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张婷婷

考点1 分段函数的求值

例1 （2014年高考四川卷—12）设[f（x）]是定义在[R]上的周期为2的函数，当[x∈[-1，1）]时，[f（x）=][-4x2+2，-1≤x<0，x， 0≤x<1，]则[f（32）]= .

解析 [f（32）=][f（-12）=-4×14+2=1].

答案 1

点拨 本题考查了函数的周期性和分段函数的定义. 解决分段函数的关键在于抓住自变量的范围和它对应的解析式.根据自变量的取值分别代入相应的函数解析式求值.

考点2 利用分段函数求参数的取值范围

例2 （2014年高考浙江卷—15）设函数[f（x）=][x2+x，x<0，-x2， x≥0，]若[f（f（a））≤2，]则实数[a]的取值范围是 .

解析 由题意知，[f（a）<0，f2（a）+f（a）≤2，]或[f（a）≥0，-f2（a）≤2，]

解得[-2≤f（a）<0]或[f（a）≥0]，

因此，[f（a）≥-2].

当[a<0，a2+a≥-2]或[a≥0，-a2≥-2]时，解得[a≤2].

答案 [a≤2]

点拨 本题考查了复合函数和分段函数的概念.根据自变量的取值范围的不同分别代入相应的函数解析式，列出不等关系式，求出参数的取值范围.

考点3 分段函数的性质

例3 （2014年高考福建卷—7）已知函数[f（x）=][x2+0，x>0，cosx，x≤0，]则下列结论正确的是（ ）

A. [f（x）]是偶函数

B. [f（x）]是增函数

C. [f（x）]是周期函数

D. [f（x）]的值域为[[-1，+∞）]

解析 由于分段函数的左、右两边的函数图象不关于[y]轴对称，所以A项错误；由于图象左边不单调，所以B项错误；由于[f（x）]在[x>0]部分的图象没有周期性，所以C项错误；故选D.

答案 D

点拨 判断分段函数的单调性和奇偶性应遵循“分段判断，合并作答”的原则.

考点4 分段函数的图象问题

例4 已知函数[f（x）=2x， x<0，log2x，x>0，]若直线[y=m]与函数[f（x）]的图象有两个不同的交点，则实数[m]的取值范围是 .

解析 在坐标系中画出函数[f（x）]的图象，可见当[0

[5][-5][2][-2][-4]

答案 [0，1]

点拨 作出分段函数的各段图象，再观察分析.要特别注意[x，y]的变化范围.

考点5 求分段函数的解析式

例5 已知[f（x）=x2-2x+3]，将[f（x）]在[[m，m+1]]上的最小值记为[g（m）]，试求[g（m）]的表达式.

解析 因函数[f（x）]的对称轴[x=1]与区间[[m，m+1]]的位置关系分三种情况讨论，而[g（m）]的值因区间的不同而不同，故它应是关于[m]的一个分段函数.

（1）当对称轴在区间左侧，即[m>1]时，

函数[f（x）=x2-2x+3]在[[m，m+1]]上为增函数，

[g（m）=f（m）=m2-2m+3].

（2）当对称轴在区间上时，即[0≤m≤1]时，

[g（m）=f（1）=2].

（3）当对称轴在区间的右侧时，即[m<0]，

函数[f（x）=x2-2x+3]在[[m，m+1]]上为减函数，

[g（m）=f（m+1）=m2+2].

综上所述，[g（m）=m2+2， m<0，2， 0≤m≤1，m2-2m+3， m>1.]

点拨 求分段函数的解析式要遵循“先分（求）后总（求）”的原则.

1. 定义在[R]上的函数[f（x）]满足[f（x）=][log3（1-x）， x≤0，f（x-1）-f（x-2） ，x>0，]则[f（2014）=] .

2. 设函数[f（x）=2x+a， x<1，-x-2a，x≥1，若f（1-a）

3. 判断函数[f（x）=x2-x，x>0，x2+x，x≤0，]的奇偶性.

4. 已知函数[f（x）=ax2+2x+1，-20]有3个零点，则实数[a]的取值范围是 .

5. 甲同学家到乙同学家的途中有一公园，甲从家到公园的距离与乙从家到公园的距离都是2km，甲10时出发前往乙家.表示甲从家出发到达乙家为止经过的路程[y]（km）与时间[x]（分钟）的关系，试写出[y=f（x）]的函数解析式.

1. [log32]

2. [-340]

3. 偶函数

4. [（34，1）]

5. [f（x）=115x， x∈[0，30]，2， x∈（30，40），110x-2，x∈[40，60].]

