线性代数的几何直观性教学探讨

摘要：《线性代数》在本科教学中是极重要一门基础课程，是大多数自然科学的数学基础。然而通过代数的公理化的表述形式，使得它具有高度的抽象性的同时，也丢失了数学的直观性，这在教学上给老师与学生都带来很大困扰。本文探讨了在《线性代数》知识点在教学中的几何直观性解释，可使学生产生具象化的认识，从而理解这些知识点背后的意义，对学生学习这门课程具有积极性意义。

关键字：线性代数；本科教学；直观性

中图分类号：G642.41？摇 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2014）16-0062-02

《线性代数》是本科数学教学的主要课程之一，内容广、公式复杂、定理证明多，具有严密的数学逻辑。这种纯粹的代数思维十分抽象，对许多非数学专业学生而言，常常觉得难懂、难记、枯燥无味又难应用。因而大多数学生并无太大兴趣，也觉得没有多大的用处，很难激发学生使用线性代数建模解决实际问题。只是为应付考试而学，考过就忘得干干净净，没有起到什么教学效果。然而，《线性代数》是许多自然科学的基础，是人类智慧的结晶，其中的每一个数学公式的背后实际上都有其在特定场合中的深刻物理或几何意义。如果不熟悉《线性代数》的概念，要去学习自然科学，现在看来就和文盲差不多了。按照现行的国际标准，线性代数是通过公理化来表述的，它是第二代数学模型，具有相对的抽象性，丢失了数学的直观性。这就带来了教学上的困难。在教学过程中，我们往往很难把数学公式、定理背后的意义、思想具象化，而只能把枯燥的、抽象的公式、定理直接给学生。这显然违背人类的认识原理数学的教学规律。对于学生而言，一旦这些知识点没有办法用直觉去理解，就很难消化，自然很难引起学生的兴趣。

一、线性代数的抽象性与直观性

自从上世纪30年代法国布尔巴基学派兴起，数学通过公理化与系统化的描述从而获得相当大的成功与进步，这使得数学的严谨性得到很大提高。然而，这也存在着一定的副作用，因为这种公理化是以数学的直观性的丧失为代价。有些人认为数学的直观性与抽象性是相互矛盾的，因此直观性就被抛弃了。这造成了《线性代数》在教学上的难题。许多教科书从行列式开始，有的从矩阵着手，从起始处就都很让学生头疼。因为在现实世界中找不到一个直观的能与之对应的事物或对象。以同济《线性代数》教材为例，该教材从介绍逆序数开始，再用它定义没有什么直观道理可言的行列式，行列式的计算到底是代表什么？为什么这么算？绝大数教材中都没有解释。再接着引入矩阵，介绍矩阵乘法的定义，计算的方法与形式都是直接告诉学生就是这么做的，得到的结果代表什么？也没有解释。这种教学过程，自然是很难让学生接受，也是《线性代数》成为学生最为头疼的一门课。绝大多数学生觉得是被强迫进入一个符号世界中，全然无法领略其中的美妙、和谐与统一。上述这些问题都是直观性引发的问题，不能通过抽象的数学证明做回答，必须将这些问题具象化了才能解决。但事实上，线性代数不是纯粹的代数运算法则，有其直观的几何意义和物理意义。希尔伯特曾言：算术符号是文字化的图形，而几何图形则是图像化的公式；没有一个数学家能缺少这些图像化的公式。明白无误地告诉了我们线性代数与几何之间的关系，几何解释是可以让人们很容易将看到的平面和空间中物体与几何外观联系起来。学习这门课程也就不在是仅仅研究符号代数，从而有更直观但又和很深刻的含义。从宏观上来说，任何一种数学理论，它的主要概念与方法常常都出自于一些直观的简单的目标。要么是从对实验观察结果中分析得到，要么从几何图形及其解法过程中得出，再要么是从各种结果的类比想象出来。从微观上来看，《线性代数》中某个特定的定理、推论的证明，也同样常常有着某个比较直观和简单的思想。从这个思想出发的证明过程细节，也能从几何上进行直观的分析和推断。正如希尔伯特所述的，证明要能透过概念的严格定义和实际证明中的推演细节，描绘出证明方法的几何轮廓。事实上，很多数学上的发现常常都是数学家从几何直观性上大胆猜想到的结果，然后去寻找几何上的解释，最后再补上严格的数理证明。这正如我国著名拓扑学家张素诚先生所说的，对数学中的许多问题来说，“灵感”往往来自几何，表达的简洁靠代数，计算的精确靠分析。因此我们认为，在本科教学《线性代数》的过程中，要注重数学意义的讲解，建立学生的对《线性代数》的直观性即能够把这门课的抽象性具象化，才能化解学生对它的厌学情绪。只有在这个基础之上才能让学生对它的具体知识点、公式、定理等有深刻的理解与熟练使用。

