进制数及其转换的内在规律探究

王方云 赖秦超

摘 要 本文阐明了计算机采用二进制的原因以及进制数中最重要的两个概念。从常用的几种进制数基数的对应关系分析和说明了进制数内在规律性。通过实例深入分析了常见的几种进制数的转换规则及其转换规则的内在原因。

关键词 进制数 转换 内在规律

中图分类号：TP311 文献标识码：A

Hexadecimal Number and its Conversion Inherent Laws

WANG Fangyun， LAI Qinchao

（Sichuan Aerospace Polytechnic， Chengdu， Sichuan 610100）

Abstract Firstly， this paper clarifies the reason why computer adopts Binary System and two of most important concepts in it. Secondly， analyzes the corresponding relationship among a few frequently-used number systems and make clear the inner regularities of Number Systems. thirdly， analyzes deeply the rules of conversion among a few frequently-used Number Systems by examples and expounds the inner reason of the rules.

Key words number systems of computer； conversion； inner regularity

在人类社会发展的历史进程中，产生了多种多样的进制数。如七进制（7天一周）、十进制（人们最熟悉的进制数）、十二进制（12个月一年）、二十四进制（24小时一天）等。所以进制数对我们并不陌生。它实实在在地存在于我们的生活中。

在计算机学科领域使用的进制数是二进制（用B表示）、八进制（用O表示）、十进制（用D表示）、十六进制（用H表示）。对计算机硬件来说，它只使用二进制数。其优越性表现为结构简单、成本低廉、实现容易。它实现的机制为二稳态元件，运算简单，节省存储空间，方便采用逻辑运算。所以计算机硬件采用二进制是自然而然的事。

然而，人们习惯于十进制，同时在编程中会使用八进制数和十六进制数。这就不得不面临几种进制数的转换问题。

1 进制数中两个重要概念

（1）基数：描述一种进制数基本数字的个数，称为基数。如二进制的基数为2、八进制的基数为8、十进制的基数为10、十六进制的基数为16。

（2）位权：描述一个数值中某一个位置上数字的倍乘数的大小。

例题一：十进制数121.21 = 1 ？ + 2 ？ + 1 ？ + 2 ？ + 1 ？

这个十进制的展开表达式是大家都理解的。该十进制数中有三个1，两个2，但它们表示的数值大小不一样。就是通过位的权数来实现的。（第一个1的位权是，第二个1的位权是，第三个1的位权是，第一个2的位权是，第二个2的位权是）

2 常用进制数基数之间的对应关系（表1）

表1中可以看出：每一个纵列对应的每一种进制数的值是等效的。

3 常用进制数之间的相互转换

3.1 二、八、十六进制转换为十进制

转换规则：按位权展开。

例题二：111101.101B = 1 ？ + 1 ？ + 0 ？ + 1 ？ + 1 ？ + 1 ？ + 1 ？ + 0 ？ + 1？ = 61.625本转换规则完全可以通过例题一来理解。

3.2 十进制转换为二、八、十六进制

转换规则：

整数部分：除基取余，先余为低，后余为高（即：将十进制数的整数部分除以基数取余数，先得到的余数为低位，后得到的余数为高位。）

小数部分：乘基取整，先整为高，后整为低（即：将十进制数的小数部分乘以基数取整数，先得到的整数为高位，后得到的整数为低位。）

根据转换规则得：61.625D=111101.101B

对本规则的理解：本转换是例题二的逆运算。例题二中整数部分是乘以2的倍数，小数部分是除以2的倍数。所以，它的逆运算是整数部分除以2取余，小数部分乘以2取整。

3.3 二进制转换为八进制

转换规则：从小数点开始向左右两边分组，三位一组，不足三位，以0补齐，每一组（三位二进制数）对应一位八进制基数。

例题四：10111101.1101B=275.64O

对本规则的理解：

二进制转换为八进制为什么必须三位一组呢？

用一种进制数描述另一种进制数，只要这种进制数能够完全描述另一种进制数的所有基数，就完全描述了另一种进制数。在本转换中，要用二进制完全描述八进制数，只要二进制数能够描述八进制数中的最大基数就能实现对八进制数的完全描述。八进制数的最大基数是7，用二进制数111才能描述。所以，二进制转换为八进制必须三位一组。

3.4 二进制转换为十六进制

转换规则：从小数点开始向左右两边分组，四位一组，不足三四位，以0补齐，每一组（四位二进制数）对应一位十六进制基数。

例题五：1011111101.111011B=2FD.EC H

对本规则的理解：

二进制转换为十六进制为什么必须四位一组呢？

和二进制转换为八进制一样。用一种进制数描述另一种进制数，只要这种进制数能够完全描述另一种进制数的所有基数，就完全描述了另一种进制数。在本转换中，要用二进制完全描述十六进制数，只要二进制数能够描述十六进制数中的最大基数就能实现对十六进制数的完全描述。十六进制数的最大基数是F，用二进制数1111才能描述。所以，二进制转换为十六进制必须四位一组。

3.5 八进制与十六进制的相互转换

由于八进制数和十六进制数对二进制来说，只是三位和四位的问题（八进制是一个数对应三位二进制数，十六进制是一个数对应四位二进制数）。所以，这两种进制数的转换可以以二进制为中介。即先转换为二进制，再转换为相应的进制数。

例题六：73012 0 = 111 011 000 001 010 B

=0111 0110 0000 1010 B

= 7 6 0 A H

=760A H