夯实基本方法感受多元“转化”

司徒丽波

【摘 要】夯实化归思想，有助于探讨圆的面积计算方法。通过“激活经验，孕伏渗透，有序点拨，拓展延伸”，有助于转化思想的升华运用，更有助于提高学生的数学能力。

【关键词】圆的面积；转化

圆是一种由曲线围成的图形，其面积的计算涉及化曲为直的思想、极限思想。那么，哪种面积计算公式的推导方法让学生最容易理解并接受？其余几种方法要不要让学生感受？许多老师对本节课做出了尝试探索。

A老师：从圆内接正方形起，随着正多边形的边数增多，面积越接近圆的面积。把圆沿着直径分割成若干份，把圆的面积转化为若干个近似三角形的面积，通过三角形的面积公式推导出圆的面积计算公式。

B老师：将圆转化为三角形、梯形展开教学，对促进学生的数学思考具有积极作用。但找图形转化前后的联系，比“圆与平行四边形”的联系难度要大，给公式的推导带来了极大的挑战，不利于学生理解。

如何让这些不同的转化方法融合运用，突出基本方法，让学生既容易理解，又能发展求异思维？笔者认为，教师应将圆的面积转化为平行四边形的面积作为最基本的推导方法，只有夯实这一转化过程，学生才能积累探究的经验，才有可能创造出不同的转化方法，解释并概括出圆的面积计算公式。因此，教学时，教师要夯实基本方法，让学生不断感受多元“转化”，开拓思维，提高数学思考能力。

一、激活经验，明确研究方法

圆的面积计算方法与学生的已有知识经验有密切的联系，因此，在本课的教学中，教师应充分唤醒学生已有的化归经验，为新知的探究做好准备。

（课件出示长方形、正方形、平行四边形、三角形、梯形、圆形）

师：回忆一下，这些直线图形的面积是怎样推导的？以平行四边形为例，谁能帮大家回忆一下？

生：平行四边形沿着高，剪下一个三角形，平移到右边，把平行四边形转化为长方形，平行四边形的底相当于长方形的长，平行四边形的高相当于长方形的宽，因为长方形的面积=长×宽，所以平行四边形的面积=底×高。

师：当时为什么要把平行四边形转化为长方形？

生：当时长方形的面积已经会求了，这样能把新知转化为旧知。

师：像这样，通过先分割再拼补的方法叫做割补法。

师：那么三角形和梯形的面积又是怎么推导的？（生回答略）用两个完全相同的图形拼组的方法，叫倍拼法。不管采用哪种方法，都是将未知转化为已知，找到两者之间的联系，从而推导出计算公式。其实，这种方法对于今天要研究的圆的面积也有帮助。对于我们要研究的圆面积，你打算怎么用哪种方法？

生：割补法。因为倍拼法无法将圆转化为我们已学的旧知。

教师借助课件，让学生回忆平行四边形面积计算公式的推导过程，通过观察图形转化前后的变化，唤醒了学生记忆中“转化”的数学思想。分析梳理两种不同的推导方法，在回顾与辨析中，确定本课研究的基本方法即割补法，让学生对新知的探究有了明确的方向。

二、孕伏渗透，探寻化归目标

从课前学生的前测中发现，80%的学生沿着圆的半径分割，通过进一步访谈，得知是受到学习分数时平均分圆形的直观图的影响。当问及这样分割的理据时，仅有10%的同学能说出拼成平行四边形。可见，学生缺乏“图形展合”拼补、化曲为直、极限思想等经验。因此，在圆的面积教学时，教师就要有意识地渗透化圆为方、化曲为直的思想。

如在圆的认识时，让学生直观感受从圆内接三角形开始，一步步变化，从形状大小差异明显的正三角形和圆形到差异微小的正二十边形和圆形，引导学生想象正五十边形、正一百边形……边越来越多，越来越短，会变成怎么样的图形？再利用课件的优势弥补想象的不足，让学生真切地看到自己想象的过程。在直观图像支撑下，学生初悟“圆始于方”以及极限的思想。

