用导数巧解一道竞赛压轴题

(江苏省姜堰中等专业学校，江苏 泰州 225500)

2014年第31届全国中学生物理竞赛预赛，其压轴题所涉及的知识点是斜抛运动．该题由于已知条件少，学生上手容易，但要想深入分析有一定的难度．竞赛组委会提供的两种解法都是用初等数学中的配方法进行求解，过程稍显繁琐，在此不再重复．笔者给出一种简便解法，以飨读者．

例题：一圆盘沿顺时针方向绕过圆盘中心O并与盘面垂直的固定水平转轴以匀角速度ω=4.43rad/s转动，圆盘半径r=1.00m，圆盘正上方有一水平天花板．设圆盘边缘各处始终有水滴被甩出．现发现天花板上只有一点处有水，取重力加速度g=9.80m/s2，求：

(1)天花板相对于圆盘中心轴O的高度；

(2)天花板上有水的那一点的位置坐标．

图1

解析：在圆盘所在平面内建立如图1所示的平面直角坐标系xOy，原点在圆盘中心O，x轴水平向右，y轴竖直向上．按题意，天花板上有水的地方仅仅是一点，该点必定是所有水滴运动轨迹的最高点，且只有第二象限的圆盘边缘或圆盘边缘与x轴负向的交点处甩出的水滴才有可能到达这一点，此点的高度也即天花板相对于圆盘中心O点的高度．

设水滴从圆盘边缘A处被甩出，AO与x轴负方向的夹角为θ．由上述可知，0≤θ<90°．当θ=90°时，水滴做平抛运动，不会甩到天花板上．

将A点处的速度v分解到水平和竖直方向，有：vx=vsinθ=ωrsinθ，vy=vcosθ=ωrcosθ．

利用导数求物理极值方便、快捷，可以拓宽学生的解题思路和视野，提高学生应用数学知识解决物理问题的能力．