乘法分配律教学难点的突破策略

宣光峰

乘法分配律体现了整数运算之间的重要关系，学生学习乘法分配律既是简便运算的需要，也是获得数量的变换思想、变换方式的重要渠道。然而，笔者在长期的教学实践中发现，乘法分配律的教学是运算定律和简便计算相关内容教学中的一大难点。

在学习乘法分配律之前，学生已经学习了加法交换律、加法结合律和乘法结合律，并能应用这些定律进行简便计算。按理说，同为数量的恒等变换关系，有了先前学习的经验，乘法分配律应该是一个比较容易学习的内容。然而，现实情况却恰恰相反。在实际教学中，前面的几种运算定律学生一般都很容易掌握，教学效果也比较好，但学习乘法分配律后，简便运算的错误明显增加，甚至之前已经掌握的其他运算定律在简便计算时也经常出错了。

对此，笔者仔细分析了以往的教学设计，收集了学生出现错误的各种类型并逐一分析原因，对教材的知识结构和教材编排特点作了深入的研究，发现学生应用乘法分配律进行简便计算错误较多的原因有多个方面：首先，乘法分配律的结构特征与其他定律相比更复杂，从一种运算发展为两种运算，学生的记忆、理解和应用更麻烦；其次，乘法分配律的语言表述更抽象，一些学生的死记硬背不仅不能增加对这一定律的理解，还会造成更大的记忆负担；第三，由于涉及了两种运用（进而还可能考虑减法与除法的形式类比），用乘法分配律进行简便计算的变式题形式多样：有正向思考、也有逆向运用；既要关注数据特征，又要考虑运算变换；既可以直接应用，还可以数据拆分后灵活使用，学生掌握起来难度更大；第四，先前其他定律的学习对乘法分配律的教学不仅没有产生正迁移，甚至还有负迁移的嫌疑。如与乘法结合律易产生混淆，更容易产生乱套公式现象等。

以上问题只是学生在学习过程中出现的表象，许多教师在教学中即使看到了这些现象，大多都是采用加大练习量的方法来纠正，却不知反复的演练、讲解、订正，只会让学生心存压力与畏惧。其实，究其根本原因，大量错误的产生是因为学生对乘法分配律只是一种形式上的记忆，缺乏对数量运算关系的深刻理解。

那么如何让学生更好地掌握和运用乘法分配律，为以后的数学学习打下扎实的基础呢？笔者对此作了一些尝试，并取得了一定的效果。

一、换种读法，化深奥为形象，更易理解

如何让学生清晰地建构起乘法分配律的数学模型，这是教学的基础，也是理解的前提。要让学生将乘法分配律有效地印在脑海中，用自己最能理解的方式描述是一个非常有效的策略。如人教版课本中对乘法分配律是这样表述的：“两个数的和与一个数相乘，可以先把它们与这个数分别相乘再相加，这叫作乘法分配律。”这一条由大量的数学术语堆积而成的抽象定义让学生感到“深奥”难懂，对于小学生来说理解记忆有一定困难。对此，笔者采用了以下教学方法：

步骤1：让学生独立使用不同的方法列式，多数学生能列出25×4+25×2和25×（4+2）两种不同的算式。

步骤2：要求学生互相说说每个算式的意义：25×4+25×2表示先求上午和下午各种多少棵，再求一天共种多少棵；25×（4+2）表示先求一天种了多少小时，再求一天共种了多少棵。

步骤3：引导学生用乘法的意义进行比较，25×4+25×2表示4个25加上2个25，25×（4+2）表示4加2个25。接着要求用这样的方法描述成等式：“4个25加上2个25等于4加2个25”，或者“4加2个25等于4个25加上2个25”。这样换了一种读法，看似简单，实质是让学生真正理解了算式的内涵，加深了对乘法分配律具体算式的理解。

步骤4：对于用字母来表示的乘法分配律a×c+b×c=（a+b）×c，试着让学生用上述方法读：“a个c加上b个c等于a+b个c”。比较我们通常的读法：“a乘c加上b乘c等于a加b的和乘c”，前者是利用乘法意义的意读，而后者是利用数学术语的直读。实践证明，仅仅由于两种读法的不同，对于小学生来说，对分配律的理解与记忆效果是大相径庭。