考点1 分段函数的求值

例1 （2014年高考四川卷—12）设[f（x）]是定义在[R]上的周期为2的函数，当[x∈[-1，1）]时，[f（x）=][-4x2+2，-1≤x<0，x， 0≤x<1，]则[f（32）]= .

解析 [f（32）=][f（-12）=-4×14+2=1].

答案 1

点拨 本题考查了函数的周期性和分段函数的定义. 解决分段函数的关键在于抓住自变量的范围和它对应的解析式.根据自变量的取值分别代入相应的函数解析式求值.

考点2 利用分段函数求参数的取值范围

例2 （2014年高考浙江卷—15）设函数[f（x）=][x2+x，x<0，-x2， x≥0，]若[f（f（a））≤2，]则实数[a]的取值范围是 .

解析 由题意知，[f（a）<0，f2（a）+f（a）≤2，]或[f（a）≥0，-f2（a）≤2，]

解得[-2≤f（a）<0]或[f（a）≥0]，

因此，[f（a）≥-2].

当[a<0，a2+a≥-2]或[a≥0，-a2≥-2]时，解得[a≤2].

答案 [a≤2]

点拨 本题考查了复合函数和分段函数的概念.根据自变量的取值范围的不同分别代入相应的函数解析式，列出不等关系式，求出参数的取值范围.

考点3 分段函数的性质

例3 （2014年高考福建卷—7）已知函数[f（x）=][x2+0，x>0，cosx，x≤0，]则下列结论正确的是（ ）

A. [f（x）]是偶函数

B. [f（x）]是增函数

C. [f（x）]是周期函数

D. [f（x）]的值域为[[-1，+∞）]

解析 由于分段函数的左、右两边的函数图象不关于[y]轴对称，所以A项错误；由于图象左边不单调，所以B项错误；由于[f（x）]在[x>0]部分的图象没有周期性，所以C项错误；故选D.

答案 D

点拨 判断分段函数的单调性和奇偶性应遵循“分段判断，合并作答”的原则.

考点4 分段函数的图象问题

例4 已知函数[f（x）=2x， x<0，log2x，x>0，]若直线[y=m]与函数[f（x）]的图象有两个不同的交点，则实数[m]的取值范围是 .

解析 在坐标系中画出函数[f（x）]的图象，可见当[0

[5][-5][2][-2][-4]

答案 [0，1]

点拨 作出分段函数的各段图象，再观察分析.要特别注意[x，y]的变化范围.

考点5 求分段函数的解析式

例5 已知[f（x）=x2-2x+3]，将[f（x）]在[[m，m+1]]上的最小值记为[g（m）]，试求[g（m）]的表达式.

解析 因函数[f（x）]的对称轴[x=1]与区间[[m，m+1]]的位置关系分三种情况讨论，而[g（m）]的值因区间的不同而不同，故它应是关于[m]的一个分段函数.

（1）当对称轴在区间左侧，即[m>1]时，

函数[f（x）=x2-2x+3]在[[m，m+1]]上为增函数，

[g（m）=f（m）=m2-2m+3].

（2）当对称轴在区间上时，即[0≤m≤1]时，

[g（m）=f（1）=2].

（3）当对称轴在区间的右侧时，即[m<0]，

函数[f（x）=x2-2x+3]在[[m，m+1]]上为减函数，

[g（m）=f（m+1）=m2+2].

综上所述，[g（m）=m2+2， m<0，2， 0≤m≤1，m2-2m+3， m>1.]

点拨 求分段函数的解析式要遵循“先分（求）后总（求）”的原则.

1. 定义在[R]上的函数[f（x）]满足[f（x）=][log3（1-x）， x≤0，f（x-1）-f（x-2） ，x>0，]则[f（2014）=] .

2. 设函数[f（x）=2x+a， x<1，-x-2a，x≥1，若f（1-a）

3. 判断函数[f（x）=x2-x，x>0，x2+x，x≤0，]的奇偶性.

4. 已知函数[f（x）=ax2+2x+1，-20]有3个零点，则实数[a]的取值范围是 .

5. 甲同学家到乙同学家的途中有一公园，甲从家到公园的距离与乙从家到公园的距离都是2km，甲10时出发前往乙家.表示甲从家出发到达乙家为止经过的路程[y]（km）与时间[x]（分钟）的关系，试写出[y=f（x）]的函数解析式.

1. [log32]

2. [-340]

3. 偶函数

4. [（34，1）]

5. [f（x）=115x， x∈[0，30]，2， x∈（30，40），110x-2，x∈[40，60].]