经过前期的渗透，在圆的面积教学时，教师可以尝试让学生用手中的圆片画一画分割线，想一想为什么这样分割。通过学生自我体验→交流各自的想法→展示分割作品→观察比较近似三角形边的特点→利用课件展开想象，让学生进一步感受到均分的份数越多，每一份越接近三角形。在此基础上，教师帮助学生理清“转化”的基本要点：把圆看成是由这些近似小三角形构成的直线图形，形状发生了变化，圆的面积不变，所以可以用三角形直线图形的面积来替代圆的面积。接着，引导学生思考：如果把这些小三角形剪下来，你打算把它们拼组转化成我们学过的什么图形呢？

因课前教师有意识地渗透极限思想、曲直转化思想，帮助学生唤醒了“图形展合”的活动经验，课中让学生通过分割圆，借助动态直观感悟了“由曲到直”的变化过程，学生就能顺势地将圆转化为平行四边形了。

三、有序点拨，提炼研究成果

学生将圆转化为平行四边形后，教师应遵循从整体到局部的思路，有序地点拨观察与思考。首先，引导学生从图形的拼法上观察，这些拼法都有什么共同点？即一半拼在上面，一半拼在下面，让学生从整体上感知，建立图像的直观表象。接着，引导学生找图形转化前后的对应关系。这是最关键的一步，要有步骤有顺序地进行，引导学生学会用数形结合的方法，从位置关系和数量关系两个方面来对应。

第一步，先找图形转化前后的位置关系。平行四边形的底相当于圆的哪里？平行四边形的高相当于圆的哪里？让学生根据直观教具图，上来指一指。

第二步，根据位置关系找数量关系。首先，引导学生边指着直观图边表达：平行四边形的底相当于圆周长的一半，平行四边形的高相当于圆的半径，因为平行四边形的面积=底×高，所以圆的面积=圆的周长的一半×半径。接着，让学生脱离直观图，根据直观图的表象，尝试借助探究表格进行推理表达。

第三步，抽象概括圆的面积计算字母表达式。学生经历了对应找联系的过程，启发他们用字母表示各部分名称，在教师的引导帮助下，逐渐概括出字母表达式。学生经历了概括抽象的过程，能为下面自主探究圆的面积计算公式积累经验，使之顺利完成自主探究。

在操作的基础上，教师引导学生有序观察、思考，分析梳理图形之间的内在联系，逐步归纳出抽象公式，使学生的思维实现由直观向抽象的飞跃。通过观察与表达，也让学生的思维更加条理、清晰、深刻，为进一步研究打好基础。

四、拓展延伸，提升数学思考

数学是思维的体操。数学教学的主要目标之一是使学生学会数学思考，发展数学思维，增强自主解决问题的本领。如果在得到圆的面积计算方法后，急于用统一的、抽象的公式去练习，学生只会套用公式求圆的面积，这样会使学生的思维单一，对“转化”思想的体验不深刻，也享受不到自主求异求新带来的成功体验。因此，在得到圆的面积计算公式后，教师可以引导学生进一步探究：还可以怎样转化？

师：一个圆等分成16份，如果不把它剪开，你还能有什么办法推导出圆的面积计算方法？

生1：每一份看成近似的三角形，这16个近似三角形的面积总和就是圆的面积。只要求出每个近似三角形的面积，再乘16就行了。

生3：还可以把圆转化为三角形来推导。

……

学生在经历了初步探索并获得了研究发现后，教师再次搭建创新的舞台，拓展了把圆转化为平行四边形的方法，打开了学生的思路，学生经历了更多的转化过程，创造出多种转化方法。这对于他们的数学思考和培养创新意识等都很有意义，学生参与探究的热情和信心也大为提升。同时，加深了学生对“转化思想”的本质理解和“转化”经验的积累。

在圆的面积计算方法的探究中，化归思想的运用是一次提升，需要教师根据学生的思维设计教学，适当引导学生在经历化归的过程中体会“化曲为直”。放慢教学步伐，夯实基本的转化方法，不断突破化归思想的策略空间，提高学生的数学能力。endprint