二、 打个比方，化抽象为具体，更易区别

笔者仔细分析学生作业中的错误，发现其中最常见的错误是与乘法结合律等以前学的运算定律产生混淆。例如：25×（40+4）=25×40×25×4；25×（40+4）=25×40+4；25×（4×40）=25×4×25×40等等。

为了让学生在简便计算中不会混淆用乘法分配律还是用乘法结合律，笔者首先让学生进行对比练习：25×（40+4）和25×（4×40），引导学生说说题目的异同、进行简便计算的不同以及两题各自分别用什么作计算依据。

在小结时通过打比方提醒学生注意：“乘法分配律与乘法结合律如同一对双胞胎，像我们班级里的王林旭和王林威，平时他们穿着一样，教室外老师常常分辨不清，你们会弄错谁是谁吗？”学生都说不会。教师又问：“他们长得这么像，你们为什么不会认错？”几乎每个学生都能说出他们一些细小的区别。教师相机提出：“现在乘法分配律与乘法结合律这对双胞胎也需要你们认真观察，仔细辨认，你们会区分吗？”大家大声喊道“会”。一个小小的比方，因为是学生熟悉的人物，因此更能激发学生的学习情绪，也在无形中加深了学生的印象。

教师随机进行巩固练习：“我们来试一试125×88，可以怎样简便计算？”学生都很有兴趣、非常仔细地做了起来，汇报时都信心满满：“88拆成80+8，是加号，用乘法分配律，分成80个125和8个125”。“88拆成8×11，是乘号，用乘法结合律，8与125先乘，再乘11”。在之后的练习中，学生自觉地以辨认“双胞胎”为鉴，计算错误明显减少。

这一次的“双胞胎”比方虽然笔者是借用了该班中独有的双胞胎资源，这在其他班中很少见，但是化抽象为具体的方法却是值得借鉴的。比如在其他班级的授课中，笔者则用学生比较熟悉的卡通人物、明星等作为举例，引导学生自主产生仔细观察、辨认特征的意识，同样十分有效。

三、一题多变，化刻板为灵活，更易巩固

利用运算定律进行简便计算，题目形式多样，对小学生来说出现计算错误也是在所难免的，尤其是在乘法分配律教学之后，如何灵活使用运算律，常常让许多学生束手无策。为此，笔者通过设计变式题和对比题，来对学生进行强化训练，将学生原先刻板地套用公式转化为能灵活地运用定律，从而提高计算能力。考虑到练习题的设计要少而精，要富有思维含量，从而点燃学生思维的火花，达到知识巩固的目的，笔者对题目的设计作了精心考虑。

例如：小明不小心打翻了墨水，作业纸有部分看不清了——简便计算：25× 。“你能帮小明将题目补一补吗？补充后的题目希望能用运算定律简便计算，看谁补得多，同类的一种就可以了。”学生出现了各种不同的补法：补12——25×12=25×4×3；补42——25×42=25×（40+2）；补99——25×99=25×（100-1）；补401——25×401=25×（400+1）；补13+75×13——25×13+75×13=13×（25+75）……

接着，要求学生给这些题分一分类，并说一说你是根据什么分类的？这一环节的设计，教师没有对分类的数量等作出具体的要求，不同层次的学生可以量力而为，学困生也能写出一两题。由于题目是由学生自己设计的，这使得他们在计算时更加投入，运算定律的应用也更加仔细，效果明显；而“分一分类”是对简便计算结构模型的一次自主整理，学生的认知结构得到完善，思维得以拓宽，简便计算也得到了巩固。

乘法分配律一课的研究留给笔者最大的启示在于，教学难点的突破关键在于教师适当的引导与点拨，从而充分地调动起学生自主学习的积极性。同时，抽象的内容越是形象化、学习内容与学生的生活越是贴近，越能促进学生牢固地掌握知识。

