用“搜寻法”解“物不知数问题”

肖鉴铿

我国古算书《孙子算经》中有题云：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”我们把这类已知若干个“模”（除数）的余数，而要求适合条件的最小正整数的题目统称为“物不知数问题”。

解答“物不知数问题”，通常要布列并求解一个一次不定方程组或一个一次同余式组，颇为不易。而且这些知识属“数论”范畴，不在小学数学内容之列。但因此类问题有利于考查学生思维的灵活性，故在小学数学试题中反倒屡屡出现。鉴于此，不定方程组的知识曾被上世纪八十年代的中师数学教材收录，笔者长期担任中等师范学校的数学教学，故对此类问题的解法有一定的关注。

数学大师们无一不是解题高手，解答《孙子算经》中的物不知数问题，华罗庚先生就有其独特的方法。1963年，华先生在其所著《从孙子的“神奇妙算”谈起》一书中，即有如下表述：“因为三除余二，七除余二，则二十一除余二，而二十三是三、七除余二的最小数，刚好又是五除余三的数，所以心算快的人都能算出。”其实，华先生的这一思路早在上世纪二十年代即已萌生，当年的少年华罗庚就是因为以此法巧解了《孙子算经》中的这道名题而誉满乡里。但他在书中却称此法是“笨”算法。随后说：“‘笨字可能用得不妥当，但这个方法是朴素原始的方法，算起来费时间的方法。”接着又说：“这方法虽然拙笨些，但这是一个步步能行的方法，是一个值得推荐的朴素的方法。”不难看出，华先生在评价此法时，是心存矛盾的。

但笔者一直坚定地认为，这是个值得推荐的好方法，它只依靠余数、倍数、公倍数等基础知识就打起了“游击战”，体现了各个击破的军事思想，采用了步步为营的搜寻战术，具有机动灵活、简便易行等诸多优点。华先生之所以认为这个方法“笨”，很大程度是因为它完全依赖文字表述的缘故。德国数学家希尔伯特说：“严格的方法同时也是简洁而易于理解的方法。”这一观点与我国道德经中的“大道至简”不谋而合。相信只要能找到一种适当的方式加以阐明原理、记录过程，则必将为华先生的方法增添简洁美的色彩。笔者为此日夜求索，经过多年潜心钻研，一种有效的搜寻方法已逐渐形成。以之应对古今各种物不知数问题，无不迎刃而解。欣喜之余，不敢自专，谨将此法奉献于读者，希冀对提高广大小学数学教师的解题能力有所帮助。

例1.文首《孙子算经》中的物不知数题。

分析与解：3除、7除余2的最小数是2，记作。括号内之7、3为所适合条件中的模。为使已适合之条件不再丢失，搜寻时所加之数应为7、3的公倍数。7、3的最小公倍数[7，3]=21，2﹢21=23，23正好又适合条件“5除余3”，故23即为所求。整个搜寻过程可表为：

以此代替文字叙述，颇显简洁、明快。

例2.今有一数，3除余1，5除余2，7除余3，此数最小是几？

分析与解：为使搜寻速度加快，应首先考虑模较大的那个条件，于是把起点定为3（7），3+7=10，10又满足“3除余1”，表为。再往前搜寻，所加之数应为21。10+21=31。31被5除余1，不符题意，再往前：31+21=52。52恰好5除余2，故52即为所求。整个过程可表为：

例3.二数余一，五数余二，七数余三，九数余四，问本数。（选自杨辉1275年写成的《续古摘奇算法》）

此题曾被中师《代数与初等函数》第一册选作复习题。若仿照课本例题解答，须布列并求解一个五元一次不定方程组，这无异于摆开架势去打阵地战，过程繁复，令不少中师学生望而生畏，不敢问津。而采用搜寻法，只须三次搜寻即告完成。

解：

在此例中，十步并作一步走，省去了许多麻烦。以下各例所列方程中之x，y，z…均取最小正整数值，不再赘述。

例10.七数剩一，八数剩二，九数剩三，问本数。（选自《续古摘奇算法》）

分析与解：以“九数剩三”的次小数12为起点，下一个目标定为“八数剩二”。

，12除以8余4，9除以8余1。（12+9x）除以8的余数与（4+1·x）除以8的余数相同，而此余数应等于2。故令4+1·x=8y+2。x=8y-2。当y=1时，x=6。