【摘 要】夯实化归思想，有助于探讨圆的面积计算方法。通过“激活经验，孕伏渗透，有序点拨，拓展延伸”，有助于转化思想的升华运用，更有助于提高学生的数学能力。

【关键词】圆的面积；转化

圆是一种由曲线围成的图形，其面积的计算涉及化曲为直的思想、极限思想。那么，哪种面积计算公式的推导方法让学生最容易理解并接受？其余几种方法要不要让学生感受？许多老师对本节课做出了尝试探索。

A老师：从圆内接正方形起，随着正多边形的边数增多，面积越接近圆的面积。把圆沿着直径分割成若干份，把圆的面积转化为若干个近似三角形的面积，通过三角形的面积公式推导出圆的面积计算公式。

B老师：将圆转化为三角形、梯形展开教学，对促进学生的数学思考具有积极作用。但找图形转化前后的联系，比“圆与平行四边形”的联系难度要大，给公式的推导带来了极大的挑战，不利于学生理解。

如何让这些不同的转化方法融合运用，突出基本方法，让学生既容易理解，又能发展求异思维？笔者认为，教师应将圆的面积转化为平行四边形的面积作为最基本的推导方法，只有夯实这一转化过程，学生才能积累探究的经验，才有可能创造出不同的转化方法，解释并概括出圆的面积计算公式。因此，教学时，教师要夯实基本方法，让学生不断感受多元“转化”，开拓思维，提高数学思考能力。

一、激活经验，明确研究方法

圆的面积计算方法与学生的已有知识经验有密切的联系，因此，在本课的教学中，教师应充分唤醒学生已有的化归经验，为新知的探究做好准备。

（课件出示长方形、正方形、平行四边形、三角形、梯形、圆形）

师：回忆一下，这些直线图形的面积是怎样推导的？以平行四边形为例，谁能帮大家回忆一下？

生：平行四边形沿着高，剪下一个三角形，平移到右边，把平行四边形转化为长方形，平行四边形的底相当于长方形的长，平行四边形的高相当于长方形的宽，因为长方形的面积=长×宽，所以平行四边形的面积=底×高。

师：当时为什么要把平行四边形转化为长方形？

生：当时长方形的面积已经会求了，这样能把新知转化为旧知。

师：像这样，通过先分割再拼补的方法叫做割补法。

师：那么三角形和梯形的面积又是怎么推导的？（生回答略）用两个完全相同的图形拼组的方法，叫倍拼法。不管采用哪种方法，都是将未知转化为已知，找到两者之间的联系，从而推导出计算公式。其实，这种方法对于今天要研究的圆的面积也有帮助。对于我们要研究的圆面积，你打算怎么用哪种方法？

生：割补法。因为倍拼法无法将圆转化为我们已学的旧知。

教师借助课件，让学生回忆平行四边形面积计算公式的推导过程，通过观察图形转化前后的变化，唤醒了学生记忆中“转化”的数学思想。分析梳理两种不同的推导方法，在回顾与辨析中，确定本课研究的基本方法即割补法，让学生对新知的探究有了明确的方向。

二、孕伏渗透，探寻化归目标

从课前学生的前测中发现，80%的学生沿着圆的半径分割，通过进一步访谈，得知是受到学习分数时平均分圆形的直观图的影响。当问及这样分割的理据时，仅有10%的同学能说出拼成平行四边形。可见，学生缺乏“图形展合”拼补、化曲为直、极限思想等经验。因此，在圆的面积教学时，教师就要有意识地渗透化圆为方、化曲为直的思想。

如在圆的认识时，让学生直观感受从圆内接三角形开始，一步步变化，从形状大小差异明显的正三角形和圆形到差异微小的正二十边形和圆形，引导学生想象正五十边形、正一百边形……边越来越多，越来越短，会变成怎么样的图形？再利用课件的优势弥补想象的不足，让学生真切地看到自己想象的过程。在直观图像支撑下，学生初悟“圆始于方”以及极限的思想。

