一类具有黏阻尼的非线性弹性杆方程的初边值问题

牛丽芳,张建文

(太原理工大学 数学学院，太原 030024)

一类具有黏阻尼的非线性弹性杆方程的初边值问题

牛丽芳,张建文

(太原理工大学 数学学院，太原 030024)

在给定的Sobolve空间中,研究了一类非线性弹性杆方程的初边值问题,其中非线性项具有临界增长指数。描述了考虑非线性势力作用下具有黏阻尼的弹性杆的振动问题,利用Faedo-Galerkin方法,通过对变系数及非线性的处理,证明了该系统在一定初边值条件下整体弱解的存在、唯一性。为此类力学振动问题的研究和计算提供了理论依据。

Faedo-Galerkin方法;黏阻尼;非线性弹性杆;初边值问题

具有粘阻尼的非线性弹性杆的振动问题是动力系统中最常见又非常复杂的问题之一,如果考虑非线性势力作用,可建立如下数学模型

δΔut-ωΔutt=f(u),x∈Ω,

(1)

尚亚东[1]研究了系统当α=1,β=γ=0,ω=1,n=1,2,3时整体强解的存在、唯一性,仅得到了f(u)是次临界Sobolve指数情形下整体强解的存在、唯一,而f(u)缺乏紧性。张宏伟[2]在文献[1]的基础上,利用位势井方法,研究了非线性项f(u)具有临界指数增长时系统整体弱解的定性问题。之后谢永钦[3]研究了此系统的长时间行为，以及当α=1,β=γ=0,δ=1时系统的渐近行为。文献[5]在前人的基础上研究了当α=1,β=γ=0时,系统带有记忆项时整体动力学行为。

笔者研究当δ=1时,方程组在初始条件

u(x,0)=u0(x),ut(x,0)=u1(x),

∀x∈Ω,

(2)

及边界条件

u(x,t)=u(2)(x,t)=0,

∀x∈∂Ω,t∈[0,T]

(3)

下整体强解的存在性、唯一性。

1 预备知识

引理2[6]设f∈L∞(0,T),k≥0,c0为常数,若对一切t∈[0,T],

则f(t)≤c0ekt.

2 整体弱解的存在性、唯一性

本节我们将利用Galerkin方法,结合能量估计,研究系统(1)—(3)的整体弱解,对非线性项f(s)做一些约束,假设f(s)满足:

(h2) |f′(s)|≤c0(1+|s|p), ∀s∈.

f(s)s≤λs2+c1, ∀s∈,

(4)

(5)

使得

um(t)满足逼近方程

(6)

及初始条件

um(0)=u0m=

(7)

umt(0)=u1m=

(8)

注意到系统(6)—(8)是关于函数aj(t)(j=1,2,…,m)的二阶非线性常微分方程组的柯西问题,由常微分方程理论知:∃tm>0,使得系统(6)—(8)的解存在,从而得um(t).

引理3设Ω⊂n是有界光滑区域非线性项f(s)满足条件(h1)-(h2),则对任一T>0及系统(4)—(6)的任意解um(x,t),umt(x,t)满足:

‖umt‖2+‖um‖2≤M1, 0≤t≤T.

(9)

其中M1是与m无关的常数。

证明在(6)中取φ=umt,得

(10)

故

即 |umt|2+α‖um‖2+

其中

ρ0=|umt(x,0)|2+α‖um(x,0)‖2+

由(5)及Poincareé不等式得

ω‖umt‖2≤ρ0+Cm(Ω)ρ.

(11)

其中C为与m无关的常数,本文不同地方的C代表不同的与m无关的正常数。

由(7)、(8)及f的连续性,存在正常数M1(M1与T及t无关),对一切m均有

ρ≤M1,‖umt‖2+‖um‖2≤M1,

∀0≤t≤T.

(12)

证毕。

引理4设Ω⊂n是有界光滑区域非线性项f(s)满足条件(h1)-(h2),则对任一T>0及系统(4)—(6)的任意解um(x,t)满足:

‖umtt‖2+|umtt|2≤M2, 0≤t≤T.

(13)

其中M2是与m无关的常数。

证明在(6)中取φ=umtt,得

(14)

由条件(h2)有

再由Young不等式得:

‖um‖2p+

ρ1(|umtt|2+‖umtt‖2),

(15)

(16)

C‖um‖2+ρ3‖umtt‖2,

(17)

C(‖um‖2+‖umt‖2)+ρ4‖umtt‖2,

(18)

C‖umt‖2+ρ5‖umtt‖2.

(19)

‖umtt‖2+|umtt|2≤M2, 0≤t≤T.

