数形结合之线性规划探析

周丽香

线性规划的应用问题是高考的热点，在高考中受到越来越多的重视，它与其他知识的交叉融合越来越丰富，与线性规划相关的新颖试题也层出不穷。如与不等式、函数、概率等交叉融合等。数形结合是数学思想的重要手段之一，而线性规划的思维精髓就是数形结合。所以，画移求答，理解线性规划解题程序的实质是解决此类问题的关键。

一、与概率相联系

例1：设不等式组0？燮x？燮20？燮y？燮2，表示平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是

（ ）。A. ， B. ， C. ， D. 。

解析：题目中0？燮x？燮20？燮y？燮2表示的区域如图1正方形所示，动点D可以存在的位置为正方形面积减去四分之一圆的面积部分，因此P= = ，故选D。

二、与基本不等式相联系

例2：设x，y满足约束条件3x-y-6？燮0x-y+2？叟0x？叟0，y？叟0，若目标函数z=ax+by（a>0，b>0）的最大值为12，则 + 的最小值为（ ）。

A. ， B. ， C. ， D.4。

解析：不等式表示的平面区域如图2所示阴影部分，当直线ax+by=z（a>0，b>0）过直线x-y+2=0与直线3x-y-6=0的交点（4，6）时，目标函数z=ax+by（a>0，b>0）取得最大12，即4a+6b=12，即2a+3b=6，而 + =（ + ） = +（ + ）？叟 +2= ，故选A。

三、与解析几何相联系

已知线性约束条件，探求线性截距——加减的形式（非线性距离——平方的形式，斜率——商的形式）目标关系的最值问题是本部分的重点。

例3：已知实数x、y满足x+y-1？燮0x-y+1？叟0y？叟-1，则w=x2+y2-4x-4y+8的最值为 。

解析：目标函数w=x2+y2-4x-4y+8=（x-2）2+（y-2）2，其含义是点（2，2）与可行域内的点的距离的平方。由实数x、y所满足的不等式组作可行域如图3所示：

可行域为图中△ABC内部（包括边界），易求B（-2，-1），结合图形知，点（2，2）到点B的距离为其到可行域内点的最大值，Wmax=（-2-2）2+（-1-2）2=25；点（2，2）到直线x+y-1=0的距离为其到可行域内点的最小值，Wmax= = 。

四、与函数相联系

例4：设二元一次不等式组x+2y-19？叟0x-y+8？叟02x+y-14？燮0所表示的平面区域为M，使函数y=ax（a>0，a≠1）的图像过区域的取值范围是（ ）。

A.[1，3]， B.2， ]， C.[2，9]， D.[ ，9]。

解：C，区域M是三条直线相交构成的三角形（如图4）， 显然a>1，只需研究过（1，9）、（3，8）两种情形，a1？燮9且a3？叟8即2？燮a？燮9。

五、与向量相联系

例5：已知点P的坐标（x，y）满足：x-4y+3？燮03x+5y？燮25x-1？叟0，及A（2，0），则 的最大值是___。

解析： =| |·cos ∠AOP即为 在 上的投影长，由x-4y+3=03x+5y=25？圯M（5，2），∴| |·cos ∠AOP的最大值为5。

六、与数列相联系

例6：设不等式组x>0y>0y？燮-nx+3n所表示的平面区域面积为D，记Dn内整点的个数为an（n？缀N？觹）：①求{an}的通项；②记{an}的前项和为Sn，且Tn= ，若对一切n？缀N？觹，总有Tn？燮m，求m的取值范围。

解：①画可行域知：an=3n。②知Sn= ，故Tn= ，Tn-Tn-1= - = = （n？叟2），当n=2时，Tn-Tn-1>0，即T1

当n=3时，Tn-Tn-1=0，即T2=T3；当n？叟4时，Tn-Tn-1<0，即T3>T4>T5…故当n=2或3时，Tn最大，最大值为 ，故m？叟 。

总之，线性规划作为高中数学的重要内容，与其他知识交叉融合得也越来越丰富，而其精髓就是等价转化与数形结合思想，这对培养学生的分析问题、解决问题的能力具有重要作用。

（山东省胶州市第二中学）