经过前期的渗透，在圆的面积教学时，教师可以尝试让学生用手中的圆片画一画分割线，想一想为什么这样分割。通过学生自我体验→交流各自的想法→展示分割作品→观察比较近似三角形边的特点→利用课件展开想象，让学生进一步感受到均分的份数越多，每一份越接近三角形。在此基础上，教师帮助学生理清“转化”的基本要点：把圆看成是由这些近似小三角形构成的直线图形，形状发生了变化，圆的面积不变，所以可以用三角形直线图形的面积来替代圆的面积。接着，引导学生思考：如果把这些小三角形剪下来，你打算把它们拼组转化成我们学过的什么图形呢？

因课前教师有意识地渗透极限思想、曲直转化思想，帮助学生唤醒了“图形展合”的活动经验，课中让学生通过分割圆，借助动态直观感悟了“由曲到直”的变化过程，学生就能顺势地将圆转化为平行四边形了。

三、有序点拨，提炼研究成果

学生将圆转化为平行四边形后，教师应遵循从整体到局部的思路，有序地点拨观察与思考。首先，引导学生从图形的拼法上观察，这些拼法都有什么共同点？即一半拼在上面，一半拼在下面，让学生从整体上感知，建立图像的直观表象。接着，引导学生找图形转化前后的对应关系。这是最关键的一步，要有步骤有顺序地进行，引导学生学会用数形结合的方法，从位置关系和数量关系两个方面来对应。

第一步，先找图形转化前后的位置关系。平行四边形的底相当于圆的哪里？平行四边形的高相当于圆的哪里？让学生根据直观教具图，上来指一指。

第二步，根据位置关系找数量关系。首先，引导学生边指着直观图边表达：平行四边形的底相当于圆周长的一半，平行四边形的高相当于圆的半径，因为平行四边形的面积=底×高，所以圆的面积=圆的周长的一半×半径。接着，让学生脱离直观图，根据直观图的表象，尝试借助探究表格进行推理表达。

第三步，抽象概括圆的面积计算字母表达式。学生经历了对应找联系的过程，启发他们用字母表示各部分名称，在教师的引导帮助下，逐渐概括出字母表达式。学生经历了概括抽象的过程，能为下面自主探究圆的面积计算公式积累经验，使之顺利完成自主探究。

在操作的基础上，教师引导学生有序观察、思考，分析梳理图形之间的内在联系，逐步归纳出抽象公式，使学生的思维实现由直观向抽象的飞跃。通过观察与表达，也让学生的思维更加条理、清晰、深刻，为进一步研究打好基础。

四、拓展延伸，提升数学思考

数学是思维的体操。数学教学的主要目标之一是使学生学会数学思考，发展数学思维，增强自主解决问题的本领。如果在得到圆的面积计算方法后，急于用统一的、抽象的公式去练习，学生只会套用公式求圆的面积，这样会使学生的思维单一，对“转化”思想的体验不深刻，也享受不到自主求异求新带来的成功体验。因此，在得到圆的面积计算公式后，教师可以引导学生进一步探究：还可以怎样转化？

师：一个圆等分成16份，如果不把它剪开，你还能有什么办法推导出圆的面积计算方法？

生1：每一份看成近似的三角形，这16个近似三角形的面积总和就是圆的面积。只要求出每个近似三角形的面积，再乘16就行了。

生3：还可以把圆转化为三角形来推导。

……

学生在经历了初步探索并获得了研究发现后，教师再次搭建创新的舞台，拓展了把圆转化为平行四边形的方法，打开了学生的思路，学生经历了更多的转化过程，创造出多种转化方法。这对于他们的数学思考和培养创新意识等都很有意义，学生参与探究的热情和信心也大为提升。同时，加深了学生对“转化思想”的本质理解和“转化”经验的积累。

在圆的面积计算方法的探究中，化归思想的运用是一次提升，需要教师根据学生的思维设计教学，适当引导学生在经历化归的过程中体会“化曲为直”。放慢教学步伐，夯实基本的转化方法，不断突破化归思想的策略空间，提高学生的数学能力。endprint

