高考模拟题精选之数学(理科)解答题参考答案

2014-08-21 15:31
中学生天地·高中学习版 2014年8期
关键词:定义域切线斜率

1. 解: (1) f(x)=2sinxcos(x-φ)=2sinx(cosxcosφ+sinxsinφ)=cosφsin2x+sinφ(1-cos2x)=cosφsin2x-sinφcos2x+sinφ=sin(2x-φ)+sinφ,所以f(x)max=1+sinφ.由题意可知,f(x)max=,所以sinφ=. 又0<φ<,所以φ=.

(2) 由(1)得 f(x)=sin2x-

+,所以A

,B

-.因为[OA] ·[OB] =->->0,所以∠AOB<.

2. 解: (1) 设R为△ABC的外接圆半径,由正弦定理===2R可得,acosB+

bcosA=2RsinAcosB+2RsinBcosA=2Rsin(A+B)=2RsinC=c.

(2) a2sin2B+b2sin2A=2a2sinBcosB+2b2sinAcosA.因为bsinA=asinB,所以2a2sinBcosB+2b2sinAcosA=2absin(A+B)=2absinC=4S,即a2sin2B+b2sin2A=4S.

3. 解: (1) f(x)=3x+sinxcosx-5sinx,f′(x)=3+cos2x-5cosx=2cos2x-5cosx+2=(2cosx-1)·(cosx-2).令f′(x)=0得cosx=.当x∈[0,2π]时,f′(x)=0共有两个根:x1=,x2=.当x∈0,

时,

时,-10;当x∈

,2π时,f′(x)<0.所以函数f(x)的单调递减区间为0,

,2π,单调递增区间为

.

(2) f′(x)=3+cos2x-5cosx的周期为2π.由(1)可知, f(x)在区间(0,+∞)上所有极小值点从小到大满足xn=2(n-1)π+(n=1,2,3,…).将xn代入f(x)=3x+sinxcosx-5sinx得f(xn)=3xn-,即所有点Pn(xn,f(xn))在同一直线y=3x-上.

4. 解: (1) 记甲、乙两人同时参加A岗位服务为事件EA,P(EA)==.

(2) 记甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件E,则P(E)==,所以甲、乙两人不在同一岗位服务的概率P(E)=1-P(E)=.

5. 解: (1) 由茎叶图可知,随机抽取的15天中空气质量类别为优或良的天数为5天, 所以可估计甲城市在11月份30天的空气质量类别为优或良的天数为10天.

(2) X的取值为0,1,2 .

P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==.

X的分布列为:

所以数学期望EX=0×+1×+2×=.

6. 解: (1) 由题意可得,甲、乙两人都没有抽中6号签的概率P==.

(2) 随机变量ξ=0,1,2,3,4.

P(ξ=0)==,P(ξ=1)==,P(ξ=2)==,P(ξ=3)==,P(ξ=4)==.

随机变量ξ的分布列为:

所以随机变量ξ的期望Eξ=0×+1×+2×+3×+4×=.

7. 解: (1) 因为=2+n-1=n+1,所以Sn=n2+n.当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2+n-(n-1)2-(n-1)=2n.又a1=S1=2也满足an=2n,所以数列{an}的通项公式为an=2n,n∈N*.

(2) 由题意知++…+=(4n-1)(①).当n≥2时,++…+=(4n-1-1)(②).①-②得=(4n-4n-1)=·4n-1(4-1)=4n,所以bn=2n·4n (n∈N*,n≥2).当n=1时,=·(4-1)=4,可得b1=8=2·4也满足bn=2n·4n,所以{bn}的通项公式bn=2n·4n,n∈N*.

8. 解: (1) 因为2anSn-[an][2]=1,所以当n≥2时,2(Sn-Sn-1)Sn-(Sn-Sn-1)2=1,整理得[Sn][2]-[Sn-1][2]=1.由2S1·S1-[S1][2]=1可得[S1][2]=1,所以数列{[Sn][2]}为首项和公差都是1的等差数列,所以[Sn][2]=n.

