新课改中数理结合物理极值问题解法探讨

莫光华

摘要：实行新课改后，物理教学不在是单一的教授物理知识，而是通过综合各科知识，将各科知识与物理知识融会贯通，使知识一体化，所以新课改对教师的综合素质有了很大提高，特别是跨学科综合问题，数学与物理结合就是常见的一种类型，本文以物理极值问题与同仁共同探讨新课程中跨学科的教学思路与对教师的要求。

关键词：物理极值；导数；均值定理；二次函数

中图分类号：G632 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2014）11-124-01

在高中物理教学中，通常会遇到一类求某个物理量的最大或者最小问题.遇上这一类问题通常我们可以结合数学知识来解决.解决思路大致如下:

建模：通过物理知识求出待求物理量的函数表达式。数学应用：对该表达式求极值，可以采用二次函数，均值定理或者求导数来做。举例如下：

【例1】( 2003 年江苏春季高考）水平传送带被广泛地应用于机场和火车站，用于对旅客的行李进行了安全检查。右图为一水平传送带装置示意图，绷紧的传送带AB始终保持v＝1m/s的恒定速率运行，一质量为m＝4kg的行李无初速地放在A处，传送带对行李的滑动摩擦力使行李开始做匀加速直线运动，随后行李又以与传送带相等的速率做匀速直线运动。设行李与传送带间的动摩擦因数μ＝0.1，AB间的距离Ｌ＝2m，g取10m/s2。

（1）求行李刚开始运动时所受的滑动摩擦力大小与加速度大小；

（2）求行李从A运动到B的时间；

（3）行李在传送带上滑行痕迹的长度。

（4）如果提高传送带的运行速率，行李就能被较快地传送到B处。求行李从A处传送到B处的最短时间和传送带对应的最小运行速率。

解：设行李在匀加速直线运动中的时间为ｔ１，所走位移为x1，行李在匀速运动中的时间为ｔ２.(前三问略)

a＝μg=1m/s2

从A运动到B的时间t=t1+t2=2.5s

行李在传送带上滑行痕迹的长度Δx=x传-x1=0.5m

先利用物理知识建立数学模型，行李在匀加速直线运动中的时间为ｔ１，行李在匀速运动中的时间为ｔ２，则总时间ｔ＝ｔ１＋ｔ２

由匀变速直线运动规律可以知道

，带入ｔ１有：

所以有ｔ＝ ＋ ＝ 待求物理量求好之后，就应用数学知识进行求极值即可。

解一：由均值定理可知：当ｖ＝ ２ｍ／ｓ时。

ｔ最小，ｔｍｉｎ＝２ｓ

解二:函数看做ｔ＝ｆ（ｖ），ｔ对ｖ求一阶导数有：

ｔ＇＝ + 令一阶导数为零，有：ｖ＝２ｍ／ｓ时，ｔ最小，ｔｍｉｎ＝２ｓ

【例２】( ２０１２年全国２卷。２６）一探险队员在探险时遇到一山沟，山沟的一侧竖直，另一侧的坡面呈抛物线形状。此队员从山沟的竖直一侧，以速度v0沿水平方向跳向另一侧坡面。如图所示，以沟底的O点为原点建立坐标系Oxy。已知，山沟竖直一侧的高度为2h，坡面的抛物线方程为y= ，探险队员的质量为m。人视为质点，忽略空气阻力，重力加速度为g。求此人落到坡面时的动能；此人水平跳出的速度为多大时，他落在坡面时的动能最小？动能的最小值为多少？

解：设该队员在空中运动的时间为t，在坡面上落点的横坐标为x，纵坐标为y.由运动学公式和已知条件得:

x=v0t ①，2h-y=②

根据题意有③

由机械能守恒，落到坡面时的动能为

④，联立① ②③ ④得:

⑤

（２）建模---求函数解析式：由 ⑤式有

⑥

解一：将⑥式改写为：

由二次函数理论可知：当括号内部为零则v2有极小值，即此时 ，此时 ，则最小动能为

解二：将⑥式改写为： 由均值定理有；当 此时 ，则最小动能为

评析：笔者在2012年阅卷中发现例二中很多学生第一问已解决，但是第二问得分率不高，大多数不能用数学知识来变通，跨学科能力欠缺.通过以上二例可以发现高中物理中大多数极值问题都可以通过建立数学模型，然后利用数学知识来解决。这种思路简单明了。避免了繁琐的物理思维。有效减轻学生负担。提高了学习效率。

endprint

摘要：实行新课改后，物理教学不在是单一的教授物理知识，而是通过综合各科知识，将各科知识与物理知识融会贯通，使知识一体化，所以新课改对教师的综合素质有了很大提高，特别是跨学科综合问题，数学与物理结合就是常见的一种类型，本文以物理极值问题与同仁共同探讨新课程中跨学科的教学思路与对教师的要求。

