代数式求值问题的解题策略

范军武

代数式求值问题是初中数学考试中出现频率较高的题型。这种题的灵活性相当高，不仅涉及代数式的化简、变形和运算，还需要熟练地掌握各种技能。在教学中，教师通过代数式的变形和整合，使复杂的运算转化为简单的运算，有利于培养学生的思维能力和创新意识。

一、借用整体思想求值

例1：3x+2y=1+3m ①2x+3y=1-m ②满足 x+y<0，求m的取值范围。（2012年甘肃初一数学竞赛训练题）

分析： 观察方程组中x和y的系数，发现两个方程中两个未知数的系数的代数和相等，因此可以用整体

思想。

解：①+②，得5x+5y=1+2m，即x+y= 。

因为x+y<0，所以 <0，所以m<0。

即m的取值范围是m<0。

评注：看到题目后不要盲目地计算，要善于观察，寻找题目的特点，从而寻找简便的方法。

二、巧用和差法

例2： 已知2x2+xy=7，xy+2y2=-5，则4x2-xy-6y2=___。（2013年全国初中数学竞赛训练题）

分析：4x2-xy-6y2中，其中代数式4x2、-xy和-y2，在已知的两个等式中可以用等式性质变形所得，然后用和差法。

解：因为2x+xy=7 ①

xy+2y2=-5 ②

①×2-②×3 得4x2+2xy-3xy-6y2=14-（-15）。

即 4x2-xy-6y2=29。

评注：本题考查学生的观察能力和探索能力，让学生在探索的过程中寻求解决问题，培养学生的创新意识和创新能力。

三、取特殊值

例3： 若x+y+1=0，则x3+y3+4x2y+4xy2+x3y+xy3+2x2y2

=- 。（2013年甘肃初一数学竞赛训练题）

分析：因为满足方程x+y+1-0的x，y有无数个，为了方便计算，可取满足此方程的一组特殊值x=-1，y=0直接代入待求的多项式中。

解：取方程x+y+1=0的一组特殊的解：x=-1，y=0，代入待求式得：原式=（-1）3+0+4×0+4×0+0+0+2×0=-1。

评注：常规解法是对待求多项式恒等变形，整理成x+y的新多项式（x+y）3+（xy（x+y）2+xy（x+y），然后再整体将x+y=-1代入计算，使用该方法对学生的代数式恒等变形的能力要求较高。而取特殊值，则简化了计算过程，提高了解题的效率。

四、设参数求值

例4：已知 = = ，求代数式 的值。（2013年全国初中数学竞赛训练题）

分析：已知条件只知道a、b、c三者之间的比例关系，是不可能求出各个字母的具体数值的。对于这种连比的题目，可设参数k进行代换求值，这是一种常用的方法。

解：设 = = =k，则a=4k，b=5k，c=6k。

当a=4k，b=5k，c=6k时， = =-21。

评注：此类问题，要求学生转换思路，代入参数，起到桥梁作用，最后又消去参数，从而解决问题。

五、利用因式分解法求值

例5：已知x2+x= ，求5x4+10x3+9x2+4x的值。（2013年全国初中数学竞赛训练题）

分析：常规解法是先从二元一次方程中解出，再代入待求式中，解出很麻烦。我们可以先将所求代数式恒等变形，看看能否利用已知条件。

解：已知条件可变形为5x2+5x-1=0，所以5x4+10x3+9x2+

4x=（5x4+5x3-x2）+（5x3+5x2-x）+（5x2+5x-1）+1=（5x2+5x-1）（x2+5x+1）+1=0+1=1。

评注：代数式化简求值的技巧通常是代数式恒等变形的技能、技巧和方法。在求代数式值时，尽量避免解方程（或方程组），而把所求代数式适当变形，然后把已知条件的代数式的值代入，使问题简单化。

（甘肃省通渭县什川乡太山学校）