，下个目标是“七数剩一”。66除以7余3，72除以7余2。故令3+2x'=7y'+1。2x'=7y'-2。x'=3y'+。当y'=2时，x'=6。故有

将整个搜寻过程串成一体即为

答：498即为所求。

通过简单计算，两度将6个逐次搜寻并为一个一次搜寻，大大提高了搜寻效率。不过此题还可解得更巧：若将条件叙述为“7数少6，8数少6，9数少6”，则立得本数为[7，8，9]-6=7×8×9-6=504-6=498。

例11.（韩信点兵题）有兵一队，若成5列纵队，则末行仅1人；若成6列纵队，则末行仅5人；若成7列纵队，则末行仅4人；若成11列纵队，则末行仅10人，求兵数。

分析与解：本题条件有四：5除余1，6除余5，7除余4，11除余10，由二、四两条件可知，应把6×11-1=65定为搜寻起点，下个目标定为“7除余4”。

。65除以7余2，66除以7余3。故令2+3x=7y+4。3x=7y+2。，当y=1时，x=3。

，下一目标“5除余1”，263除以5余3，462除以5余2，故令3+2x'=5y'+1，2x'=5y' -2。

（江西省南昌市高等师范专科学校 330006）endprint

我国古算书《孙子算经》中有题云：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”我们把这类已知若干个“模”（除数）的余数，而要求适合条件的最小正整数的题目统称为“物不知数问题”。

解答“物不知数问题”，通常要布列并求解一个一次不定方程组或一个一次同余式组，颇为不易。而且这些知识属“数论”范畴，不在小学数学内容之列。但因此类问题有利于考查学生思维的灵活性，故在小学数学试题中反倒屡屡出现。鉴于此，不定方程组的知识曾被上世纪八十年代的中师数学教材收录，笔者长期担任中等师范学校的数学教学，故对此类问题的解法有一定的关注。

数学大师们无一不是解题高手，解答《孙子算经》中的物不知数问题，华罗庚先生就有其独特的方法。1963年，华先生在其所著《从孙子的“神奇妙算”谈起》一书中，即有如下表述：“因为三除余二，七除余二，则二十一除余二，而二十三是三、七除余二的最小数，刚好又是五除余三的数，所以心算快的人都能算出。”其实，华先生的这一思路早在上世纪二十年代即已萌生，当年的少年华罗庚就是因为以此法巧解了《孙子算经》中的这道名题而誉满乡里。但他在书中却称此法是“笨”算法。随后说：“‘笨字可能用得不妥当，但这个方法是朴素原始的方法，算起来费时间的方法。”接着又说：“这方法虽然拙笨些，但这是一个步步能行的方法，是一个值得推荐的朴素的方法。”不难看出，华先生在评价此法时，是心存矛盾的。

但笔者一直坚定地认为，这是个值得推荐的好方法，它只依靠余数、倍数、公倍数等基础知识就打起了“游击战”，体现了各个击破的军事思想，采用了步步为营的搜寻战术，具有机动灵活、简便易行等诸多优点。华先生之所以认为这个方法“笨”，很大程度是因为它完全依赖文字表述的缘故。德国数学家希尔伯特说：“严格的方法同时也是简洁而易于理解的方法。”这一观点与我国道德经中的“大道至简”不谋而合。相信只要能找到一种适当的方式加以阐明原理、记录过程，则必将为华先生的方法增添简洁美的色彩。笔者为此日夜求索，经过多年潜心钻研，一种有效的搜寻方法已逐渐形成。以之应对古今各种物不知数问题，无不迎刃而解。欣喜之余，不敢自专，谨将此法奉献于读者，希冀对提高广大小学数学教师的解题能力有所帮助。

例1.文首《孙子算经》中的物不知数题。

分析与解：3除、7除余2的最小数是2，记作。括号内之7、3为所适合条件中的模。为使已适合之条件不再丢失，搜寻时所加之数应为7、3的公倍数。7、3的最小公倍数[7，3]=21，2﹢21=23，23正好又适合条件“5除余3”，故23即为所求。整个搜寻过程可表为：