【摘 要】夯实化归思想，有助于探讨圆的面积计算方法。通过“激活经验，孕伏渗透，有序点拨，拓展延伸”，有助于转化思想的升华运用，更有助于提高学生的数学能力。

【关键词】圆的面积；转化

圆是一种由曲线围成的图形，其面积的计算涉及化曲为直的思想、极限思想。那么，哪种面积计算公式的推导方法让学生最容易理解并接受？其余几种方法要不要让学生感受？许多老师对本节课做出了尝试探索。

A老师：从圆内接正方形起，随着正多边形的边数增多，面积越接近圆的面积。把圆沿着直径分割成若干份，把圆的面积转化为若干个近似三角形的面积，通过三角形的面积公式推导出圆的面积计算公式。

B老师：将圆转化为三角形、梯形展开教学，对促进学生的数学思考具有积极作用。但找图形转化前后的联系，比“圆与平行四边形”的联系难度要大，给公式的推导带来了极大的挑战，不利于学生理解。

如何让这些不同的转化方法融合运用，突出基本方法，让学生既容易理解，又能发展求异思维？笔者认为，教师应将圆的面积转化为平行四边形的面积作为最基本的推导方法，只有夯实这一转化过程，学生才能积累探究的经验，才有可能创造出不同的转化方法，解释并概括出圆的面积计算公式。因此，教学时，教师要夯实基本方法，让学生不断感受多元“转化”，开拓思维，提高数学思考能力。

一、激活经验，明确研究方法

圆的面积计算方法与学生的已有知识经验有密切的联系，因此，在本课的教学中，教师应充分唤醒学生已有的化归经验，为新知的探究做好准备。

（课件出示长方形、正方形、平行四边形、三角形、梯形、圆形）

师：回忆一下，这些直线图形的面积是怎样推导的？以平行四边形为例，谁能帮大家回忆一下？

生：平行四边形沿着高，剪下一个三角形，平移到右边，把平行四边形转化为长方形，平行四边形的底相当于长方形的长，平行四边形的高相当于长方形的宽，因为长方形的面积=长×宽，所以平行四边形的面积=底×高。

师：当时为什么要把平行四边形转化为长方形？

生：当时长方形的面积已经会求了，这样能把新知转化为旧知。

师：像这样，通过先分割再拼补的方法叫做割补法。

师：那么三角形和梯形的面积又是怎么推导的？（生回答略）用两个完全相同的图形拼组的方法，叫倍拼法。不管采用哪种方法，都是将未知转化为已知，找到两者之间的联系，从而推导出计算公式。其实，这种方法对于今天要研究的圆的面积也有帮助。对于我们要研究的圆面积，你打算怎么用哪种方法？

生：割补法。因为倍拼法无法将圆转化为我们已学的旧知。

教师借助课件，让学生回忆平行四边形面积计算公式的推导过程，通过观察图形转化前后的变化，唤醒了学生记忆中“转化”的数学思想。分析梳理两种不同的推导方法，在回顾与辨析中，确定本课研究的基本方法即割补法，让学生对新知的探究有了明确的方向。

二、孕伏渗透，探寻化归目标

从课前学生的前测中发现，80%的学生沿着圆的半径分割，通过进一步访谈，得知是受到学习分数时平均分圆形的直观图的影响。当问及这样分割的理据时，仅有10%的同学能说出拼成平行四边形。可见，学生缺乏“图形展合”拼补、化曲为直、极限思想等经验。因此，在圆的面积教学时，教师就要有意识地渗透化圆为方、化曲为直的思想。

如在圆的认识时，让学生直观感受从圆内接三角形开始，一步步变化，从形状大小差异明显的正三角形和圆形到差异微小的正二十边形和圆形，引导学生想象正五十边形、正一百边形……边越来越多，越来越短，会变成怎么样的图形？再利用课件的优势弥补想象的不足，让学生真切地看到自己想象的过程。在直观图像支撑下，学生初悟“圆始于方”以及极限的思想。