（浙江省绍兴市上虞区梁湖镇中心小学 312300）endprint

乘法分配律体现了整数运算之间的重要关系，学生学习乘法分配律既是简便运算的需要，也是获得数量的变换思想、变换方式的重要渠道。然而，笔者在长期的教学实践中发现，乘法分配律的教学是运算定律和简便计算相关内容教学中的一大难点。

在学习乘法分配律之前，学生已经学习了加法交换律、加法结合律和乘法结合律，并能应用这些定律进行简便计算。按理说，同为数量的恒等变换关系，有了先前学习的经验，乘法分配律应该是一个比较容易学习的内容。然而，现实情况却恰恰相反。在实际教学中，前面的几种运算定律学生一般都很容易掌握，教学效果也比较好，但学习乘法分配律后，简便运算的错误明显增加，甚至之前已经掌握的其他运算定律在简便计算时也经常出错了。

对此，笔者仔细分析了以往的教学设计，收集了学生出现错误的各种类型并逐一分析原因，对教材的知识结构和教材编排特点作了深入的研究，发现学生应用乘法分配律进行简便计算错误较多的原因有多个方面：首先，乘法分配律的结构特征与其他定律相比更复杂，从一种运算发展为两种运算，学生的记忆、理解和应用更麻烦；其次，乘法分配律的语言表述更抽象，一些学生的死记硬背不仅不能增加对这一定律的理解，还会造成更大的记忆负担；第三，由于涉及了两种运用（进而还可能考虑减法与除法的形式类比），用乘法分配律进行简便计算的变式题形式多样：有正向思考、也有逆向运用；既要关注数据特征，又要考虑运算变换；既可以直接应用，还可以数据拆分后灵活使用，学生掌握起来难度更大；第四，先前其他定律的学习对乘法分配律的教学不仅没有产生正迁移，甚至还有负迁移的嫌疑。如与乘法结合律易产生混淆，更容易产生乱套公式现象等。

以上问题只是学生在学习过程中出现的表象，许多教师在教学中即使看到了这些现象，大多都是采用加大练习量的方法来纠正，却不知反复的演练、讲解、订正，只会让学生心存压力与畏惧。其实，究其根本原因，大量错误的产生是因为学生对乘法分配律只是一种形式上的记忆，缺乏对数量运算关系的深刻理解。

那么如何让学生更好地掌握和运用乘法分配律，为以后的数学学习打下扎实的基础呢？笔者对此作了一些尝试，并取得了一定的效果。

一、换种读法，化深奥为形象，更易理解

如何让学生清晰地建构起乘法分配律的数学模型，这是教学的基础，也是理解的前提。要让学生将乘法分配律有效地印在脑海中，用自己最能理解的方式描述是一个非常有效的策略。如人教版课本中对乘法分配律是这样表述的：“两个数的和与一个数相乘，可以先把它们与这个数分别相乘再相加，这叫作乘法分配律。”这一条由大量的数学术语堆积而成的抽象定义让学生感到“深奥”难懂，对于小学生来说理解记忆有一定困难。对此，笔者采用了以下教学方法：

步骤1：让学生独立使用不同的方法列式，多数学生能列出25×4+25×2和25×（4+2）两种不同的算式。

步骤2：要求学生互相说说每个算式的意义：25×4+25×2表示先求上午和下午各种多少棵，再求一天共种多少棵；25×（4+2）表示先求一天种了多少小时，再求一天共种了多少棵。

步骤3：引导学生用乘法的意义进行比较，25×4+25×2表示4个25加上2个25，25×（4+2）表示4加2个25。接着要求用这样的方法描述成等式：“4个25加上2个25等于4加2个25”，或者“4加2个25等于4个25加上2个25”。这样换了一种读法，看似简单，实质是让学生真正理解了算式的内涵，加深了对乘法分配律具体算式的理解。

步骤4：对于用字母来表示的乘法分配律a×c+b×c=（a+b）×c，试着让学生用上述方法读：“a个c加上b个c等于a+b个c”。比较我们通常的读法：“a乘c加上b乘c等于a加b的和乘c”，前者是利用乘法意义的意读，而后者是利用数学术语的直读。实践证明，仅仅由于两种读法的不同，对于小学生来说，对分配律的理解与记忆效果是大相径庭。

