的具体长度，让学生判断由这三条线段是否能围成三角形，并说明理由。在这个过程中，不仅能够让学生巩固了知识，形成了技能，而且还让学生经历了从一般结论到个别事例的具体应用过程，体会感悟数学中的演绎思想，积累演绎的思维活动经验。

第三，在知识拓展提高的环节中，教师可以启发引导学生从三角形的世界中走出来，进一步拓展观察和研究的视野，大胆思考并猜想四边形、五边形、六边形等多边形，它们的边与边之间是否同样也有相同或相似的规律？在这个过程中，让学生体会感悟数学中的类比思想，积累类比的思维活动经验。

在“三角形三边关系”的探索学习过程中，蕴涵着数学中的归纳思想、演绎思想和类比思想，它们是促进学生学会用推理进行问题思考的重要素材，亦是探索数学图形要素之间大小关系和位置关系的重要思想和经验基础。因此，从“四基”的角度分析，本课的教学不能仅仅停留在动手操作、直观观察，以及基础知识与基本技能的学习层面上，本节课更重要的教学价值应该是数学思想和活动经验，应该在操作与观察的基础上，将本课的教学聚焦到数学思想和活动经验的层面上，这样才能更好地为学生后续几何图形的学习与探索奠定重要的思想与经验基础。

（作者单位：福建省泉州市通政中心小学 责任编辑：王彬）