b-度量空间中弱压缩映射的强收敛定理

刘信东

(宜宾学院数学学院，四川宜宾644007)

b-度量空间中弱压缩映射的强收敛定理

刘信东

(宜宾学院数学学院，四川宜宾644007)

定义了b-度量空间中弱压缩映射，证明了由Picard迭代生成的序列强收敛到弱压缩映射的一个不动点．改进和推广了Fatma等人的研究结果．

b-度量空间；弱压缩映射；Picard迭代；不动点

Banach压缩映射原理自诞生以来，一直受到许多学者的亲睐，他们为此付出了大量的心血，对定理作了各种推广．最近，Fatma[1]将其推广到锥度量空间中的弱压缩映射，证明了该映射有不动点．作为度量空间的推广，b-度量空间越来越受到学者的重视，对度量空间中压缩映射作了大量的推广[2-5]．

1 预备知识

定义1[2]设X是一个集合，s≥1是一给定实数. d:X×X→[)

0,∞是一个映射，如果对任意x,y,z∈X，有

(1)d(x,y)=0当且仅当x=y；

(2)d(x,y)=d(y,x)；

(3)d(x,y)≤s[] d(x,z)+d(z,y)．成立，则称(X,d)是一个b-度量空间．

定义2(X,d)是一b-度量空间，T:X→X是一个映射．如果存在a∈[0,1)，b∈[0,∞)，使得对任意x,y∈X有

成立，则称T是一个弱压缩映射．特别地，当b=0时，称T为压缩映射．

设T是一个弱压缩映射，本文的目的是考虑Picard迭代：证明该迭代生成的序列{xn}强收敛到T的不动点．改进和推广了Fatma等的结论．

2 主要结果

定理1设(X,d)是一个完备的b-度量空间，T:X→X是一个弱压缩映射.如果，则由Picard迭代所生成的序列{xn}是一个Cauchy列．

证明：对任意的n≥1，有

因此，对任意p≥1，有

定理2设(X,d)是一个完备的b-度量空间，T:X→X是一个弱压缩映射.如果则T有不动点．

证明：设{xn}是由Picard迭代所生成的序列，由定理1知，{xn}是一个Cauchy列.由于(X,d)完备，则{xn}收敛．设xn→z,(n→∞)，下证z是T的不动点．

由于xn→z,(n→∞)，则对任意 ε＞0，存在N∈N+，使得n≥N，有于是

由ε的任意性知d(z,Tz)=0，则Tz=z，即z是T的不动点．

推论 设(X,d)是一个完备的b-度量空间，T:X→X是一个压缩映射．如果，则T有不动点．

[1]Fatma A S.Fixed point theorems for weak contractions in cone metric spaces[J].Int Journal of Math Analysis,2010,7(48):2367-2372.

[2]Razani A,Bagherboum M.Convergence and stability of Jungck-type iterative procedures in convex b-metric spaces[J/OL].Fixed Point Theory and Applications 2013,2013:331.http://www.fixedpointtheoryandapplications.com/content/2013/1/331.

[3]Bakhtin I A.The contraction mapping principle in almost metric spaces [J].Funct Anal,Gos Ped Inst Unianowsk 1989,30,26-37.

[4]Czerwik S.Contraction mappings in b-metric spaces[J].Acta Mathematica et Informatica Universitatis Ostraviensis,1993,1:5-11.

[5]Czerwik S.Nonlinear set-valued contraction mappings in b-metric spaces[J].Atti Semin Mat Fis Univ Modena Reggio Emilia,1998,46: 263-276.

【编校：许洁】

A Strong Convergence Theorem for Weak Constractive Mappings in B-Metric Spaces

LIU Xindong
(School of Mathematics,Yibin University,Yibin,Sichuan 644007,China)

In b-metric space,weak constraction was introduced.The sequence generated by picard iterative strongly converge to a fixed point of weak constraction.The result extends and improves the corresponding results announced by Fatma etc.

b-metric space;weak contractive mapping;picard iterative;fixed point

O177.91

A

1671-5365(2014)06-0016-02

2014-01-05修回：2014-01-20

宜宾学院青年基金资助项目(2007Q22)

刘信东(1975-)，男，讲师，硕士，研究方向为泛函分析

时间：2014-03-28 17:12

http://www.cnki.net/kcms/detail/51.1630.Z.20140328.1712.003.html