“整式的乘法与因式分解”概念解读

尹永洲

本章的主要内容是整式的乘法运算、因式分解.内容建立在学习了有理数运算、列简单的代数式、一次方程及不等式、整式的加减运算等知识的基础上.整式的乘法运算和因式分解是基本而重要的代数初步知识，这些知识是以后学习分式和根式运算、函数等知识的基础.

一 、整式的乘法

整式的乘法是整式四则运算的重要组成部分.其中之前所学习的幂的运算性质，即同底数幂的乘法、幂的乘方和积的乘方是整式乘法的基础.整式乘法具体内容包括单项式乘以单项式，单项式乘以多项式以及多项式乘以多项式.

单项式与单项式相乘 把他们的系数相乘，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.

单项式乘以多项式 就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.依据是

.

多项式与多项式相乘 用多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.

二 .乘法公式

乘法公式是整式乘法的特殊情形.运用乘法公式能迅速而简洁地进行一些整式相乘的运算.

平方差公式：

注意：平方差公式展开只有两项.

公式的特征：左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数.

完全平方公式：

完全平方公式的口诀：首平方，尾平方，首尾2倍中间放，符号和前一个样.

三. 因式分解

因式分解是多项式的一种恒等变形.因式分解不但在解方程等问题中极其重要，在数学科学其他问题和一般科学研究中也具有广泛应用，是重要的数学基础知识.因式分解的方法一般包括提公因式法、公式法.因式分解和整式乘法是互逆的运算，同学们在学习时必须能够弄清两者的区别和联系.

分解因式基本概念：

※把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式.

※因式分解与整式乘法是互逆关系.

因式分解的思路与解题步骤：

（1）看各项有没有公因式，若有，先提取公因式；

（2）再看能否使用公式法；

（3）因式分解的最后结果必须是几个整式的乘积，否则不是因式分解；

（4）因式分解的结果必须进行到每个因式在有理数范围内不能再分解为止.

因式分解的基本方法

Ⅰ提公因式法

概念：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式.这种分解因式的方法叫做提公因式法.如：

概念内涵：

（1）因式分解的最后结果应当是“积”；

（2）公因式可能是单项式，也可能是多项式；

（3）提公因式法的理论依据是乘法对加法的分配律，即：

方法：

（1）找多项式中的公因式；公因式的构成一般情况下有三部分：①系数----各项系数的最大公约数；②字母----各项含有的相同字母；③指数----相同字母的最低次数；

（2）提公因式法的步骤：第一步是找出公因式；第二步是提取公因式并确定另一因式.需注意的是，提取完公因式后，另一个因式的项数与原多项式的项数一致，这一点可用来检验是否漏项.

（3）注意点①提取公因式后各因式应该是最简形式②如果多项式的第一项的系数是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数是正的.

易错点点评：

（1）注意项的符号与幂指数是否搞错；

（2）公因式是否提“干净”；

（3）多项式中某一项恰为公因式，提出后，括号中这一项为+1，不漏掉.

Ⅱ公式法

运用公式法分解因式的实质是：把乘法公式反过来使用.常用的公式：

①平方差公式：

（应是二项式，且每项（不含符号）都是一个整式的平方；二项是异号.）

②完全平方公式： 、

（应是三项式；其中两项同号，且各为一整式的平方； 还有一项可正负，且它是前两项幂的底数乘积的2倍.）

因式分解中需要注意的几个问题

1.分解的对象是多项式.而对于 的变形过程，是利用了因式分解的方法和形式，而不能叫因式分解.

2. 要把结果化为几个因式的积，而不是把部分化为积的形式.有些同学在分解因式时，容易出现这样的错误

= ，

它不符合因式分解的定义，应分解为 =

3.不要分解后又乘回来

有些同学对多项式因式分解后，又按整式乘法把它变成一个多项式，这是同学们因式分解时易犯错误.