以此代替文字叙述，颇显简洁、明快。

例2.今有一数，3除余1，5除余2，7除余3，此数最小是几？

分析与解：为使搜寻速度加快，应首先考虑模较大的那个条件，于是把起点定为3（7），3+7=10，10又满足“3除余1”，表为。再往前搜寻，所加之数应为21。10+21=31。31被5除余1，不符题意，再往前：31+21=52。52恰好5除余2，故52即为所求。整个过程可表为：

例3.二数余一，五数余二，七数余三，九数余四，问本数。（选自杨辉1275年写成的《续古摘奇算法》）

此题曾被中师《代数与初等函数》第一册选作复习题。若仿照课本例题解答，须布列并求解一个五元一次不定方程组，这无异于摆开架势去打阵地战，过程繁复，令不少中师学生望而生畏，不敢问津。而采用搜寻法，只须三次搜寻即告完成。

解：

在此例中，十步并作一步走，省去了许多麻烦。以下各例所列方程中之x，y，z…均取最小正整数值，不再赘述。

例10.七数剩一，八数剩二，九数剩三，问本数。（选自《续古摘奇算法》）

分析与解：以“九数剩三”的次小数12为起点，下一个目标定为“八数剩二”。

，12除以8余4，9除以8余1。（12+9x）除以8的余数与（4+1·x）除以8的余数相同，而此余数应等于2。故令4+1·x=8y+2。x=8y-2。当y=1时，x=6。

，下个目标是“七数剩一”。66除以7余3，72除以7余2。故令3+2x'=7y'+1。2x'=7y'-2。x'=3y'+。当y'=2时，x'=6。故有

将整个搜寻过程串成一体即为

答：498即为所求。

通过简单计算，两度将6个逐次搜寻并为一个一次搜寻，大大提高了搜寻效率。不过此题还可解得更巧：若将条件叙述为“7数少6，8数少6，9数少6”，则立得本数为[7，8，9]-6=7×8×9-6=504-6=498。

例11.（韩信点兵题）有兵一队，若成5列纵队，则末行仅1人；若成6列纵队，则末行仅5人；若成7列纵队，则末行仅4人；若成11列纵队，则末行仅10人，求兵数。

分析与解：本题条件有四：5除余1，6除余5，7除余4，11除余10，由二、四两条件可知，应把6×11-1=65定为搜寻起点，下个目标定为“7除余4”。

。65除以7余2，66除以7余3。故令2+3x=7y+4。3x=7y+2。，当y=1时，x=3。

，下一目标“5除余1”，263除以5余3，462除以5余2，故令3+2x'=5y'+1，2x'=5y' -2。

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我国古算书《孙子算经》中有题云：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”我们把这类已知若干个“模”（除数）的余数，而要求适合条件的最小正整数的题目统称为“物不知数问题”。

解答“物不知数问题”，通常要布列并求解一个一次不定方程组或一个一次同余式组，颇为不易。而且这些知识属“数论”范畴，不在小学数学内容之列。但因此类问题有利于考查学生思维的灵活性，故在小学数学试题中反倒屡屡出现。鉴于此，不定方程组的知识曾被上世纪八十年代的中师数学教材收录，笔者长期担任中等师范学校的数学教学，故对此类问题的解法有一定的关注。

数学大师们无一不是解题高手，解答《孙子算经》中的物不知数问题，华罗庚先生就有其独特的方法。1963年，华先生在其所著《从孙子的“神奇妙算”谈起》一书中，即有如下表述：“因为三除余二，七除余二，则二十一除余二，而二十三是三、七除余二的最小数，刚好又是五除余三的数，所以心算快的人都能算出。”其实，华先生的这一思路早在上世纪二十年代即已萌生，当年的少年华罗庚就是因为以此法巧解了《孙子算经》中的这道名题而誉满乡里。但他在书中却称此法是“笨”算法。随后说：“‘笨字可能用得不妥当，但这个方法是朴素原始的方法，算起来费时间的方法。”接着又说：“这方法虽然拙笨些，但这是一个步步能行的方法，是一个值得推荐的朴素的方法。”不难看出，华先生在评价此法时，是心存矛盾的。

