重基础 强能力 倡探究 现思想

杨文金

高考数学试卷总体上延续了前几年的命题风格，体现了以稳定为主的命题思路，但感觉整体难度略高于去年.加大了对“关注过程，渗透思想，突出能力”的考查力度，出现了一系列由浅入深的“过程”题，润物细无声地渗透了数学思想方法，开拓了思维，发展了能力.题目的呈现形式和内容丰富多彩，既着眼于熟悉的题型和在此基础上的演变，又着眼于情景的创新，而且注意根据考查目标的差异采用不同的呈现方式，这都有利于考生稳定发挥其真实的数学水平，对于改善学习方式有较好的导向作用.

1.重基础，体现数学课程的基础性

试题紧密联系考生的学习实际，直接考查基础知识和基本技能及运用数学思想方法解决问题的能力，注重对数学核心内容的考查，加强了知识的有效整合，提高了试卷的概括性和综合性.

例1 （2014年高考陕西卷—11）已知[4a=2，][lgx=a，]则[x]= .

解析 [∵4a=22a=2，lgx=a，∴a=12，] [lgx=a=12，][所以x=1012=10.]

例2 （2014年高考广东卷—4）若实数[k]满足[0

A.离心率相等

B. 虚半轴长相等

C. 实半轴长相等

D. 焦距相等

解析 [∵00，25-k>0.]

从而两曲线均为双曲线，

又25+（9-[k]）=34-[k]=（25-[k]）+9，

故两双曲线的焦距相等.

答案 D

例3 （2014年高考四川卷—4）若设[a>b>0，][c

A. [ac>bd] B. [ac

C. [ad>bc] D. [ad

解析 ∵[c-d>0]，[-1d>-1c>0.]

又[a>b>0]，∴[-ad>-bc>0]，∴[ad

答案 D

点拨 例1考查了指、对数函数的运算，例2考查了双曲线的方程；例3主要考查不等式的基本性质. 以上各题所考查的内容，图形简洁，结论清晰，充分体现试题的基础性，题目既相互独立，又相互联系，和谐统一. 这种直接考查基础知识与基本技能的考法有效提高了考查结果的效度和信度.

2.加强应用，重视实践，注重能力

新课程标准要求考生面对实际问题时，能够主动尝试从数学的角度运用所学的知识和方法寻求解决问题的策略和方法. 近几年试题不断创新，突出问题解决，关注考生的发展，因此试卷将会涌现出一大批创新试题，背景将会更加贴近现实生活，更加符合考生的实际，更具有教育价值和操作性，实现对数学思想方法不同程度的考查.可能会出现一些思辨性、实验性较强和考查考生直觉思维能力、获取信息、分析信息等方面的问题，可能会在问题情境设计方式等方面有较大的突破，出现立意深刻、背景新颖并洋溢着时代气息的创新题、知识交汇题.

例4 （2014年高考新课标Ⅰ卷—18）从某企业的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方：

（1）求这500件产品质量指标值的样本平均数[x]和样本方差[s2]（同一组数据用该区间的中点值作代表）；

（2）由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值[Z]服从正态分布[N（μ，δ2）]，其中[μ]近似为样本平均数[x]，[δ2]近似为样本方差[s2].

①利用该正态分布，求[P（187.8

②某用户从该企业购买了100件这种产品，记[X]表示这100件产品中质量指标值为于区间（187.8，212.2）的产品件数，利用①的结果，求[EX].

附：[150]≈12.2.若[Z]～[N（μ，δ2）]，则[P（μ-δ

解析 （1）抽取产品质量指标值的样本平均数[x]和样本方差[s2]分别为

[x=170×0.02+180×0.09+190×0.22+200×0.33]

[+210×0.24+220×0.08+230×0.02=200.]

[s2=-302×0.02+-202×0.09+-102×0.22+0]

[×0.33 +102×0.24+202×0.08+302×0.02][=150.]

（2）①由（1）知，[Z]～[N（200，150）]，

从而[P（187.8

[=P（200-12.2

②由①知，一件产品中质量指标值为于区间（187.8，212.2）的概率为0.6826.

