针对数学学习的各种缺陷设计针对性题组

邬仁勇

摘 要：从数学教学的实践出发，针对数学学习的各种缺陷设计相应的针对性题组，通过针对性题组的训练或教学来弥补学生数学学习的各种缺陷，并提升学生的数学思维品质。

关键词：数学学习缺陷；针对性；题组；数学思维品质

一、问题的提出

数学是高中学科中一门相对较难学习的学科，主要是由于学科具有以下几个特点：（1）综合性强。一道题往往不只考查一个知识点，而是多知识点的融合；（2）学科性强。对函数与方程、数形结合等思想方法要求高；（3）应用性强。数学是一门实用性科学，要求学生能灵活地将所学知识迁移应用解决事实情景问题。

由于高中数学特点的变化，导致数学学习过程中产生以下问题：（1）相对于初中数学来說，高中数学课堂容量大，知识内化、整合节奏容易脱节，学习过程较为吃力；（2）前后知识联系紧密，变式因素复杂，类型多样，导致课堂例题能懂，作业训练不会做；（3）高中学科数增加，数学应有的学习时间受到较大挤压，自主整理过程缺乏，囫囵吞枣现象存在，造成知识技能遗忘率高。

二、数学题组的概述

1.数学题组界定

所谓题组，就是老师根据专题教学内容，依据教学目标和学生的实际，精选一些有代表性、系统性的习题（相同的或相似、相近的），重新进行组合，通过变题、编题、联题（即联系不同或相同的题目）等角度入手组织教学，探究发现题组内蕴涵的知识和方法，以提高学生的解题能力。

2.数学题组弥补数学学习缺陷的意义

（1）通过针对性题组的设计，可以揭示题源，让学生进行自主探究，给学生丰富的解题体验，弥补数学学习知识性缺陷和经验贫乏的缺陷；（2）通过针对性题组的变式训练，形散而神不散，渗透数学思想方法，让学生能够解有所悟，弥补数学学习策略无效的缺陷；（3）通过针对性题组的设计实现迁移拓展，揭示本质，开启智慧，提升数学素养。

三、设计数学题组教学的策略

1.针对知识性缺陷设计变式题组

能积极联系学生的初中基础，促进初高中数学的衔接，使学生从初中数学的基础上逐步理解高中数学，并且根据学生在高中所欠的初中基础进行有计划、有步骤地补足，将旧知与新知融合编题，完善初高中数学的衔接，让学生在理解的基础上自然过渡，也符合学生的认知规律。题组：记扇形的半径为r，圆心角为n° 在上述题组中，由学生熟知的扇形弧长和面积公式出发，引入弧度制，对老公式进行变形，让学生体会新制度的优越性，及掌握“知二求三”的运算方法，也充分结合高中数学内容进行提升，达到综合解题的能力。

2.针对程序性缺陷设计诱错型题组

题组1：利用函数的奇偶性和其中一段的解析式求对称的另一段的解析式：

已知y=f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=x2-2x则（1）f（1）= ；（2）f（-1）= ；（3）f（-3）= ；（4）画出x<0时函数y=f（x）的图象；（5）当x<0时，f（x）= .

为了求（5），设置了前四个小题来弥补学生可能存在的程序性缺陷，体会由特殊到一般的过程，并体会数形结合思想，提升数学思维品质。

在上述题组中，因为学生初学高中的三角函数定义，对三角函数值的正负往往不敏感，想当然或者不严谨的现象很普遍，可能跟初中锐角的三角函数值都是正数有关，通过上述诱错型题组来检测学生能否利用终边在不同的象限得到准确的三角函数值（主要是正负情况）。

3.针对策略无效设计丰富型题组

在上述针对性题组中，学生由（1）的成功经验想到可以在（2）中应用，当然的（2）中学生也可能尝试用两次基本不等式来求解，这样也可以比较两种方法得出的结论，很明显由（1）的方法得出的值会更小，而且满足取等号的条件，所以法（2）是错误的，（3）是（2）的变形，都可以由（1）的成功经验想到，即体会“1”的妙用，而（4）相当于推广到（3）的妙用，即一个定值的妙用，而（4）就更具一般性，也说明高考题对学生的灵活解题能力提出了较高要求，如果没有一定的功力，还是较难拿下的，这个针对性题组让学生利用所学的知识一个一个攻下来，理解了题与题之间的联系，也理解了方法的本质，也达到灵活应用的境界。

4.针对经验贫乏或思维缓慢设计应用型题组

在必修五第三章第二节“基本不等式”第二课时的教学时，对于应用基本不等式解决最大（小）值问题时，学生的解题经验往往比较贫乏，且解题速度较慢，为此我设置了以下题组：

（1）若正数x，y满足xy=x+y+3，则xy的最小值为 .

