浅谈定积分与二重积分中的统一解题技巧

肖菊霞

【摘 要】积分学是高等数学的主要分支。定积分与二重积分的概念和计算是积分学的重要组成部分，其在在几何、物理、概率统计等方面有着重要应用。二重积分作为定积分的推广，其二者有着共同的解题技巧，包括利用几何意义、对称性、换元法来简化定积分与二重积分的计算。

【关键词】定积分；二重积分；对称性；几何意义；换元法

0 前言

如何解题对于学好高等数学的重要性毋庸置疑，定积分与二重积分的计算是高等数学的一个重点， 也是难点。而许多学生见到稍难一点的题目就无从下手，不知如何思考，这样就影响了学习的积极性。定积分作为积分学的基础，在二重积分的计算中起着重要作用，掌握起来也相对比较容易。本文总结出了一些定积分二重积分共有的计算技巧，可以让学生在学好定积分的基础上掌握二重积分的计算技巧，通过类比与推广，达到巧妙解决一般的定积分与二重积分的计算问题。

1 利用几何意义计算积分值

2 利用对称性计算积分值

3 利用换元法简化计算

3.1 牛顿—莱布尼兹公式给定积分的计算提供了一种有效的方法，但它完全依赖于求被积函数的原函数，但有时原函数是很难直接求出来的，此时可采用定积分的换元法。

3.2 二重积分计算的一般方法是将其化为两次单积分，但当积分区域难于确定定积分限或者被积函数比较复杂时，可以考虑应用换元法。

4 建议

定积分的通常计算方法是得到原函数，再利用牛顿-莱布尼茨公式进行计算；二重积分的一般计算步骤是：①画出积分域；②选择坐标系，选择时要遵循i域边界应尽量多为坐标线ii被积函数关于坐标变量易分离；③确定积分序，需注意i积分域分块要少ii累次积分好算为妙；④写出积分限，方法有图示法和不等式法。在计算的时候要充分利用它们的几何意义，对称性以及换元法来简化计算。二重积分的计算是以定积分的计算为基础，只有会熟练的计算定积分，并把定积分的基本计算技巧熟练地推广到二重积分才能更好的掌握二重积分的计算。通过以上介绍的几种方法能大大简化定积分和二重积分的计算。总之，只要方法选得适当，都能从容的应对它们的计算。

【参考文献】

[1]同济大学数学系.高等数学（下册）[M]. 北京：高等教育出版社，2007：223-253.

[2]同济大学数学系.高等数学（上册）[M].北京：高等教育出版社，2007：129-156.

[3]裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].北京：高等教育出版社，2001：695-708.

[4]复旦大学数学系.数学分析（下册）[M].北京：高等教育出版社，1983：144-224.

[5]辛春元.二重积分的计算方法[J].现代商贸工业，2010，15：376-377.

[6]吴耀强.巧用二重积分求解定积分之例说[J].高等函授学报，2006（5）：46-48.

[责任编辑：孙珊珊]

【摘 要】积分学是高等数学的主要分支。定积分与二重积分的概念和计算是积分学的重要组成部分，其在在几何、物理、概率统计等方面有着重要应用。二重积分作为定积分的推广，其二者有着共同的解题技巧，包括利用几何意义、对称性、换元法来简化定积分与二重积分的计算。

【关键词】定积分；二重积分；对称性；几何意义；换元法

0 前言

如何解题对于学好高等数学的重要性毋庸置疑，定积分与二重积分的计算是高等数学的一个重点， 也是难点。而许多学生见到稍难一点的题目就无从下手，不知如何思考，这样就影响了学习的积极性。定积分作为积分学的基础，在二重积分的计算中起着重要作用，掌握起来也相对比较容易。本文总结出了一些定积分二重积分共有的计算技巧，可以让学生在学好定积分的基础上掌握二重积分的计算技巧，通过类比与推广，达到巧妙解决一般的定积分与二重积分的计算问题。