依题意知[X?B（100，0.6826）]，

所以[EX=100×0.6826=68.26].

点拨 本题主要考查了样本平均数、样本方差、正态分布、二项分布、数学期望等概念及相关计算，考查运用统计与概率的知识与方法解决实际问题的能力，考查数据处理能力、应用意识和创新意识.

3.活用探究性，关注活动过程，倡导研究性学习

试题通过设置观察、操作、探究、应用等方面的问题，给考生提供了一定的思考研究空间，较好地考查了考生在数学思考能力和数学活动过程等方面的数学素养，力求通过不同层次、不同角度和不同视点的设问，实现对数学思想方法不同程度的考查. 考查考生能否独立思考、能否从数学的角度去发现和提出问题，并加以探索研究和解决，体现了课程标准所倡导的学习方式.

例5 （2014年高考江苏卷—20）设数列{[an]}的前[n]项和为[Sn]. 若对任意的正整数[n]，总存在正整数[m]，使得[Sn=am]，则称{[an]}是“[H]数列.”

（1）若数列{[an]}的前n项和[Sn=2n]（[n∈N?]），证明：{[an]}是“[H]数列”；

（2）设数列{[an]}是等差数列，其首项[a1]=1. 公差[d<0].若{[an]}是“[H]数列”，求[d]的值；

（3）证明：对任意的等差数列{[an]}，总存在两个“[H]数列” {[bn]}和{[cn]}，使得[an=bn+cn]（[n∈N?]）成立.

解析 （1）证明：∵[Sn=2n]，

∴[an=Sn-Sn-1=2n-1（n≥2）]，

又[a1=S1=2=21]，∴[an=2， n=1，2n-1，n≥2.]

∴存在[m=n+1]使得[Sn=am.]

（2）由已知，得[S2=2a1+d=2+d]，因为{[an]}是“[H]数列”，所以存在正整数[m]，使得[S2=am]，即[2+d=1+（m-1）d]，于是[（m-2）d=1]，因为[d<0]，所以[m-2<0]，故[m=1]，从而[d=-1].

当[d=-1]时，[an=2-n]， [Sn=n（3-n）2]是小于2的整数，[n∈N?]，于是对任意的正整数[n]，总存在正整数[m=2-Sn=2-n（3-n）2]，使得[Sn=2-m=am]，所以{[an]}是“[H]数列”. 因此[d]的值为-1.

（3）证明：设等差数列{[an]}的公差为[d]，则[an=a1+（n-1）d=na1+（n-1）（d-a1）]（[n∈N?]）

令[bn=na1]，[cn=（n-1）（d-a1）]，则[an=bn+cn][（n∈N?）]

下面证明{[bn]}是“[H]数列”.

设{[bn]} 的前[n]项和为[Tn] ，则[Tn=n（n+1）2][（n∈N?）]，于是对任意的正整数[n]，总存在正整数[m=n（n+1）2]，使得[Tn=bm]，所以{[bn]}是“[H]数列”.

同理可证{[cn]}也是“[H]数列”.

所以，对任意的等差数列{[an]}，总存在两个“[H]数列” {[bn]}和{[cn]}，使得[an=bn+cn]（[n∈N?]）成立.

点拨 本题通过新概念，得到另一个新知识内容的阅读学习进而应用，可以说是另一种考查学习过程的构题方式.这类问题的核心是考查考生的概念理解能力、“新知识”和已学知识联系与转化的能力，以及现场学习、迁移和应用的能力.它既要求考生善于对新情景、新信息进行有效的加工和整合，形成对概念的认识，又要求考生能对所学知识进行必要的迁移、拓展、变形应用.所以，这类试题多有较好的区分度和可推广性.本题带有浓郁的探究成分，是数与形的有机结合，打破了以往程式化的设问方式，由于情况的不确定性，需要对不同情况进行分类讨论. 完成本题需要有较强的学习、迁移、分析、变形应用、综合、推理和探究能力.