经过前期的渗透，在圆的面积教学时，教师可以尝试让学生用手中的圆片画一画分割线，想一想为什么这样分割。通过学生自我体验→交流各自的想法→展示分割作品→观察比较近似三角形边的特点→利用课件展开想象，让学生进一步感受到均分的份数越多，每一份越接近三角形。在此基础上，教师帮助学生理清“转化”的基本要点：把圆看成是由这些近似小三角形构成的直线图形，形状发生了变化，圆的面积不变，所以可以用三角形直线图形的面积来替代圆的面积。接着，引导学生思考：如果把这些小三角形剪下来，你打算把它们拼组转化成我们学过的什么图形呢？

因课前教师有意识地渗透极限思想、曲直转化思想，帮助学生唤醒了“图形展合”的活动经验，课中让学生通过分割圆，借助动态直观感悟了“由曲到直”的变化过程，学生就能顺势地将圆转化为平行四边形了。

三、有序点拨，提炼研究成果

学生将圆转化为平行四边形后，教师应遵循从整体到局部的思路，有序地点拨观察与思考。首先，引导学生从图形的拼法上观察，这些拼法都有什么共同点？即一半拼在上面，一半拼在下面，让学生从整体上感知，建立图像的直观表象。接着，引导学生找图形转化前后的对应关系。这是最关键的一步，要有步骤有顺序地进行，引导学生学会用数形结合的方法，从位置关系和数量关系两个方面来对应。

第一步，先找图形转化前后的位置关系。平行四边形的底相当于圆的哪里？平行四边形的高相当于圆的哪里？让学生根据直观教具图，上来指一指。

第二步，根据位置关系找数量关系。首先，引导学生边指着直观图边表达：平行四边形的底相当于圆周长的一半，平行四边形的高相当于圆的半径，因为平行四边形的面积=底×高，所以圆的面积=圆的周长的一半×半径。接着，让学生脱离直观图，根据直观图的表象，尝试借助探究表格进行推理表达。

第三步，抽象概括圆的面积计算字母表达式。学生经历了对应找联系的过程，启发他们用字母表示各部分名称，在教师的引导帮助下，逐渐概括出字母表达式。学生经历了概括抽象的过程，能为下面自主探究圆的面积计算公式积累经验，使之顺利完成自主探究。

在操作的基础上，教师引导学生有序观察、思考，分析梳理图形之间的内在联系，逐步归纳出抽象公式，使学生的思维实现由直观向抽象的飞跃。通过观察与表达，也让学生的思维更加条理、清晰、深刻，为进一步研究打好基础。

四、拓展延伸，提升数学思考

数学是思维的体操。数学教学的主要目标之一是使学生学会数学思考，发展数学思维，增强自主解决问题的本领。如果在得到圆的面积计算方法后，急于用统一的、抽象的公式去练习，学生只会套用公式求圆的面积，这样会使学生的思维单一，对“转化”思想的体验不深刻，也享受不到自主求异求新带来的成功体验。因此，在得到圆的面积计算公式后，教师可以引导学生进一步探究：还可以怎样转化？

师：一个圆等分成16份，如果不把它剪开，你还能有什么办法推导出圆的面积计算方法？

生1：每一份看成近似的三角形，这16个近似三角形的面积总和就是圆的面积。只要求出每个近似三角形的面积，再乘16就行了。

生3：还可以把圆转化为三角形来推导。

……

学生在经历了初步探索并获得了研究发现后，教师再次搭建创新的舞台，拓展了把圆转化为平行四边形的方法，打开了学生的思路，学生经历了更多的转化过程，创造出多种转化方法。这对于他们的数学思考和培养创新意识等都很有意义，学生参与探究的热情和信心也大为提升。同时，加深了学生对“转化思想”的本质理解和“转化”经验的积累。

在圆的面积计算方法的探究中，化归思想的运用是一次提升，需要教师根据学生的思维设计教学，适当引导学生在经历化归的过程中体会“化曲为直”。放慢教学步伐，夯实基本的转化方法，不断突破化归思想的策略空间，提高学生的数学能力。endprint