二、 打个比方，化抽象为具体，更易区别

笔者仔细分析学生作业中的错误，发现其中最常见的错误是与乘法结合律等以前学的运算定律产生混淆。例如：25×（40+4）=25×40×25×4；25×（40+4）=25×40+4；25×（4×40）=25×4×25×40等等。

为了让学生在简便计算中不会混淆用乘法分配律还是用乘法结合律，笔者首先让学生进行对比练习：25×（40+4）和25×（4×40），引导学生说说题目的异同、进行简便计算的不同以及两题各自分别用什么作计算依据。

在小结时通过打比方提醒学生注意：“乘法分配律与乘法结合律如同一对双胞胎，像我们班级里的王林旭和王林威，平时他们穿着一样，教室外老师常常分辨不清，你们会弄错谁是谁吗？”学生都说不会。教师又问：“他们长得这么像，你们为什么不会认错？”几乎每个学生都能说出他们一些细小的区别。教师相机提出：“现在乘法分配律与乘法结合律这对双胞胎也需要你们认真观察，仔细辨认，你们会区分吗？”大家大声喊道“会”。一个小小的比方，因为是学生熟悉的人物，因此更能激发学生的学习情绪，也在无形中加深了学生的印象。

教师随机进行巩固练习：“我们来试一试125×88，可以怎样简便计算？”学生都很有兴趣、非常仔细地做了起来，汇报时都信心满满：“88拆成80+8，是加号，用乘法分配律，分成80个125和8个125”。“88拆成8×11，是乘号，用乘法结合律，8与125先乘，再乘11”。在之后的练习中，学生自觉地以辨认“双胞胎”为鉴，计算错误明显减少。

这一次的“双胞胎”比方虽然笔者是借用了该班中独有的双胞胎资源，这在其他班中很少见，但是化抽象为具体的方法却是值得借鉴的。比如在其他班级的授课中，笔者则用学生比较熟悉的卡通人物、明星等作为举例，引导学生自主产生仔细观察、辨认特征的意识，同样十分有效。

三、一题多变，化刻板为灵活，更易巩固

利用运算定律进行简便计算，题目形式多样，对小学生来说出现计算错误也是在所难免的，尤其是在乘法分配律教学之后，如何灵活使用运算律，常常让许多学生束手无策。为此，笔者通过设计变式题和对比题，来对学生进行强化训练，将学生原先刻板地套用公式转化为能灵活地运用定律，从而提高计算能力。考虑到练习题的设计要少而精，要富有思维含量，从而点燃学生思维的火花，达到知识巩固的目的，笔者对题目的设计作了精心考虑。

例如：小明不小心打翻了墨水，作业纸有部分看不清了——简便计算：25× 。“你能帮小明将题目补一补吗？补充后的题目希望能用运算定律简便计算，看谁补得多，同类的一种就可以了。”学生出现了各种不同的补法：补12——25×12=25×4×3；补42——25×42=25×（40+2）；补99——25×99=25×（100-1）；补401——25×401=25×（400+1）；补13+75×13——25×13+75×13=13×（25+75）……

接着，要求学生给这些题分一分类，并说一说你是根据什么分类的？这一环节的设计，教师没有对分类的数量等作出具体的要求，不同层次的学生可以量力而为，学困生也能写出一两题。由于题目是由学生自己设计的，这使得他们在计算时更加投入，运算定律的应用也更加仔细，效果明显；而“分一分类”是对简便计算结构模型的一次自主整理，学生的认知结构得到完善，思维得以拓宽，简便计算也得到了巩固。

乘法分配律一课的研究留给笔者最大的启示在于，教学难点的突破关键在于教师适当的引导与点拨，从而充分地调动起学生自主学习的积极性。同时，抽象的内容越是形象化、学习内容与学生的生活越是贴近，越能促进学生牢固地掌握知识。

