寻求师生数学思维的共同发展——《可能性大小》磨课的实践与思考

谢 华（浙江省龙游县实验小学）

数学思维是指数学活动中的思维，是人脑和数学对象（空间形式、数量关系、结构关系）交互作用并按一定思维规律认识数学内容的内在理性活动.不同层次的学生，其数学思维能力有很大差异.就后进生而言，其知识结构、学习习惯与行为方式等直接造成了他们思维的迟钝与肤浅，他们的数学思维能力尚处于较低层次的发展水平；就中等生而言，虽能推理分析较简单的数学材料，解决一般性数学问题，但对于难度较高的问题，其思维的灵活性、深刻性与独创性明显不够，其数学思维能力处于中等发展水平；就优等生而言，其推理、想象与解决问题能力较强，能将所学知识融会贯通，思维表现出较好的敏捷性、灵活性、深刻性等品质，他们的数学思维能力发展水平较高.因而，我们在培养学生数学思维时，应基于学生已有知识经验、心理发展规律以及教学内容的特点，开展有效性教学，不断提升学生的数学思维水平.下面，笔者以执教北师大版五年级下册《可能性大小》为例，粗浅探讨在学习数学知识、解决问题的过程中如何寻找学生的数学思维、将解决问题和数学思维有机结合，让师生的数学思维共同发展.

一、顺应学生的数学思维，确定学习起点

在学生已掌握的数学知识的背后，有其特有的数学思维方法，教师应该顺应学生的思维，确定教学起点.

1.课堂从0/2开始教学

在一次下乡送教时，课前谈话，我和学生聊了一阵家乡的旅游景点——龙游石窟：根据你的了解，说说龙游石窟最初用途的可能性，用学过的可能性的知识，完整地说句话.随后开始进入课堂，出示情景，在一纸盒里放入两颗红球.

师：在这个盒子里，你摸到白球的可能性用学过的词说一下.

生：不可能.

师：为什么？

生：因为盒子里没有白球.

师：假如用数学中的数来表示，你会用什么数表示？

生：0/2

师：（表情惊讶），你是怎么想的？随即马上进行了板书0/2

生：盒子里共有两颗球，我就把分母写成2，因为没有白球，所以分子就写成0

师：同学们有没有听明白，趁机让其余学生复述一下.

在其他课堂教学《可能性》时，一般学生都是用原来学过的不可能这个词来表述，用数就是用0来表述 ，学生认为没有白球，摸到白球的可能性自然是0，大多数学生对这个知识还是有的.但这个学生在掌握这个知识时，还把自己的数学思维展现给了大家，这恰恰也是本节课的教学重点.课堂就从0/2开始了，让多个学生的复述，培养他们的数学思维，帮助学生理解，分母就表示球的总数，分子就表示白球的数量，老师也适时地进行了相应的板书，以便于学生更好地理解.

2.从认知起点出发，改编例题

维果茨基的最近发展区理论中指出，学生在数学知识的建构过程中，其已有的知识经验与新知识的距离将极大地影响学生学习的有效性.他将学生的学习分为两种发展水平：一种是已有的发展水平；另一种是学习者通过学习可以达到的水平，这两种水平之间的距离就是“最近发展区”.最近发展区过大，学生学习会有困难；过小，不利于学生思维和发展.考虑以上的原因，教师将例题进行了较大的改动，将数学书上原有的多个盒子情景图进行了整合，去掉原来分散的、单一的教学情景图，设计成运动的盒子图，图中原有一个白球，一个红球，摸到白球的可能性是多少.情景中，白球的数量不变，红球的个数不断增加，让学生说说用什么分数表示，观察后引导学生思维：什么变了，什么不变？如果在0和1之间的线段里，你想这分数会愈来愈趋向几；有没有可能就是0？教师在整个教学设计中让学生经历了猜想——验证——想象，拓展了学生的思维，建构了数学模型.

古罗马教育家普鲁塔克曾说：儿童的心灵是一颗需要点燃的火种.通过这样改编后的动感的情景，打破了学生的思维定势，逐渐提升了学生的思维层次，拓展了同学们的思维空间，更有利于培养学生思维的灵活性和变通性.

二、同步学生的数学思维，完成教学新知

学生数学思维发展中的个性差异，又称为数学思维的智力品质，它是数学思维发展水平的重要指标.教师应设计条件开放的练习，由学生确定解题策略并组合成各种有效的解题方法，以同步学生的数学思维.

1.合作分工，要求由学生制定，发展学生思维

按教学惯律，合作活动时学生的活动分工都是由教师提前制定的，学生只能按要求去执行，学生的数学活动处于被动状态.在课堂上，我尝试让学生来进行合作分工，并制定合作要求.开始，教师让学生拿出准备好的活动器材和统计表格.然后，就把问题直接抛给了学生，你们觉得该怎么分工，怎么活动？看着学生们跃跃欲试的表情，教师心里清楚，现在全班学生开始合作学习，许多学生是无法快速有效完成合作活动的.教师让最踊跃的合作小组上来，让学生说说是怎么分工的，小组里每位同学都做哪些事情，每位同学活动时又要注意些什么.并当场让他们进行了现场尝试.其余学生做了些小小的补充.学生得出了活动的要求：

①组长拿袋子并安排好摸球并记录，全组摸10次，记录时可用“正”字法；

②摸球前摇一摇袋子，摸球时不要看袋子里的球，摸完后把球放回袋子；

③记录员把你组里摸的总次数和摸到红球的次数记录在活动记录表中.