4.注重综合运用，合理体现数学思想与选拔功能

为体现数学学业考试向高一级学校选拔和提供新生的目的，试题在命制过程中，充分注意到了设置合理的区分度，精心编制压轴题，综合考查考生的各种数学能力，以便正确区分不同考生的数学学习水平.

例6 （2014年高考新课标Ⅱ卷—21）已知函数[fx]=[ex-e-x-2x]

（1）讨论[fx]的单调性；

（2）设[gx=f2x-4bfx]，当[x>0]时，[gx>0]，求[b]的最大值；

（3）已知[1.4142<2<1.4143]，估计ln2的近似值（精确到0.001）.

解析 [∵f（x）=ex-e-x-2x，x∈R，]

[∴f（x）=ex+e-x-2][=ex+1ex-2≥2ex?1ex-2=0.]

[所以f（x）在R上单增.]

（2）[g（x）=f（2x）-4bf（x）]

[=e2x-e-2x-4x-4b（ex-e-x-2x）>0，x>0.]

∴[g（x）=2（ex+e-x-2）（ex+e-x-2b+2）]

①当[b≤2]时，[g（x）]≥0，当且仅当[x=0]时等号成立，

所以[g（x）]在[（-∞，+∞）]上单调递增，而[g（0）=0]，

所以对任意[x>0]，[gx>0].

②当[b>2]时，若[x]满足2<[ex+e-x<2b-2]，

即[0

因此当[0

综上，[b]的最大值为2.

（3）由（2）知，[g（ln2）=32-22b+2（2b-1）ln2.]

当[b=2]时，[g（ln2）=32-42+6ln2>0.]

所以[ln2>82-312>0.6928.]

当[b=324+1]时，[ln（b-1+b2-2b）=ln2，]

[g（ln2）=-32-22+（32+2）ln2<0].

所以[ln2<18+228<0.6934].

所以[ln2>82-312>0.6928].

所以ln2的近似值为0.693.

例5 （2014年高考江苏卷—20）设数列{[an]}的前[n]项和为[Sn]. 若对任意的正整数[n]，总存在正整数[m]，使得[Sn=am]，则称{[an]}是“[H]数列.”

（1）若数列{[an]}的前n项和[Sn=2n]（[n∈N?]），证明：{[an]}是“[H]数列”；

（2）设数列{[an]}是等差数列，其首项[a1]=1. 公差[d<0].若{[an]}是“[H]数列”，求[d]的值；

（3）证明：对任意的等差数列{[an]}，总存在两个“[H]数列” {[bn]}和{[cn]}，使得[an=bn+cn]（[n∈N?]）成立.

解析 （1）证明：∵[Sn=2n]，

∴[an=Sn-Sn-1=2n-1（n≥2）]，

又[a1=S1=2=21]，∴[an=2， n=1，2n-1，n≥2.]

∴存在[m=n+1]使得[Sn=am.]

（2）由已知，得[S2=2a1+d=2+d]，因为{[an]}是“[H]数列”，所以存在正整数[m]，使得[S2=am]，即[2+d=1+（m-1）d]，于是[（m-2）d=1]，因为[d<0]，所以[m-2<0]，故[m=1]，从而[d=-1].

当[d=-1]时，[an=2-n]， [Sn=n（3-n）2]是小于2的整数，[n∈N?]，于是对任意的正整数[n]，总存在正整数[m=2-Sn=2-n（3-n）2]，使得[Sn=2-m=am]，所以{[an]}是“[H]数列”. 因此[d]的值为-1.

（3）证明：设等差数列{[an]}的公差为[d]，则[an=a1+（n-1）d=na1+（n-1）（d-a1）]（[n∈N?]）

令[bn=na1]，[cn=（n-1）（d-a1）]，则[an=bn+cn][（n∈N?）]

下面证明{[bn]}是“[H]数列”.

设{[bn]} 的前[n]项和为[Tn] ，则[Tn=n（n+1）2][（n∈N?）]，于是对任意的正整数[n]，总存在正整数[m=n（n+1）2]，使得[Tn=bm]，所以{[bn]}是“[H]数列”.