关键词：物理极值；导数；均值定理；二次函数

中图分类号：G632 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2014）11-124-01

在高中物理教学中，通常会遇到一类求某个物理量的最大或者最小问题.遇上这一类问题通常我们可以结合数学知识来解决.解决思路大致如下:

建模：通过物理知识求出待求物理量的函数表达式。数学应用：对该表达式求极值，可以采用二次函数，均值定理或者求导数来做。举例如下：

【例1】( 2003 年江苏春季高考）水平传送带被广泛地应用于机场和火车站，用于对旅客的行李进行了安全检查。右图为一水平传送带装置示意图，绷紧的传送带AB始终保持v＝1m/s的恒定速率运行，一质量为m＝4kg的行李无初速地放在A处，传送带对行李的滑动摩擦力使行李开始做匀加速直线运动，随后行李又以与传送带相等的速率做匀速直线运动。设行李与传送带间的动摩擦因数μ＝0.1，AB间的距离Ｌ＝2m，g取10m/s2。

（1）求行李刚开始运动时所受的滑动摩擦力大小与加速度大小；

（2）求行李从A运动到B的时间；

（3）行李在传送带上滑行痕迹的长度。

（4）如果提高传送带的运行速率，行李就能被较快地传送到B处。求行李从A处传送到B处的最短时间和传送带对应的最小运行速率。

解：设行李在匀加速直线运动中的时间为ｔ１，所走位移为x1，行李在匀速运动中的时间为ｔ２.(前三问略)

a＝μg=1m/s2

从A运动到B的时间t=t1+t2=2.5s

行李在传送带上滑行痕迹的长度Δx=x传-x1=0.5m

先利用物理知识建立数学模型，行李在匀加速直线运动中的时间为ｔ１，行李在匀速运动中的时间为ｔ２，则总时间ｔ＝ｔ１＋ｔ２

由匀变速直线运动规律可以知道

，带入ｔ１有：

所以有ｔ＝ ＋ ＝ 待求物理量求好之后，就应用数学知识进行求极值即可。

解一：由均值定理可知：当ｖ＝ ２ｍ／ｓ时。

ｔ最小，ｔｍｉｎ＝２ｓ

解二:函数看做ｔ＝ｆ（ｖ），ｔ对ｖ求一阶导数有：

ｔ＇＝ + 令一阶导数为零，有：ｖ＝２ｍ／ｓ时，ｔ最小，ｔｍｉｎ＝２ｓ

【例２】( ２０１２年全国２卷。２６）一探险队员在探险时遇到一山沟，山沟的一侧竖直，另一侧的坡面呈抛物线形状。此队员从山沟的竖直一侧，以速度v0沿水平方向跳向另一侧坡面。如图所示，以沟底的O点为原点建立坐标系Oxy。已知，山沟竖直一侧的高度为2h，坡面的抛物线方程为y= ，探险队员的质量为m。人视为质点，忽略空气阻力，重力加速度为g。求此人落到坡面时的动能；此人水平跳出的速度为多大时，他落在坡面时的动能最小？动能的最小值为多少？

解：设该队员在空中运动的时间为t，在坡面上落点的横坐标为x，纵坐标为y.由运动学公式和已知条件得:

x=v0t ①，2h-y=②

根据题意有③

由机械能守恒，落到坡面时的动能为

④，联立① ②③ ④得:

⑤

（２）建模---求函数解析式：由 ⑤式有

⑥

解一：将⑥式改写为：

由二次函数理论可知：当括号内部为零则v2有极小值，即此时 ，此时 ，则最小动能为

解二：将⑥式改写为： 由均值定理有；当 此时 ，则最小动能为

评析：笔者在2012年阅卷中发现例二中很多学生第一问已解决，但是第二问得分率不高，大多数不能用数学知识来变通，跨学科能力欠缺.通过以上二例可以发现高中物理中大多数极值问题都可以通过建立数学模型，然后利用数学知识来解决。这种思路简单明了。避免了繁琐的物理思维。有效减轻学生负担。提高了学习效率。