（浙江省绍兴市上虞区梁湖镇中心小学 312300）endprint

乘法分配律体现了整数运算之间的重要关系，学生学习乘法分配律既是简便运算的需要，也是获得数量的变换思想、变换方式的重要渠道。然而，笔者在长期的教学实践中发现，乘法分配律的教学是运算定律和简便计算相关内容教学中的一大难点。

在学习乘法分配律之前，学生已经学习了加法交换律、加法结合律和乘法结合律，并能应用这些定律进行简便计算。按理说，同为数量的恒等变换关系，有了先前学习的经验，乘法分配律应该是一个比较容易学习的内容。然而，现实情况却恰恰相反。在实际教学中，前面的几种运算定律学生一般都很容易掌握，教学效果也比较好，但学习乘法分配律后，简便运算的错误明显增加，甚至之前已经掌握的其他运算定律在简便计算时也经常出错了。

对此，笔者仔细分析了以往的教学设计，收集了学生出现错误的各种类型并逐一分析原因，对教材的知识结构和教材编排特点作了深入的研究，发现学生应用乘法分配律进行简便计算错误较多的原因有多个方面：首先，乘法分配律的结构特征与其他定律相比更复杂，从一种运算发展为两种运算，学生的记忆、理解和应用更麻烦；其次，乘法分配律的语言表述更抽象，一些学生的死记硬背不仅不能增加对这一定律的理解，还会造成更大的记忆负担；第三，由于涉及了两种运用（进而还可能考虑减法与除法的形式类比），用乘法分配律进行简便计算的变式题形式多样：有正向思考、也有逆向运用；既要关注数据特征，又要考虑运算变换；既可以直接应用，还可以数据拆分后灵活使用，学生掌握起来难度更大；第四，先前其他定律的学习对乘法分配律的教学不仅没有产生正迁移，甚至还有负迁移的嫌疑。如与乘法结合律易产生混淆，更容易产生乱套公式现象等。

以上问题只是学生在学习过程中出现的表象，许多教师在教学中即使看到了这些现象，大多都是采用加大练习量的方法来纠正，却不知反复的演练、讲解、订正，只会让学生心存压力与畏惧。其实，究其根本原因，大量错误的产生是因为学生对乘法分配律只是一种形式上的记忆，缺乏对数量运算关系的深刻理解。

那么如何让学生更好地掌握和运用乘法分配律，为以后的数学学习打下扎实的基础呢？笔者对此作了一些尝试，并取得了一定的效果。

一、换种读法，化深奥为形象，更易理解

如何让学生清晰地建构起乘法分配律的数学模型，这是教学的基础，也是理解的前提。要让学生将乘法分配律有效地印在脑海中，用自己最能理解的方式描述是一个非常有效的策略。如人教版课本中对乘法分配律是这样表述的：“两个数的和与一个数相乘，可以先把它们与这个数分别相乘再相加，这叫作乘法分配律。”这一条由大量的数学术语堆积而成的抽象定义让学生感到“深奥”难懂，对于小学生来说理解记忆有一定困难。对此，笔者采用了以下教学方法：

步骤1：让学生独立使用不同的方法列式，多数学生能列出25×4+25×2和25×（4+2）两种不同的算式。

步骤2：要求学生互相说说每个算式的意义：25×4+25×2表示先求上午和下午各种多少棵，再求一天共种多少棵；25×（4+2）表示先求一天种了多少小时，再求一天共种了多少棵。

步骤3：引导学生用乘法的意义进行比较，25×4+25×2表示4个25加上2个25，25×（4+2）表示4加2个25。接着要求用这样的方法描述成等式：“4个25加上2个25等于4加2个25”，或者“4加2个25等于4个25加上2个25”。这样换了一种读法，看似简单，实质是让学生真正理解了算式的内涵，加深了对乘法分配律具体算式的理解。

步骤4：对于用字母来表示的乘法分配律a×c+b×c=（a+b）×c，试着让学生用上述方法读：“a个c加上b个c等于a+b个c”。比较我们通常的读法：“a乘c加上b乘c等于a加b的和乘c”，前者是利用乘法意义的意读，而后者是利用数学术语的直读。实践证明，仅仅由于两种读法的不同，对于小学生来说，对分配律的理解与记忆效果是大相径庭。