同理可证{[cn]}也是“[H]数列”.

所以，对任意的等差数列{[an]}，总存在两个“[H]数列” {[bn]}和{[cn]}，使得[an=bn+cn]（[n∈N?]）成立.

点拨 本题通过新概念，得到另一个新知识内容的阅读学习进而应用，可以说是另一种考查学习过程的构题方式.这类问题的核心是考查考生的概念理解能力、“新知识”和已学知识联系与转化的能力，以及现场学习、迁移和应用的能力.它既要求考生善于对新情景、新信息进行有效的加工和整合，形成对概念的认识，又要求考生能对所学知识进行必要的迁移、拓展、变形应用.所以，这类试题多有较好的区分度和可推广性.本题带有浓郁的探究成分，是数与形的有机结合，打破了以往程式化的设问方式，由于情况的不确定性，需要对不同情况进行分类讨论. 完成本题需要有较强的学习、迁移、分析、变形应用、综合、推理和探究能力.

4.注重综合运用，合理体现数学思想与选拔功能

为体现数学学业考试向高一级学校选拔和提供新生的目的，试题在命制过程中，充分注意到了设置合理的区分度，精心编制压轴题，综合考查考生的各种数学能力，以便正确区分不同考生的数学学习水平.

例6 （2014年高考新课标Ⅱ卷—21）已知函数[fx]=[ex-e-x-2x]

（1）讨论[fx]的单调性；

（2）设[gx=f2x-4bfx]，当[x>0]时，[gx>0]，求[b]的最大值；

（3）已知[1.4142<2<1.4143]，估计ln2的近似值（精确到0.001）.

解析 [∵f（x）=ex-e-x-2x，x∈R，]

[∴f（x）=ex+e-x-2][=ex+1ex-2≥2ex?1ex-2=0.]

[所以f（x）在R上单增.]

（2）[g（x）=f（2x）-4bf（x）]

[=e2x-e-2x-4x-4b（ex-e-x-2x）>0，x>0.]

∴[g（x）=2（ex+e-x-2）（ex+e-x-2b+2）]

①当[b≤2]时，[g（x）]≥0，当且仅当[x=0]时等号成立，

所以[g（x）]在[（-∞，+∞）]上单调递增，而[g（0）=0]，

所以对任意[x>0]，[gx>0].

②当[b>2]时，若[x]满足2<[ex+e-x<2b-2]，

即[0

因此当[0

综上，[b]的最大值为2.

（3）由（2）知，[g（ln2）=32-22b+2（2b-1）ln2.]

当[b=2]时，[g（ln2）=32-42+6ln2>0.]

所以[ln2>82-312>0.6928.]

当[b=324+1]时，[ln（b-1+b2-2b）=ln2，]

[g（ln2）=-32-22+（32+2）ln2<0].

所以[ln2<18+228<0.6934].

所以[ln2>82-312>0.6928].

所以ln2的近似值为0.693.

例5 （2014年高考江苏卷—20）设数列{[an]}的前[n]项和为[Sn]. 若对任意的正整数[n]，总存在正整数[m]，使得[Sn=am]，则称{[an]}是“[H]数列.”

（1）若数列{[an]}的前n项和[Sn=2n]（[n∈N?]），证明：{[an]}是“[H]数列”；

（2）设数列{[an]}是等差数列，其首项[a1]=1. 公差[d<0].若{[an]}是“[H]数列”，求[d]的值；

（3）证明：对任意的等差数列{[an]}，总存在两个“[H]数列” {[bn]}和{[cn]}，使得[an=bn+cn]（[n∈N?]）成立.

解析 （1）证明：∵[Sn=2n]，

∴[an=Sn-Sn-1=2n-1（n≥2）]，

又[a1=S1=2=21]，∴[an=2， n=1，2n-1，n≥2.]

∴存在[m=n+1]使得[Sn=am.]