证毕。

定理1设Ω⊂n是有界光滑区域非线性项f(s)满足条件(h1)-(h2),则系统(1)—(3)存在如下意义的整体弱解u(x,t):

∀T>0,u(x,t),ut(x,t),

证明由引理1,2及(10)式知

因为可分赋范线性空间的一致有界线性泛函序列中必可取一个弱星收敛的子列,故可取{um},{umt},{umtt}的子列{uμ},{uμt},{uμtt},使得

uμ(x,t)→u(x,t)，

(20)

uμt(x,t)→ut(x,t)，

(21)

uμtt(x,t)→utt(x,t)，

(22)

f(uμ)→χ，在Lq(Ω×[0,T])中弱收敛。

(23)

由(15)式、条件 (h2)及引理1,存在仅依赖于c0和M1的正常数M3,使得

∀μ∈,t∈[0,T].

其中

φ(x,t)dxdt=

由(20)—(21),有

又由于

故 Δuμtt(x,t)→Δutt(x,t)

(24)

下面验证u(x,t)满足初值条件

在(24)中取ψ=v(t),则有

(25)

对(25)式中第一项作两次分部积分,得

(26)

同理可得:

再由(7)—(8),(20)—(23)得:

(u1,v(0)).

(27)

比较(26)和(27),并由v(0),vt(0)的任意性得:

因此u(x,t)为系统(1)—(3)满足初边值条件的一个整体弱解。

定理2设Ω⊂n是有界光滑区域非线性项f(s)满足条件(h1)-(h2),则系统(1)—(3)的整体弱解是唯一的,且对任意两个解存在η>0,∀t>0,有‖‖≤M4eη t,其中‖‖2+ω‖‖2.

(28)

(29)

(30)

用ut与(28)式在L2(Ω)中作内积,得

‖ut‖2+I1=

(31)

其中

由引理3,条件(h2)及Sobolev嵌入定理,得

∀t∈[0,T].

其中常数M(T)仅依赖于T和初值,0≤θ≤1,故

C(‖u‖2+‖ut‖2).

(32)

下面对I1进行估计。记

因为

并由引理1和引理3,有

利用Young不等式得:

I2≤C(‖u‖2+|ut|2).

(33)

同理因为

C(‖u‖+|ut|).

利用Young不等式得

I3≤C(‖u‖2+|ut|2).

(34)

由(33)—(34),得

I1≤C(‖u‖2+|ut|2).

(35)

综合(31)、(32)、(35),存在常数,使得C1

C1(|ut|2+α‖u‖2+ω‖ut‖2).

于是有

|ut|2+α‖u‖2+ω‖ut‖2≤M4eη t,

∀(x,t)∈Ω×(0,T).

则

(36)

3 结论

通过论证,得到了一类具有黏阻尼的非线性弹性杆方程在齐次边界条件下整体弱解的存在、唯一性。工程中能够简化到与本文模型有相同受力情况及边界约束的模型时,从理论上可采用该方程对工程进行估算,并能对结构的强度、稳定性有一定的了解,为安全经济地进行结构设计提供了指导。

[1] 尚亚东. 方程utt-Δu-Δut-Δutt=f(u)的初边值问题[J].应用数学学报,2000,23(3):385-393.

[2] 张宏伟,呼青英. 一类非线性双曲方程整体弱解的存在性和不存在性[J]. 工程数学学报,2003,20(3):131-134.

[3] Xie Yongqin, Zhong Chengkui. The existence of global attractors for a class nonlinear evolution equation [J]. Math Anal Appl, 2007(336):54-69.

[4] Xie Yongqin, Zhong Chengkui. Asymptotic behavior of a class of nonlinear evolution equations[J]. Nonlinear Analysis, 2009(71):5095-5105.

[5] 牛丽芳,张建文,张建国. 一类带记忆项的非线性弹性杆的全局吸引子[J]. 数学的实践与认识,2013,43(18):262-268.

[6] Ball J M. Initial-boundary value problems for an extensible beam [J]. Mathe Anal, 1973(42): 61-88.

(编辑：张红霞)

Initial-boundaryValueProblemsforaKindofNonlinearElasticRodswithSomeSuitableDamped

NIULifang,ZHANGJianwen

(CollegeofMathematics,TaiyuanUniversityofTechnology,Taiyuan030024,China)

The initial-boundary value problem was studied in given Sobolve space, where the nonlinear term satisfies a critical exponential growth condition. The problem involves a class of nonlinear partial differential equations describing the nonlinear elastic rods with viscous damp under external force. By using Faedo-Galerkin method, the existence and uniqueness of the weak solutions for the proposed problem were proved through the appropriate manipulation of variable coefficient and nonlinear items.

Faedo-Galerkin method; viscous damp; nonlinear elastic rods; initial-boundary value problems

2013-02-09

国家自然科学基金资助项目(11172194);国家自然科学基金数学天元青年基金资助项目(11226316);山西省青年科技研究基金资助项目(2011021002-2);山西省自然科学基金资助项目(2010011008)

牛丽芳(1980-),女,山西晋城人,博士生,讲师, 主要从事动力系统研究,(Tel)13403406995

张建文,男,博士,教授,博导，(E-mail)zhangjianwen@tyut.edu.cn

1007-9432(2014)01-0128-05

O19

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