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摘要：实行新课改后，物理教学不在是单一的教授物理知识，而是通过综合各科知识，将各科知识与物理知识融会贯通，使知识一体化，所以新课改对教师的综合素质有了很大提高，特别是跨学科综合问题，数学与物理结合就是常见的一种类型，本文以物理极值问题与同仁共同探讨新课程中跨学科的教学思路与对教师的要求。

关键词：物理极值；导数；均值定理；二次函数

中图分类号：G632 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2014）11-124-01

在高中物理教学中，通常会遇到一类求某个物理量的最大或者最小问题.遇上这一类问题通常我们可以结合数学知识来解决.解决思路大致如下:

建模：通过物理知识求出待求物理量的函数表达式。数学应用：对该表达式求极值，可以采用二次函数，均值定理或者求导数来做。举例如下：

【例1】( 2003 年江苏春季高考）水平传送带被广泛地应用于机场和火车站，用于对旅客的行李进行了安全检查。右图为一水平传送带装置示意图，绷紧的传送带AB始终保持v＝1m/s的恒定速率运行，一质量为m＝4kg的行李无初速地放在A处，传送带对行李的滑动摩擦力使行李开始做匀加速直线运动，随后行李又以与传送带相等的速率做匀速直线运动。设行李与传送带间的动摩擦因数μ＝0.1，AB间的距离Ｌ＝2m，g取10m/s2。

（1）求行李刚开始运动时所受的滑动摩擦力大小与加速度大小；

（2）求行李从A运动到B的时间；

（3）行李在传送带上滑行痕迹的长度。

（4）如果提高传送带的运行速率，行李就能被较快地传送到B处。求行李从A处传送到B处的最短时间和传送带对应的最小运行速率。

解：设行李在匀加速直线运动中的时间为ｔ１，所走位移为x1，行李在匀速运动中的时间为ｔ２.(前三问略)

a＝μg=1m/s2

从A运动到B的时间t=t1+t2=2.5s

行李在传送带上滑行痕迹的长度Δx=x传-x1=0.5m

先利用物理知识建立数学模型，行李在匀加速直线运动中的时间为ｔ１，行李在匀速运动中的时间为ｔ２，则总时间ｔ＝ｔ１＋ｔ２

由匀变速直线运动规律可以知道

，带入ｔ１有：

所以有ｔ＝ ＋ ＝ 待求物理量求好之后，就应用数学知识进行求极值即可。

解一：由均值定理可知：当ｖ＝ ２ｍ／ｓ时。

ｔ最小，ｔｍｉｎ＝２ｓ

解二:函数看做ｔ＝ｆ（ｖ），ｔ对ｖ求一阶导数有：

ｔ＇＝ + 令一阶导数为零，有：ｖ＝２ｍ／ｓ时，ｔ最小，ｔｍｉｎ＝２ｓ

【例２】( ２０１２年全国２卷。２６）一探险队员在探险时遇到一山沟，山沟的一侧竖直，另一侧的坡面呈抛物线形状。此队员从山沟的竖直一侧，以速度v0沿水平方向跳向另一侧坡面。如图所示，以沟底的O点为原点建立坐标系Oxy。已知，山沟竖直一侧的高度为2h，坡面的抛物线方程为y= ，探险队员的质量为m。人视为质点，忽略空气阻力，重力加速度为g。求此人落到坡面时的动能；此人水平跳出的速度为多大时，他落在坡面时的动能最小？动能的最小值为多少？

解：设该队员在空中运动的时间为t，在坡面上落点的横坐标为x，纵坐标为y.由运动学公式和已知条件得:

x=v0t ①，2h-y=②

根据题意有③

由机械能守恒，落到坡面时的动能为

④，联立① ②③ ④得:

⑤

（２）建模---求函数解析式：由 ⑤式有

⑥

解一：将⑥式改写为：

由二次函数理论可知：当括号内部为零则v2有极小值，即此时 ，此时 ，则最小动能为

解二：将⑥式改写为： 由均值定理有；当 此时 ，则最小动能为

评析：笔者在2012年阅卷中发现例二中很多学生第一问已解决，但是第二问得分率不高，大多数不能用数学知识来变通，跨学科能力欠缺.通过以上二例可以发现高中物理中大多数极值问题都可以通过建立数学模型，然后利用数学知识来解决。这种思路简单明了。避免了繁琐的物理思维。有效减轻学生负担。提高了学习效率。

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