学生的合作活动就开始了.教师适时地参与了部分困难组的活动.教师发现，这样的活动方式使学生兴趣更加浓厚，参与的积极性自然很高.从反馈情况看，学生的参与度高，每组的分工方式有些不同，有的是一个人摸球，有的是轮着摸球，摇袋、记录、监督也是如此.学生的记录统计方式也不同，有些组是用数记录的，铅笔在不断添写；有些组是用打横线记录的；有些组是打钩记录的；有些组是用“正”字法记录的.

这样的合作活动既能有效地让学生理解用分数表示可能性的意义，又培养了学生的思维习惯，知识得到有机衔接、融会贯通，丰富了学生的知识，提升了学生的思维能力.

2.数据统计，方式选用学生的，同步师生数学思维

数学统计的教学是数学知识教学的重要组成部分，由于其本身的复杂性、抽象性，我们在理解和掌握时可将其分解为多个层次，先一层一层地认识，理解每一层次表达的意思，然后再分析和综合各层次间的内在联系，使形成完整的易于掌握的知识成为学生思维的必然.许多课堂里，教师的思维和学生的思维都是不尽相同的.在统计全班活动数据时，许多教师会机械重复地做些简单的统计，花费了较多的时间，又难以计算.在发现学生多种统计的方法后，我引导学生比较：哪种统计方法简洁，快速，是你喜欢的方式？在学生汇报各组活动数据时，我也采用了学生的思维方式，用“正”字法进行统计.这时，师生的数学思维是同步的，学生在理解和统计时，会觉得容易、自然，缩短了教师板书的时间，也减少了学生统计的时间，学生很快就算出全班摸球的总次数以及摸到白球的次数，得出全班的摸到白球的可能性，用分数表示是多少，然后再想象，摸的次数越来越多的情况下，摸到的白球的可能性震荡幅度会越来越小，越来越趋向于准确值.

三、互补师生数学思维，强化实际应用

在教学实践中发现，数学思维功能僵化现象在学生中是大量存在的.教师应启发学生在数学思维中善于抓住问题本质的能力，正确、合理、巧妙地运用概念、法则、性质、公式等基本知识，强化实际应用，共同发展师生数学思维.

在课堂的实际应用环节，我设计了以下的题目：

1.任意掷一下骰子，数字5朝上的可能性是（ ）

奇数朝上的可能性为（ ），合数朝上的可能性为（ ）

这个练习，综合了数的有关知识，进一步理解可能性的大小用分数表示的方法.

2.十字路口的交通信号灯在一分钟内红灯亮30秒

绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，当你抬头看信号灯时，看到的是红灯的可能性是（ ），看到的是黄灯的可能性是（ ）.

遇到生活中常见的情况，将学过的知识进行应用.

3.现有红、白、蓝、黄4种球各10个.摸到白球的可能性是（ ）.

学生在应用时，举例证明摆放的方法.大多数学生都能说出两到三种方法，但很少有学生比较系统地全部说出各种可能.在发现学生这种情况后，我及时提高了应用目标.提出新的问题：你觉得这种情况下，白球最多能放几个，非白球能放多少个？学生的思维得到激发，他们在积极思考，探求各种途径，有的还在一一举例；有的从分数意义出发，考虑分数的特征；有的用份数在思考，白球占其中的几份；还有部分学生从最多10个白球出发，倒推回来.学生的思维各有其特点，教师在学生汇报的过程中，更多地了解了学生的思维特点，让自己的思维得到进一步的发展.

结束语：

心理学家认为，培养学生的数学思维品质是发展数学能力的突破口.数学思维的教学应从学生的思维潜在水平开始，通过教学把潜在水平转化为新的现有水平，在新的现有水平基础上，又出现新的思维潜在水平，并形成新的思维最近发展区，于是教学又从新的思维潜在水平开始……这样循环往复不断转化，推动数学思维向前发展.

美国教育家杜威说：“教学的艺术，一大部分在于使新问题的困难程度，大到足以激发思想，小到加上新奇因素自然地带来的疑难，足以使学生得到一些富于启发性的立足点，从而产生有助于解决问题的建议.”因此，教学中我们不单要传授知识，而且要特别重视培养学生学会思维，加强学生数学思维能力的培养，同时，在设计练习和解决应用时，也提高教师的数学思维.在课堂里，共同发展师生的数学思维，提升数学课堂的效益.

［1］郅庭瑾《为思维而教》，教育科学出版社，2007年12月

［2］徐晓兰《经历有效探究过程，提升数学思维水平》，《网络科技时代》，2008（6）