对数学思想方法的归纳与概括

高飞

数学思想、方法作为数学学科的“一般原理”，在数学学习中是至关重要的。记得一位教育家这样说：“学生所学到的数学知识，在进入社会后不到一两年就忘掉了，然而那些铭刻于头脑中的数学精神和数学思想方法却长期地在他们的生活和工作中发挥着作用，使他们受益终生。”作为一线数学教师，我们应在教学中有意识地加强数学思想方法的渗透与运用，提高学生的数学素养。下面就数学思想方法做小结。

一、函数方程思想

函数方程思想就是用函数、方程的观点和方法处理变化或未知数之间的关系，从而解决问题的一种思维方式，是很重要的数学思想。

函数思想：把某变化过程中的一些相互制约的变量用函数关系表达出来，并研究这些量间的相互制约关系，最后解决问题，这就是函数思想。应用函数思想解题，确立变量之间的函数关系是一关键步骤，大体可分为下面两个步骤：（1）根据题意建立变量之间的函数关系式，把问题转化为相应的函数问题；（2）根据需要构造函数，利用函数的相关知识解决问题。

方程思想：从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式、方程与不等式的混合组），然后通过解方程（组）或不等式（组）使问题获解。

函数与方程是两个有密切联系的数学概念，它们之间相互渗透，很多方程的问题需要用函数的知识和方法解决，很多函数问题也需要用方程的方法支援，函数与方程之间的辩证关系，形成了函数方程思想。

二、数形结合思想

数形结合是中学数学中重要思想方法之一，对于所研究的代数问题，有时可研究其对应几何的性质使问题得以解决（以形助数）；或者对于所研究的几何问题，可借助于对应图形的数量关系使问题得以解决（以数助形），这种解决问题的方法称之为数形结合。

数学研究的对象是数量关系和空间形式，即数与形两个方面。在一维空间，实数与数轴上的点建立一一对应关系；在二维空间，实数与坐标平面上的点建立一一对应关系。

我们要抓住以下几点数形结合的解题要领：

（1）对于研究距离、角或面积的问题，可直接从几何图形入手进行求解即可。

（2）对于研究函数、方程或不等式（最值）的问题，可通过函数的图像求解（函数的零点，顶点是关键点），做好知识的迁移与综合运用。

（3）对于以下类型的问题需要注意：可分别通过构造距离函数、斜率函数、截距函数、单位圆上的点及余弦定理进行转化，达到解题目的。

华罗庚先生指出：“数缺性时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，割裂分家万事非。”数形结合作为一种数学思想方法的应用大致分为两种情形：或借助于数的精确性阐明形的某些属性，或借助于形的几何直观性阐明数之间的某种关系。

三、分类讨论思想

分类讨论是一种重要的数学思想方法，当问题的对象不能进行统一研究时，就需要对研究的对象进行分类，然后对每一类分别研究，给出每一类的结果，最终综合各类结果得到整个问题的解答。

有关分类讨论的数学问题需要运用分类讨论思想解决，引起分类讨论的原因大致可归纳如下几种：

（1）涉及的数学概念是分类讨论的；

（2）运用的数学定理、公式、或运算性质、法则是分类给出的；

（3）求解的数学问题的结论有多种情况或多种可能性的；

（4）数学问题中含有参变量，这些参变量的不同取值导致不同的结果的；

（5）较复杂或非常规的数学问题，需要采取分类讨论的解题策略来解决的。

分类讨论是一种逻辑方法，在中学数学中有极广泛的应用。分类讨论题覆盖知识点较多，利于考查学生的知识面、分类思想和技巧；同时方式多样，具有较强的逻辑性和综合性。根据不同标准可以有不同的分类方法，但分类必须从同一标准出发，做到不重复，不遗漏，包含各种情况，同时要有利于问题研究。

四、化归与转化思想

将未知解法或难以解决的问题，通过观察、分析、类比、联想等思维过程，选择运用恰当的数学方法进行变换，化归为在已知知识范围内已经解决或容易解决的问题的思想叫做化归与转化的思想。化归与转化思想的实质是提示联系，实现转化。除极简单的数学问题外，每个数学问题的解决都是通过转化为已知问题实现的。从这个意义上讲，解决数学问题就是从未知向已知转化的过程。化归与转化的思想是解决数学问题的根本思想，解题过程实际上就是一步步转化的过程。数学中的转化比比皆是，如：未知向已知转化，复杂问题向简单问题转化，新知识向旧知识转化，命题之间的转化，数与形的转化，空间向平面的转化，高维向低维转化，多元向一元转化，高次向低次转化，超越式向代数式转化，函数与方程的转化等，都是转化思想的体现。

五、或然与必然的思想

概率所研究的随机现象，研究的过程是在“偶然”中寻找“必然”，然后再用“必然”规律解决“偶然”的问题，这其中所体现的数学思想就是或然与必然的思想。

随着新教材的实施，高考中对概率内容的考查已经被放在了重要位置，通过对等可能性事件的概率、互斥事件有一个发生的概率、相互独立事件同时发生的概率、独立重复试验、随机事件的分布列、数学期望等重点内容的考查，一方面考查基本概念和基本方法，另一方面考查在解决实际问题中能否运用或然与必然的辩证关系，从而体现或然与必然的思想。

参考文献：

[1]陈顺娘.注重过程教学让学生体验数学思想方法[J].福建中学数学，2005（08）.

[2]侯斌.中学数学思想方法研究概述[J].四川教育学院学报，2004（06）.

[3]羅增儒.数学思想方法的教学[J].中学教研（数学），2004（07）.

[4]刘良华.数学构造思想方法的探索与实践[D].华中师范大学，2004.

[5]陈顺娘.数学思想方法的教学实施[D].福建师范大学，2005.

[6]潘勇.数学化归思想方法及其教学探研[D].南京师范大学，2004. `