向量优化问题恰当有效解的几个性质*

肖 浩， 黄龙光

(集美大学 理学院，福建 厦门 361021)

众所周知，向量优化的理论与方法已经在经济、金融、计算机、最优决策等许多领域扮演了十分重要的角色.自从1879年，意大利经济学家维弗雷多·帕雷托提出Pareto有效解这一概念以来[1]，已经有越来越多的学者开始研究向量优化问题有效解的概念、性质.随着进一步的研究，恰当有效解的概念被提出来，其中ε-有效解的研究也取得了一些成果[2-4].近年来，Y.Jiang和S.deng在恰当有效解的基础上提出了α-恰当有效解[5].并讨论了有效解、恰当有效解和α-恰当有效解之间的关系.此处在文献[5-6]的基础上进步一讨论恰当有效解的相关性质，将目标函数引入参数变成更为一般的情形，通过对参数的控制讨论其有效解的存在情况.

1 预备知识

考虑如下向量优化问题：

(P) minF(x) s.t.x∈C

其中C⊂X是赋范线性空间X中的非空闭集，F(x)=(f1(x)，…，fm(x))是一个从X到Rm的连续向量函数，其中Rm为m维欧几里德空间.

∀x∈C]⟹

用‖·‖1和‖·‖∞表示Rm中的l1-范数和l∞-范数[7].设y=(y1，…，ym)T∈Rm，有

[v]+=([v1]+，…，[vm]+)T

2 恰当有效解的性质

对于(P)，定义

其中λ=(λ1，…，λm)T∈Rm是一个从X到Rm的连续向量函数，且λi>0.

类似于文献[8]，有下面的定理.

定理1 对于(P)，E是非空的当且仅当存在q∈C，使得最优化问题

证明⟹令y∈E，考虑下面优化问题

如果y不是其有效解，则存在一个z∈C，使得

f(z)

这与y∈E矛盾.

⟸ 假设对于y是(φ(q))，q∈C的有效解，但y∉E，则存在z∈C，使得

这与y是(φ(q))，q∈C的有效解矛盾.

注2 若x*是(P)的有效解，则它不一定是(P)的恰当有效解.

例1 令C={(x1，x2)|(x1-1)2+(x2-1)2≤1}，F(x)=(x1，x2)，则(1，0)和(0，1)在E内，但它们不是(P)的恰当有效解.

(1)

3 α-恰当有效解的性质

现在介绍一种增强的恰当有效解，称之为α-恰当有效解.

(2)

注3 式(2)中α=1时的情形即为定理2.

令G(x)=(λ1f1(x)，…，λmfm(x))T∈Rm，则有以下定理成立.

定理3 对于(P)，令x*∈E，则x*也是最小化问题f(x)+‖[G(x*)-G(x)]+‖1，x∈C的有效解.

注4 对于定理3，x*若是最小化问题f(x)+‖[G(x*)-G(x)]+‖1，x∈C的有效解，则它不一定是(P)的有效解.

例3 令m=1，f1(x)=x2，C=[0，∞)，λ=1，则x*=1是x2+[1-x2]，x∈C的有效解，但不是f1的有效解(它的有效解是0).

类似于问题(P)，定义如下向量优化问题：

(G) minG(x) s.t.x∈C

其中C⊂X是赋范线性空间X中的非空闭集，G(x)=(λ1f1(x)，…，λmfm(x))∈Rm是一个从X到Rm的连续向量函数.

(3)

的有效解.

证明⟹ 由于x*∈E，由定义3，知

其中式(4)是根据l1-范数和l∞-范数的关系得来，式(5)是根据α-有效解的定义得来.

⟸ 由于对任意的x∈C，x*都是式(2)的有效解，于是

即

若‖[G(x*)-G(x)]+‖∞=0，结论显然成立.

假设‖[G(x*)-G(x)]+‖∞>0，若j∈[1，k]，使

‖[G(x*)-G(x)]+‖∞=λj(fj(x*)-fj(x))

则

‖[G(x*)-G(x)]+‖∞=λj(fj(x*)-fj(x))≤

类似于文献[9]，有下面的推论.

参考文献：

[1] YOUSHIKAZU S，HIROTAKA N，TETSUZO T. Theory of Multiobjective Optimization[M].New York：Academic Press Inc，1985

[2] LORIDAN. E-solutions in Vector Minimization Problems [J].Journal of Optimization Theory and Applications，1984，43(2)：265-276

[3] 彭婕，赵克全. 向量优化问题ε-真有效解的一个性质 [J].重庆工商大学学报：自然学科版，2013，12(30)：1-3

[4] RONG W D，WU Y N. E-weak Minimal Solutions of Vector Optimization Problems with Set-valued Maps [J].Journal of Optimization Theory and Applications，2000(3)：569-579

[5] JIANG Y，DENG S. Enhanced Efficiency in Multi-objective Optimization [J].Journal of Optimization Theory and Applications，2013(2)：201-209

[6] ALEXANDE J. Optimization on Metric and Normed Spaces [M].Berlin：Springer，1998

[7] 胡毓达. 多目标规划有效性理论 [M].上海：上海科学技术出版社，1994

[8] DENG S. On Efficient Solutions in Vector Optimization [J].Journal of Optimization Theory and Applications，1998，96(1)：201-209

[9] Huang X X，YANG X Q. On Characterizations of Proper Efficiency for Nonconvex Multi-ob jective Optimization [J].Journal of Global Optimization，2002，23(2)：213-231