二、 打个比方，化抽象为具体，更易区别

笔者仔细分析学生作业中的错误，发现其中最常见的错误是与乘法结合律等以前学的运算定律产生混淆。例如：25×（40+4）=25×40×25×4；25×（40+4）=25×40+4；25×（4×40）=25×4×25×40等等。

为了让学生在简便计算中不会混淆用乘法分配律还是用乘法结合律，笔者首先让学生进行对比练习：25×（40+4）和25×（4×40），引导学生说说题目的异同、进行简便计算的不同以及两题各自分别用什么作计算依据。

在小结时通过打比方提醒学生注意：“乘法分配律与乘法结合律如同一对双胞胎，像我们班级里的王林旭和王林威，平时他们穿着一样，教室外老师常常分辨不清，你们会弄错谁是谁吗？”学生都说不会。教师又问：“他们长得这么像，你们为什么不会认错？”几乎每个学生都能说出他们一些细小的区别。教师相机提出：“现在乘法分配律与乘法结合律这对双胞胎也需要你们认真观察，仔细辨认，你们会区分吗？”大家大声喊道“会”。一个小小的比方，因为是学生熟悉的人物，因此更能激发学生的学习情绪，也在无形中加深了学生的印象。

教师随机进行巩固练习：“我们来试一试125×88，可以怎样简便计算？”学生都很有兴趣、非常仔细地做了起来，汇报时都信心满满：“88拆成80+8，是加号，用乘法分配律，分成80个125和8个125”。“88拆成8×11，是乘号，用乘法结合律，8与125先乘，再乘11”。在之后的练习中，学生自觉地以辨认“双胞胎”为鉴，计算错误明显减少。

这一次的“双胞胎”比方虽然笔者是借用了该班中独有的双胞胎资源，这在其他班中很少见，但是化抽象为具体的方法却是值得借鉴的。比如在其他班级的授课中，笔者则用学生比较熟悉的卡通人物、明星等作为举例，引导学生自主产生仔细观察、辨认特征的意识，同样十分有效。

三、一题多变，化刻板为灵活，更易巩固

利用运算定律进行简便计算，题目形式多样，对小学生来说出现计算错误也是在所难免的，尤其是在乘法分配律教学之后，如何灵活使用运算律，常常让许多学生束手无策。为此，笔者通过设计变式题和对比题，来对学生进行强化训练，将学生原先刻板地套用公式转化为能灵活地运用定律，从而提高计算能力。考虑到练习题的设计要少而精，要富有思维含量，从而点燃学生思维的火花，达到知识巩固的目的，笔者对题目的设计作了精心考虑。

例如：小明不小心打翻了墨水，作业纸有部分看不清了——简便计算：25× 。“你能帮小明将题目补一补吗？补充后的题目希望能用运算定律简便计算，看谁补得多，同类的一种就可以了。”学生出现了各种不同的补法：补12——25×12=25×4×3；补42——25×42=25×（40+2）；补99——25×99=25×（100-1）；补401——25×401=25×（400+1）；补13+75×13——25×13+75×13=13×（25+75）……

接着，要求学生给这些题分一分类，并说一说你是根据什么分类的？这一环节的设计，教师没有对分类的数量等作出具体的要求，不同层次的学生可以量力而为，学困生也能写出一两题。由于题目是由学生自己设计的，这使得他们在计算时更加投入，运算定律的应用也更加仔细，效果明显；而“分一分类”是对简便计算结构模型的一次自主整理，学生的认知结构得到完善，思维得以拓宽，简便计算也得到了巩固。

乘法分配律一课的研究留给笔者最大的启示在于，教学难点的突破关键在于教师适当的引导与点拨，从而充分地调动起学生自主学习的积极性。同时，抽象的内容越是形象化、学习内容与学生的生活越是贴近，越能促进学生牢固地掌握知识。

（浙江省绍兴市上虞区梁湖镇中心小学 312300）endprint