（2）由已知，得[S2=2a1+d=2+d]，因为{[an]}是“[H]数列”，所以存在正整数[m]，使得[S2=am]，即[2+d=1+（m-1）d]，于是[（m-2）d=1]，因为[d<0]，所以[m-2<0]，故[m=1]，从而[d=-1].

当[d=-1]时，[an=2-n]， [Sn=n（3-n）2]是小于2的整数，[n∈N?]，于是对任意的正整数[n]，总存在正整数[m=2-Sn=2-n（3-n）2]，使得[Sn=2-m=am]，所以{[an]}是“[H]数列”. 因此[d]的值为-1.

（3）证明：设等差数列{[an]}的公差为[d]，则[an=a1+（n-1）d=na1+（n-1）（d-a1）]（[n∈N?]）

令[bn=na1]，[cn=（n-1）（d-a1）]，则[an=bn+cn][（n∈N?）]

下面证明{[bn]}是“[H]数列”.

设{[bn]} 的前[n]项和为[Tn] ，则[Tn=n（n+1）2][（n∈N?）]，于是对任意的正整数[n]，总存在正整数[m=n（n+1）2]，使得[Tn=bm]，所以{[bn]}是“[H]数列”.

同理可证{[cn]}也是“[H]数列”.

所以，对任意的等差数列{[an]}，总存在两个“[H]数列” {[bn]}和{[cn]}，使得[an=bn+cn]（[n∈N?]）成立.

点拨 本题通过新概念，得到另一个新知识内容的阅读学习进而应用，可以说是另一种考查学习过程的构题方式.这类问题的核心是考查考生的概念理解能力、“新知识”和已学知识联系与转化的能力，以及现场学习、迁移和应用的能力.它既要求考生善于对新情景、新信息进行有效的加工和整合，形成对概念的认识，又要求考生能对所学知识进行必要的迁移、拓展、变形应用.所以，这类试题多有较好的区分度和可推广性.本题带有浓郁的探究成分，是数与形的有机结合，打破了以往程式化的设问方式，由于情况的不确定性，需要对不同情况进行分类讨论. 完成本题需要有较强的学习、迁移、分析、变形应用、综合、推理和探究能力.

4.注重综合运用，合理体现数学思想与选拔功能

为体现数学学业考试向高一级学校选拔和提供新生的目的，试题在命制过程中，充分注意到了设置合理的区分度，精心编制压轴题，综合考查考生的各种数学能力，以便正确区分不同考生的数学学习水平.

例6 （2014年高考新课标Ⅱ卷—21）已知函数[fx]=[ex-e-x-2x]

（1）讨论[fx]的单调性；

（2）设[gx=f2x-4bfx]，当[x>0]时，[gx>0]，求[b]的最大值；

（3）已知[1.4142<2<1.4143]，估计ln2的近似值（精确到0.001）.

解析 [∵f（x）=ex-e-x-2x，x∈R，]

[∴f（x）=ex+e-x-2][=ex+1ex-2≥2ex?1ex-2=0.]

[所以f（x）在R上单增.]

（2）[g（x）=f（2x）-4bf（x）]

[=e2x-e-2x-4x-4b（ex-e-x-2x）>0，x>0.]

∴[g（x）=2（ex+e-x-2）（ex+e-x-2b+2）]

①当[b≤2]时，[g（x）]≥0，当且仅当[x=0]时等号成立，

所以[g（x）]在[（-∞，+∞）]上单调递增，而[g（0）=0]，

所以对任意[x>0]，[gx>0].

②当[b>2]时，若[x]满足2<[ex+e-x<2b-2]，

即[0

因此当[0

综上，[b]的最大值为2.

（3）由（2）知，[g（ln2）=32-22b+2（2b-1）ln2.]

当[b=2]时，[g（ln2）=32-42+6ln2>0.]

所以[ln2>82-312>0.6928.]

当[b=324+1]时，[ln（b-1+b2-2b）=ln2，]

[g（ln2）=-32-22+（32+2）ln2<0].

所以[ln2<18+228<0.6934].

所以[ln2>82-312>0.6928].

所以ln2的近似值为0.693.