1 利用几何意义计算积分值

2 利用对称性计算积分值

3 利用换元法简化计算

3.1 牛顿—莱布尼兹公式给定积分的计算提供了一种有效的方法，但它完全依赖于求被积函数的原函数，但有时原函数是很难直接求出来的，此时可采用定积分的换元法。

3.2 二重积分计算的一般方法是将其化为两次单积分，但当积分区域难于确定定积分限或者被积函数比较复杂时，可以考虑应用换元法。

4 建议

定积分的通常计算方法是得到原函数，再利用牛顿-莱布尼茨公式进行计算；二重积分的一般计算步骤是：①画出积分域；②选择坐标系，选择时要遵循i域边界应尽量多为坐标线ii被积函数关于坐标变量易分离；③确定积分序，需注意i积分域分块要少ii累次积分好算为妙；④写出积分限，方法有图示法和不等式法。在计算的时候要充分利用它们的几何意义，对称性以及换元法来简化计算。二重积分的计算是以定积分的计算为基础，只有会熟练的计算定积分，并把定积分的基本计算技巧熟练地推广到二重积分才能更好的掌握二重积分的计算。通过以上介绍的几种方法能大大简化定积分和二重积分的计算。总之，只要方法选得适当，都能从容的应对它们的计算。

【参考文献】

[1]同济大学数学系.高等数学（下册）[M]. 北京：高等教育出版社，2007：223-253.

[2]同济大学数学系.高等数学（上册）[M].北京：高等教育出版社，2007：129-156.

[3]裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].北京：高等教育出版社，2001：695-708.

[4]复旦大学数学系.数学分析（下册）[M].北京：高等教育出版社，1983：144-224.

[5]辛春元.二重积分的计算方法[J].现代商贸工业，2010，15：376-377.

[6]吴耀强.巧用二重积分求解定积分之例说[J].高等函授学报，2006（5）：46-48.

[责任编辑：孙珊珊]

【摘 要】积分学是高等数学的主要分支。定积分与二重积分的概念和计算是积分学的重要组成部分，其在在几何、物理、概率统计等方面有着重要应用。二重积分作为定积分的推广，其二者有着共同的解题技巧，包括利用几何意义、对称性、换元法来简化定积分与二重积分的计算。

【关键词】定积分；二重积分；对称性；几何意义；换元法

0 前言

如何解题对于学好高等数学的重要性毋庸置疑，定积分与二重积分的计算是高等数学的一个重点， 也是难点。而许多学生见到稍难一点的题目就无从下手，不知如何思考，这样就影响了学习的积极性。定积分作为积分学的基础，在二重积分的计算中起着重要作用，掌握起来也相对比较容易。本文总结出了一些定积分二重积分共有的计算技巧，可以让学生在学好定积分的基础上掌握二重积分的计算技巧，通过类比与推广，达到巧妙解决一般的定积分与二重积分的计算问题。

1 利用几何意义计算积分值

2 利用对称性计算积分值

3 利用换元法简化计算

3.1 牛顿—莱布尼兹公式给定积分的计算提供了一种有效的方法，但它完全依赖于求被积函数的原函数，但有时原函数是很难直接求出来的，此时可采用定积分的换元法。

3.2 二重积分计算的一般方法是将其化为两次单积分，但当积分区域难于确定定积分限或者被积函数比较复杂时，可以考虑应用换元法。

4 建议

定积分的通常计算方法是得到原函数，再利用牛顿-莱布尼茨公式进行计算；二重积分的一般计算步骤是：①画出积分域；②选择坐标系，选择时要遵循i域边界应尽量多为坐标线ii被积函数关于坐标变量易分离；③确定积分序，需注意i积分域分块要少ii累次积分好算为妙；④写出积分限，方法有图示法和不等式法。在计算的时候要充分利用它们的几何意义，对称性以及换元法来简化计算。二重积分的计算是以定积分的计算为基础，只有会熟练的计算定积分，并把定积分的基本计算技巧熟练地推广到二重积分才能更好的掌握二重积分的计算。通过以上介绍的几种方法能大大简化定积分和二重积分的计算。总之，只要方法选得适当，都能从容的应对它们的计算。

【参考文献】

[1]同济大学数学系.高等数学（下册）[M]. 北京：高等教育出版社，2007：223-253.

[2]同济大学数学系.高等数学（上册）[M].北京：高等教育出版社，2007：129-156.

[3]裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].北京：高等教育出版社，2001：695-708.

[4]复旦大学数学系.数学分析（下册）[M].北京：高等教育出版社，1983：144-224.

[5]辛春元.二重积分的计算方法[J].现代商贸工业，2010，15：376-377.

[6]吴耀强.巧用二重积分求解定积分之例说[J].高等函授学报，2006（5）：46-48.

[责任编辑：孙珊珊]