但笔者一直坚定地认为，这是个值得推荐的好方法，它只依靠余数、倍数、公倍数等基础知识就打起了“游击战”，体现了各个击破的军事思想，采用了步步为营的搜寻战术，具有机动灵活、简便易行等诸多优点。华先生之所以认为这个方法“笨”，很大程度是因为它完全依赖文字表述的缘故。德国数学家希尔伯特说：“严格的方法同时也是简洁而易于理解的方法。”这一观点与我国道德经中的“大道至简”不谋而合。相信只要能找到一种适当的方式加以阐明原理、记录过程，则必将为华先生的方法增添简洁美的色彩。笔者为此日夜求索，经过多年潜心钻研，一种有效的搜寻方法已逐渐形成。以之应对古今各种物不知数问题，无不迎刃而解。欣喜之余，不敢自专，谨将此法奉献于读者，希冀对提高广大小学数学教师的解题能力有所帮助。

例1.文首《孙子算经》中的物不知数题。

分析与解：3除、7除余2的最小数是2，记作。括号内之7、3为所适合条件中的模。为使已适合之条件不再丢失，搜寻时所加之数应为7、3的公倍数。7、3的最小公倍数[7，3]=21，2﹢21=23，23正好又适合条件“5除余3”，故23即为所求。整个搜寻过程可表为：

以此代替文字叙述，颇显简洁、明快。

例2.今有一数，3除余1，5除余2，7除余3，此数最小是几？

分析与解：为使搜寻速度加快，应首先考虑模较大的那个条件，于是把起点定为3（7），3+7=10，10又满足“3除余1”，表为。再往前搜寻，所加之数应为21。10+21=31。31被5除余1，不符题意，再往前：31+21=52。52恰好5除余2，故52即为所求。整个过程可表为：

例3.二数余一，五数余二，七数余三，九数余四，问本数。（选自杨辉1275年写成的《续古摘奇算法》）

此题曾被中师《代数与初等函数》第一册选作复习题。若仿照课本例题解答，须布列并求解一个五元一次不定方程组，这无异于摆开架势去打阵地战，过程繁复，令不少中师学生望而生畏，不敢问津。而采用搜寻法，只须三次搜寻即告完成。

解：

在此例中，十步并作一步走，省去了许多麻烦。以下各例所列方程中之x，y，z…均取最小正整数值，不再赘述。

例10.七数剩一，八数剩二，九数剩三，问本数。（选自《续古摘奇算法》）

分析与解：以“九数剩三”的次小数12为起点，下一个目标定为“八数剩二”。

，12除以8余4，9除以8余1。（12+9x）除以8的余数与（4+1·x）除以8的余数相同，而此余数应等于2。故令4+1·x=8y+2。x=8y-2。当y=1时，x=6。

，下个目标是“七数剩一”。66除以7余3，72除以7余2。故令3+2x'=7y'+1。2x'=7y'-2。x'=3y'+。当y'=2时，x'=6。故有

将整个搜寻过程串成一体即为

答：498即为所求。

通过简单计算，两度将6个逐次搜寻并为一个一次搜寻，大大提高了搜寻效率。不过此题还可解得更巧：若将条件叙述为“7数少6，8数少6，9数少6”，则立得本数为[7，8，9]-6=7×8×9-6=504-6=498。

例11.（韩信点兵题）有兵一队，若成5列纵队，则末行仅1人；若成6列纵队，则末行仅5人；若成7列纵队，则末行仅4人；若成11列纵队，则末行仅10人，求兵数。

分析与解：本题条件有四：5除余1，6除余5，7除余4，11除余10，由二、四两条件可知，应把6×11-1=65定为搜寻起点，下个目标定为“7除余4”。

。65除以7余2，66除以7余3。故令2+3x=7y+4。3x=7y+2。，当y=1时，x=3。

，下一目标“5除余1”，263除以5余3，462除以5余2，故令3+2x'=5y'+1，2x'=5y' -2。

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