由an>0可知Sn>0,所以Sn=.当n≥2时,an=Sn-Sn-1=-.又a1=S1=1也满足an=-,所以{an}的通项公式an=-,n∈N*.

(2) 因为bn===-,所以Tn=1-+-+…+-=1-==. 又n≥1,所以Tn≥.依题意有>(m2-3m),解得-1

9. 解: (1) 在△PDF中,由PD=2EC,EC∥PD可得C为DF中点,所以CF=CD=AB.又AB∥CF,所以四边形ABFC为平行四边形,BF∥AC.因为AC?平面PAC,BF?平面PAC,所以 BF∥平面PAC.

(2) 因为平面ABCD⊥平面PDCE,∠PDC=90°,所以PD⊥平面ABCD,可得PD⊥AD,PD⊥CD.又∠ADC=90°,已知AD⊥AC,所以可建立如图1所示的空间直角坐标系D-xyz.

设直线BQ与平面PDB所成角为α,由点B(2,2,0),Q(0,2,t)(0≤t≤1)可得[BQ] =(-2,0,t).因为PD⊥平面ABCD,AC?面ABCD,所以AC⊥PD.又由ABCD为正方形可得AC⊥BD,所以AC⊥平面PDB,[AC] =(-2,2,0)是平面PDB的一个法向量,所以sinα==≥=,所以直线BQ与平面PDB所成角正弦值的最小值为.

10. 解: (1) 因为C′O⊥BD,AO⊥BD,C′O∩AO=O,所以BD⊥平面AOC′.又BD?平面ABD,所以平面AOC′⊥平面ABD.

(2) 如图2所示,过点C′作C′E⊥AO于点E. 由第(1)题可知平面AOC′⊥平面ABD,所以C′E⊥平面ABD,∠C′BE是BC′与底面ABD所成的角. 设C′E=x,AB=2y,则sin∠C′BE=.

过点E作EF⊥AB于点F,联结C′F,则∠C′FE是平面C′AB与平面ABD所成角的二面角. 由ABCD为菱形、∠A=60°可知AO=C′O=y. 又由已知得tan∠C′FE=2+2,所以EF=. 因为∠EFA=90°,∠EAF=∠A=30°,所以AE=2EF=.又OE==,由OE+AE=+=AO=y可得x=y,所以sin∠C′BE==,∠C′BE=30°.

11. 解: (1) 因为e====,所以=.又椭圆过点

,,所以+=1. 解得a2=4,b2=3,椭圆的方程为+=1.

(2) 如果直线BC的斜率不存在,则BC垂直x轴于点F.由直线x==4与x轴交于点G可得G(4,0),又F(1,0),BC∥DE,所以===·=

2=.

如果直线BC的斜率存在,由点F(1,0)可设直线BC的方程为y=k(x-1)(k≠0),代入椭圆C:+=1得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0.设B(x1,y1),C(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=.

因为==·=·===<.

综上可得的最大值为.

12. 解: (1) 依椭圆的定义可知,点P的轨迹为焦点在x轴上的椭圆,且a=,c=,b=,所以动点P的轨迹方程为+=1.

(2) 根据题意,作出符合条件的图形,如图3所示.如果圆的切线的斜率不存在,则AB方程为x=±,此时OQ=.

如果圆的切线的斜率存在,设圆的切线方程为y=kx+b,代入椭圆方程得(1+2k2)x2+4kbx+2b2-6=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-,x1·x2=.

x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+b)·(kx2+b)=(1+k2)x1x2+kb(x1+x2)+b2=(1+k2)·+kb·-

+b2= (①). 又直线AB与圆x2+y2=2相切,所以原点O到直线AB的距离=,b2=2(1+k2),代入①式得x1x2+y1y2=0,所以OA⊥OB. 又Q为AB中点,所以OQ=AB.