二、《线性代数》的基本知识点的一些直观性解释

在教学过程中，我们将线性代数的几何直观性融入到了课堂中，通过这种几何解释，学生们普遍能较快接受。以空间、向量、矩阵为例，其几何解释主要如下所述。

1.空间。空间是线性代数的基础概念，是指具有一些特定性质的集合。如经常把所有的n维向量组成的集合称之为‘N维空间，但大多数学生却很难理解用“空间”这一名称来形容集合。因为我们熟悉的是我们生存在三维欧几里德空间，在初中高中的几何学中，学生们所接触的是点、线、面、三角形、圆……等直观的几何图形。而在线性代数中则变成向量、矩阵，再通过向量和矩阵的各种计算来描述空间中的对象，如A*x=b描述一个超平面、{x|xAx≤1，A对称正定}描述一个N维空间中的椭球，这种描述和表达相对于初中高中所学的方式，显然没有一点直观性，超过三维以上就很难让学生如何去想象。因而我们认为在讲解到空间概念时，需要常常把问题化成二维或三维几何空间中的图形，帮助学生理解。

2.向量与空间关系。一个空间实际上是无穷多个位置点组成，即是点的集合，在线性代数中表现为N维向量的集合。一个向量代表从原点到N维空间中的一个点的方向，是空间中一个存在的对象，可以定义出一些几何特性，比如它的长度。向量的加减法可以在解讲过程中用几何中的矢量平行四边形法则解释，向量内积通过几何中的投影来解释，而不是纯粹的向量中各个分量的代数加减乘除等。通过几何解释显然更容易让学生有比较具象化的认识，而纯粹的代数解释不能有生动体现向量意义，只能让学生死记硬背。

3.矩阵与向量关系。向量可以用空间中的对象来解释，它在空间中必然有它存在的方式，也有在空间中变化过程，即运动。矩阵从代数形式上看只是一个数的列表，它与向量的乘法，代数上的运算没有多少生气，看不出如此的计算规则有什么意义。然而从几何空间中却可以把二者关系理顺，而且非常直观：①如果把矩阵看作是一个几何空间中的坐标系，那么A*X=b就可以看成是在标准坐标系下的向量b在新坐标系A下的坐标。自然的矩阵与向量的乘法A*X的意义即为把X转换成为标准坐标系下的坐标，b中的系i分量值就可以从向量内积的角度解释为X在坐标系A中系i个数轴上的投影值。如果A的坐标系所描述的空间能够容纳b，那么方程A*X=b有解，否则无解。②如果把A*X=b当作向量X的一次线性变换，则矩阵A就可以解释为向量X在空间中的运动描述。A的各个特征向量此时即可以生动的表示为X的运动方向，相应的特征值就是在各个方向上的运动幅度。最终在各特征向量方向上的变化结果再几何合成为向量b。

在线代数的教学过程中，纯粹的代数理论教学不符合人类的认知知识方式，虽然它具有高度的严谨性和抽象性，但也丢失了直观性，因而很多知识点难于让学生理解。本文从线性代数的直观性角度做了探讨，从几何上的直观性来解释纯代数的难点。可以对学生学习这门课程产生比较直观的印象，激发学生对这门课程的兴趣和深层思考，对学生理解知识点背后的意义产生积极的影响。

参考文献：

[1]Lars Garding.数学概观[M].北京：科学出版社，2001.

[2]陈洪海，苑延华，母丽华.提高学生学习数学建模课程积极性的几点思考[J].高师理科学刊，2011，（3）.

作者简介：陈叶旺（1978-），男，福建人，华侨大学计算机科学与技术学院，讲师，研究方向为机器学习、凸优化、数据挖掘。