考点1 分段函数的求值

例1 （2014年高考四川卷—12）设[f（x）]是定义在[R]上的周期为2的函数，当[x∈[-1，1）]时，[f（x）=][-4x2+2，-1≤x<0，x， 0≤x<1，]则[f（32）]= .

解析 [f（32）=][f（-12）=-4×14+2=1].

答案 1

点拨 本题考查了函数的周期性和分段函数的定义. 解决分段函数的关键在于抓住自变量的范围和它对应的解析式.根据自变量的取值分别代入相应的函数解析式求值.

考点2 利用分段函数求参数的取值范围

例2 （2014年高考浙江卷—15）设函数[f（x）=][x2+x，x<0，-x2， x≥0，]若[f（f（a））≤2，]则实数[a]的取值范围是 .

解析 由题意知，[f（a）<0，f2（a）+f（a）≤2，]或[f（a）≥0，-f2（a）≤2，]

解得[-2≤f（a）<0]或[f（a）≥0]，

因此，[f（a）≥-2].

当[a<0，a2+a≥-2]或[a≥0，-a2≥-2]时，解得[a≤2].

答案 [a≤2]

点拨 本题考查了复合函数和分段函数的概念.根据自变量的取值范围的不同分别代入相应的函数解析式，列出不等关系式，求出参数的取值范围.

考点3 分段函数的性质

例3 （2014年高考福建卷—7）已知函数[f（x）=][x2+0，x>0，cosx，x≤0，]则下列结论正确的是（ ）

A. [f（x）]是偶函数

B. [f（x）]是增函数

C. [f（x）]是周期函数

D. [f（x）]的值域为[[-1，+∞）]

解析 由于分段函数的左、右两边的函数图象不关于[y]轴对称，所以A项错误；由于图象左边不单调，所以B项错误；由于[f（x）]在[x>0]部分的图象没有周期性，所以C项错误；故选D.

答案 D

点拨 判断分段函数的单调性和奇偶性应遵循“分段判断，合并作答”的原则.

考点4 分段函数的图象问题

例4 已知函数[f（x）=2x， x<0，log2x，x>0，]若直线[y=m]与函数[f（x）]的图象有两个不同的交点，则实数[m]的取值范围是 .

解析 在坐标系中画出函数[f（x）]的图象，可见当[0

[5][-5][2][-2][-4]

答案 [0，1]

点拨 作出分段函数的各段图象，再观察分析.要特别注意[x，y]的变化范围.

考点5 求分段函数的解析式

例5 已知[f（x）=x2-2x+3]，将[f（x）]在[[m，m+1]]上的最小值记为[g（m）]，试求[g（m）]的表达式.

解析 因函数[f（x）]的对称轴[x=1]与区间[[m，m+1]]的位置关系分三种情况讨论，而[g（m）]的值因区间的不同而不同，故它应是关于[m]的一个分段函数.

（1）当对称轴在区间左侧，即[m>1]时，

函数[f（x）=x2-2x+3]在[[m，m+1]]上为增函数，

[g（m）=f（m）=m2-2m+3].

（2）当对称轴在区间上时，即[0≤m≤1]时，

[g（m）=f（1）=2].

（3）当对称轴在区间的右侧时，即[m<0]，

函数[f（x）=x2-2x+3]在[[m，m+1]]上为减函数，

[g（m）=f（m+1）=m2+2].

综上所述，[g（m）=m2+2， m<0，2， 0≤m≤1，m2-2m+3， m>1.]

点拨 求分段函数的解析式要遵循“先分（求）后总（求）”的原则.

1. 定义在[R]上的函数[f（x）]满足[f（x）=][log3（1-x）， x≤0，f（x-1）-f（x-2） ，x>0，]则[f（2014）=] .

2. 设函数[f（x）=2x+a， x<1，-x-2a，x≥1，若f（1-a）

3. 判断函数[f（x）=x2-x，x>0，x2+x，x≤0，]的奇偶性.

4. 已知函数[f（x）=ax2+2x+1，-20]有3个零点，则实数[a]的取值范围是 .

5. 甲同学家到乙同学家的途中有一公园，甲从家到公园的距离与乙从家到公园的距离都是2km，甲10时出发前往乙家.表示甲从家出发到达乙家为止经过的路程[y]（km）与时间[x]（分钟）的关系，试写出[y=f（x）]的函数解析式.

1. [log32]

2. [-340]

3. 偶函数

4. [（34，1）]

5. [f（x）=115x， x∈[0，30]，2， x∈（30，40），110x-2，x∈[40，60].]