（2）若正数x，y满足xy=x+y+3，则x+y的最小值为 .

（3）（2010浙江文15）若正实数x，y满足2x+y+6=xy，则xy的最小值是 .

（4）（2011浙江文6）若实数x，y满足x2+y2+xy=1，则x+y的最大值是 .

（5）（2011浙江理16）若实数x，y满足4x2+y2+xy=1，则2x+y的最大值是 .

在上述针对性题组中，学生由（1）掌握“和化积”的方法，由（2）掌握“积化和”的方法，由（3）感受高考题中的“和化积”的方法，体会不同的取等号条件，由（4）需要学生先将平方和转化为和与积的形式，然后再利用“积化和”的方法求解，由（5）让学生掌握在（4）的基础上体会配凑方法，当然（5）还可以实现一题多解，基于本课的重点，不便展开，让学生通过此针对性题组，逐级感受“和化积”“积化和”“取等号的条件”，将知识方法的教学融入具体的题目中，好比闯关游戏，而且还有一题多解，收获颇丰，另外浙江考生对浙江的高考题还有着天然的兴趣，真题通常会成为很多模拟题的母题，这样真题的训练意义也更大，针对性题组能有效地激发学生的求知欲，兴趣逐渐提升，学生的解题能力也步步提升，成就感很足，对不同层次的学生都有帮助。

5.针对元认知缺乏设计解说型题组

在高三复习双曲线的圆心率时，许多学生表现出对元认知的缺乏，为此结合2004～2013浙江高考理科命题中关于圆锥曲线小题的考查内容的统计，其中有6年都是考查双曲线的离心率：

在上述针对性题组中，由高考题导入（由于高考內容有删减，进行适当的改编），还有可以改编成跟最近做过的模拟题相近的题，让学生感受高考的母题地位。

6.针对注意不当设计强化型题组

在基本不等式的学习中，学生经常会出现“无证驾驶”或“无视取等号的条件”等错误，为此设计以下强化型题组：

通过强化型题组的梯度推进，让学生一步一步提升对高中数学知识的理解，发展了数学思维品质，也提高了学习效率。

相比初中来说，高中的节奏和任务都有较大的增加，学生的训练效果严重缩水，笔者通过编制相关的矫正与补偿性习题，在后续学习中，在不增加学生新的课业负担的前提下，让学生进行周期性再现训练，促进对高中数学的再理解和提升，效果比较明显。

四、设计针对性题组的几点反思

1.设计前需收集学生的错误资源，做好学生的学情分析，通过学生反馈的信息进行有针对性的题组设计，如，教师批改作业“反馈”和辅导学生“反思”的活动，通常考虑：

（1）哪些题错得多？

（2）为什么这些题错得多？

（3）做错学生主要什么层次？如何补救？

（4）针对性题组如何设计？（哪些知识点？题型？难度？）

让针对性题组起着链接数学的“学”和“习”的桥梁，“学”中有“习”，“习”中有“学”。

2.在新授课中，应当多关注知识本身的逻辑体系，问题的顺序应当考虑知识本身的发展进程及学生的思维发展，在思维的转折处设计问题，同时也要把问题的突破口暴露出来，引起学生关注，使学生在每完成一个问题后，在知识的理解和运用上都有一定的收获。

参考文献：

[1]邵瑞珍.教育心理学：教与学的原理[M].上海教育出版社，1986.

[2]马建龙.编制变式题组 攻克学习难关[J].数学通报，2013（05）.

[3]阮伟强.纠错的三个层次[J].中学数学教学，2013（04）.

[4]王莹.多变并举 科学增效：例谈高中数学变式教学的方法[J].数学学习与研究，2012（07）.

（作者单位 浙江省玉环中学）

编辑 郭晓云