一道数学试题在课堂上的嬗变

●

(稠江中学 浙江义乌 322000)

著名数学家波利亚曾说过：“教师在课堂上讲什么当然是重要的，然而学生想的是什么更是千百倍的重要.思想应当在学生的脑子里产生出来，而教师仅仅只应起一个助产婆的作用.”当前建设高效课堂的目的正是基于这一理念，有针对性地创设开放性课堂，让学生参与到课堂学习中，学生在课堂上灵光一现的思路、油然而生的方法都予以充分的展示，从而培养学生学习数学的兴趣，达到全面提高学生数学素养的目的.近日，笔者在讲解浙江省金华市婺城区2013学年九年级上学期数学期末试卷的第16题时，结合自己参加中考命题的经验，让学生参与到试题的分析、改编中，让学生发现中考试题原来可以由一道普通题目通过改编而来，从而揭开中考命题神秘的面纱，激发学生对一些试题进行有意识地改编，达到举一反三的目的.

图1

原题如图1,矩形OABC的顶点A,C分别在x,y轴的正半轴上,OA=3,OC=2,M是BC的三等分点,且CM

这是该试卷中的一道把关题，为了降低难度，让学生都能参与到讨论中来，考虑到以MD为腰的等腰三角形分MD=MQ和MD=DQ这2种情况，于是笔者设置了如下阶梯的讨论题：

(1)点M到直线AB的距离是多少？

(2)在点D运动的过程中，点D到直线AB的距离是怎样变化的？

(3)在点D运动的过程中，MD的长度满足怎样的变化规律？

(4)当MD满足什么条件时，能构成以点M为顶角顶点的等腰三角形？

学生在分组讨论时，都能说出第(1)小题中点M到直线AB的距离是2，还能解决其中的几个小题.第3小组的学生主动上来解答第(2)～(4)小题：

(2)当点D在OC上运动时，点D到直线AB的距离是3；当点D在OA上运动时，点D到直线AB的距离从3逐渐减小到0.

近来的成交谨慎，与前段时间很多复肥厂家的秋季订货会性质的各种大促销密切相关，某肥业郑州峰会订货10万吨，某股份成都大会收款4.5亿元……大成交都到前面去了，后面的成交理所当然谨小慎微，大伙儿Get到了吗？

这时笔者因势利导，提出问题：“同学们，大家可能都很想知道中考试题是怎样编写的，今天我们一起来尝试改编这道题目，也来当一次命题老师，大家有没有信心？”学生们顿时兴趣高涨，摩拳擦掌，纷纷表示有信心.以下具体展示改编思路，课堂教学实录如下：

1 巧变结论，培养学生分类讨论思想

师：同学们，刚才我们在解题时发现，以MD为腰的等腰三角形在发生变化，我们从改变结论入手，来改编这个题目如下：

改编题1当m满足什么条件时，以MD为腰的等腰三角形有且只有1个、2个、3个、4个？

有了前面的铺垫，小组讨论不久，第6小组的学生很快就派代表发言：

笔者对第6小组的解答给予了充分肯定，他们从不同角度对m的值进行了分类讨论，找到了点D在运动过程中的临界点.

话音刚落，第2小组的学生提出了不同的意见：

图2 图3

这时全班学生都情不自禁地鼓掌，教师适时进行总结.

师：在运动过程中讨论三角形的问题，我们一定要考虑到特殊情况：当三点共线时不能构成三角形；等边三角形是特殊的等腰三角形.

2 巧变条件，培养学生类比思想

师：前面我们改变了题目的结论，那么能否从改变条件来改编题目呢？如：把矩形OABC改编成平行四边形ABCD.

图4

改编题2平行四边形ABCD放置在如图4所示的平面直角坐标系中，且∠ADC=60°，AD=3,CD=2,M是BC的三等分点,且CM

师：仿照改编题1的解法，我们要找到2道改编题解法的相同点和不同点.请大家小组讨论后派代表发言.

各小组经过激烈讨论，对相同点和不同点都有了不同的发现，最后第4小组获得发言的机会：

不同点：如图5所示，当点P运动到点O时，MP∥AB，此时以点M为顶角顶点的等腰三角形有2个，以点P为顶角顶点的等腰三角形也有2个，但有一个是重合的，因此，当m=3时，这样的等腰三角形有且只有3个；如图6所示,当MP⊥AD时，以点M为顶角顶点的等腰三角形有1个，以点P为顶角顶点的等腰三角形有2个，但一个三点共线，一个以点M为顶角顶点的等腰三角形重合，因此当m=4时，这样的等腰三角形有且只有1个；如图7所示，当m=5时，以点M为顶角顶点的等腰三角形有1个，以点P顶角顶点的等腰三角形有2个，但一个与点M为顶角顶点的等腰三角形重合，因此当m=5时，这样的等腰三角形有且只有2个.综上所述，当m=1或m=4时，以MP为腰的等腰三角形有且只有1个；当1

图5 图6 图7

师：图形由特殊向一般的转变是命题中经常运用的一种方法.在解决这类问题时，不但要学会运用类比的方法进行分析，更重要的是要考虑不存在的情形.

3 巧添函数，培养学生数形结合思想

师：我们已经尝试了2种不同的改编题目的方法，现在再来尝试更深层次的改编方法.如果把平行四边形ABCD转化成等腰梯形ABCD，发现等腰梯形ABCD是轴对称图形，而抛物线也是轴对称图形，能否把这2种图形有机地结合起来，从而改编出新的题目呢？答案是肯定的.

图8

(1)求抛物线的解析式，并写出点C关于对称轴的对称点D的坐标.

(2)点E是直线AC下方抛物线上的一点，过点E作EF∥y轴交线段AC于点F，当△AEC的面积最大时，求点E的坐标.

(3)点M在线段CD上，且MC=1，动点P从点C沿着C-B-A路线移动的过程中，在直线AD上存在一点Q，使得△QMP是以MP为腰的等腰三角形.设运动的路程为m，当m满足什么条件时，以MP为腰的等腰三角形有且只有2个、3个？

这时，学生的学习积极性得到了充分的调动，纷纷主动参与到小组讨论中，提出自己的见解.学生的表达能力、合作能力得到了充分体现.限于篇幅，学生的解法省略.

师：通过讨论发现，改编题3和前面的2道改编题又有所不同，解法上更要注意考虑全面、分析透彻.同时我们也发现，原来认为很难的二次函数问题,其实是利用函数的解析式来确定点，通过点构成几何图形，然后利用几何图形的变换来解决问题.

探究的课堂让学生明白，中考试题很多是在普通题目的基础上通过改变结论、改变条件、结合函数等方法改编的，即使一下子不能找到解决题目的方法，但总能找到自己熟悉的东西，从而打开解决问题的大门.通过这一堂课的教学，笔者发现，只要我们用心去营造“畅所欲言、各抒己见”的课堂氛围，为学生提供亲身经历的过程、自我表现的机会和条件，让师生不同的观点和解法都得到充分的展现，就能最大程度地激发学生的创造性思维，使学生的思维在激烈的碰撞中得到质的升华，从而达到预期的学习效果.