因为AB===·,所以由x1+x2=-,x1x2=,b2=2(1+k2)可得AB=2.因为≥0,所以AB≥2(当且仅当k=0时取等号).当k≠0时,=≤,所以AB≤3 (当且仅当k=±时取等号).

综上可得2≤AB≤3,所以≤OQ≤.

13. 解: (1) 设P(x0,y0),因为点A,B的坐标分别为(0,-b),(0,b),所以kPA·kPB=.由+=1可得[x0][2]=a2-[y0][2],则kPA·kPB=-,所以=.又2a=4,解得a=2,b=1,椭圆的方程为+y2=1.

(2) 如果过点0

,的直线的斜率不存在,则M,N两点中有一个点与A点重合,不符合题意.所以直线MN的斜率存在.

设MN的斜率为k,则直线方程为y=kx+,代入椭圆方程得(1+4k2)x2+kx-=0.设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=-,x1·x2=-,所以y1+y2=k(x1+x2)+=,y1·y2=k2x1·x2+k(x1+x2)+=.因为A(0,-1),所以kAM=,kAN=,kAM·kAN=·==,化简得kAM·kAN=-1,所以以MN为直径的圆必过点A.

如果△AMN为等腰直角三角形,设MN的中点为P,则AP⊥MN.因为点P的坐标为

,即-

,所以kAP =-.又直线MN的斜率为k,AP⊥MN,所以-=-,解得k=±,所以直线MN的方程为y=±x+.

14. 解: (1) f(x)的定义域为(0,+∞).由f(x)=x2-2x+1+alnx得f′(x)=,令Δ=4-8a,当a≥时,Δ≤0,2x2-2x+a≥0.又x>0,所以f′(x)≥0,函数f(x)在(0,+∞)上单调递增.

当00,方程2x2-2x+a=0有两个不相等的正根x1,x2.不妨设x10;当x∈(x1,x2)时,f′(x)<0.

所以当0

(2) 由(1)可知,当0

令g(a)=1-a+aln,则g′(a)=1+ln.由0g

,即f(x1)+f(x2)>.

15. 解: (1) 由题意可知x>0,所以f′(x)=x++3.设A(x0,y0),则AB2=[x0][2]+(y0-3)2=[x0][2]+x0

+2=2[x0][2]++2a≥2a+2a,当且仅当2[x0][2]=时,AB2取得最小值4.当a>0时,2a+2a=4,解得a=2-2;当a<0时,-2a+2a=4,解得a=-2-2.

(2) 曲线y=f(x)在点M1

,处的切线斜率为f′(1)=4+a=2,所以a=-2,g(x)=x2-2lnx+3x-2x+

=x2-2lnx+x-.

对任意的x1∈(0,2),存在x2∈[1,2],使得g(x1)≥h(x2)成立等价于h(x2)min≤g(x1)min.

g′(x1)=x1-+1=,因为x1>0,所以当01时,g′(x1)>0,即函数g(x1)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)单调递增,所以g(x1)min=g(1)=0.

当b=0时,h(x2)=-2,h(x2)min≤g(x1)min恒成立,所以b=0满足题意;

当b>0时,应有h(x2)min=h(1)=b-2≤0,解得0

当b<0时,应有h(x2)min=h(2)=2b-2≤0,解得b<0.

综上可得,满足题意的实数b的取值范围为(-∞,2].

16. 解: (1) 函数f(x)的定义域为(0,+∞).由f(x)==1+得f′(x)=,令f′(x)=0得x=e.当x∈(0,e)时,f′(x)>0,函数f(x)单调递增;当x∈(e,+∞)时,f′(x)<0,函数f(x)单调递减.所以如果0

由上述分析可知,对一切x∈(0,+∞), f(x)≤,即≤恒成立,所以lnx≤,当且仅当x=e时取等号.因为2≠e,所以ln2

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