《有理数》一章中数学思想的渗透

文/周育敏

摘 要：对苏科版七年级上册《有理数》章节的教学后记进行了归纳总结，谈了关于数学思想在此章节中的合理渗透。主要有转化思想、数形结合思想、特殊与一般思想、具体到抽象思想和分类集合思想等以及对学生今后数学学习的影响。

关键词：数学思想；转化；数形结合；特殊与一般；具体到抽象；分类和集合

江苏科学技术出版社，苏科版七年级数学第一册第二章《有理数》，虽然并不是本册书的起始章节，但却起着从小学数学到中学数学、从数到式的过渡中承上启下的作用，为使学生尽快地适应中学数学的学习，掌握一定的数学思想，提高学生的数学素质，我们在本章教学时，除按教学要求，使学生切实掌握有理数的有关概念和运算法则，具有熟练的运算技能外，更重要的是在教学中要注意数学思想的渗透，充分发掘教学内容中隐含的数学思想，使学生通过理解和掌握数学思想和数学方法，认识数学本质，增强用数学意识解决问题的能力。从本章内容看，我认为着重要注意以下几方面数学思想的渗透。

一、转化思想

化未知为已知、化难为易、化繁为简，这种转化的方法是中学数学中重要的思想方法。在《有理数》一章中，有理数减法法则、除法法则的得出就是应用转化的典型例子。故我们在教学减法法则时，可以从学生已有的知识入手，引导学生从减法是加法的逆运算关系得出法则。例如，求（+3）－（－5）的差，就是求一个数（？），使（？）+（－5）=+3，然后在教师指导下，通过学生的讨论得出结论：

减转化为加

（＋3）－（－5）＝（＋3）＋（＋5）。通过选用不同的减数、被减数的实

负转化为正

例，使学生确信这个法则，并通过足够数量的练习，在练习中要求学生写出“减转化加”的过程，使学生确信减法转化为加法是解决有理数减法运算的重要途径。在小结时，教师还可以对比减法法则与加法法则的探求过程，指出这实际上代表数学中常用的两种研究方法，一是从具体到抽象；二是以已有的结论为基础不断拓宽转化，对已有的结论充分利用，解决新问题，发现新结论。通过比较，使学生对转化的思想留下深刻的印象。到探求除法法则时也能自然地想到转化方法。

二、数形结合思想

数形结合思想方法是研究有理数问题的重要方法，在本章中，如有理数的大小比较，我们在教学时，可先通过实例得到：3与0；－4与0；5与8；－8与－3的大小，然后把这些数在数轴上找到相应的点，并得出：“在数轴上表示数的点，右边的点表示的数总比左边的点所表示的数大，最后利用数轴上的点所表示数的大小规律，得出有理数大小比较法则。这样使学生比较直观理解和记忆了法则的内容。特别在比较两个负数的大小时，我们也可以利用数轴上的点的位置来确定两个负数的大小。又如，在讲解绝对值的意义时，我们可以用绝对值的几何意义向学生提出问题：｜＋2｜、｜－2｜、｜0｜在数轴上各表示什么？学生回答：“在数轴上表示＋2、－2、0的点离开原点的距离”，然后教师继续提出问题：“在数轴上表示＋2、－2、0的点离开原点的距离各是多少？”此时，如果学生没有真正掌握绝对值的定义，很有可能仍然会答：“＋2、－2、0”。教师就可根据数轴来详细讲解距离具有的非负性，然后师生共同归纳出：“一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值是零”的结论。这样讲解使学生加深理解绝对值的概念，并体会到数和形的相互依赖关系，理解绝对值的非负数特征，并初步使学生感知到数形结合思想在数学问题中的应用。

三、特殊与一般的思想

数学概念中，存在着许多特殊与一般的关系，《有理数》一章中，乘方概念就是其中的一例。乘方是乘法的一种特殊运算，当乘法中因数相同时，这种积的运算就叫做乘方。因此，我们在乘方教学时要善于利用这种关系，帮助学生更好地理解乘方的有关概念和运算法则，如讲解“正数的任何次幂都是正数，负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数”的幂的运算符号法则时，可这样帮助学生理解：“正数的任何次幂”就是“任何个相同的正数相乘”，结果当然为正。“负数个奇次幂”就是“奇数个相同负数相乘”，结果当然为负。“负数的偶次幂”就是：“偶数个相同负数相乘”，结果当然为正。又如，本章中计算像：（－0．2）11×5010的习题，可利用乘方与乘法的关系。

解法如下：（－0.2）11×5010＝（－■）11×5010＝－（■）11×5010＝－■×■×…×■×50

（11个■）×50×…×50＝－■×10×10×…×10＝－0.2×10×10×…×10＝－2×

（10个50）（10个10）（10个10）

×10×10×…×10＝－2×109

（9个10）

四、具体到抽象的思想

《有理数》一章中给出概念或者探求法则时，通常都是把感知材料作为出发点，从具体例子抽象出数学概念，概括出运算法则，我们在教学时要充分利用教材这一特点，重视对学生抽象概括能力的培养。例如，在讲解加法法则时，由飞机上升、下降四种情况得出的四个算式，教师不要急于下结论，而应该让学生观察，比较加数之间的关系，然后由学生概括出法则。同时教师还必须提醒学生，在有理数集两个数相加，不但要考虑绝对值，而且还要考虑符号，和的结果由两部分组成（符号、绝对值）。如果学生在概括时能考虑到符号和绝对值两要素，在今后有理数的运算中可以减少漏掉符号的错误。又如，在讲解正负数概念时，可给学生多举几个具有相反意义量的例子，然后用正负数来表示具有相反意义的量，得出正、负数的概念，这样得出概念就比较自然。

五、分类和集合思想

《有理数》一章中第二教时“有理数”内容中包含着数学中分类和集合的思想。我们在教学有理数分类时，应向学生讲清两点：（1）分类的标准不同，则分类的结果也不同；（2）分类的结果应无遗漏、不重复。而对于集合概念，教材安排只要求学生初步接触一些集合、对应等现代数学思想，并不要求学生完整理解集合的概念，教学中只要求学生了解正数集、负数集、整数集、正整数集和有理数集等简单的一些数集；能判别一个数属于哪一类数集；会用圆圈、括号表示一些简单的数集；会认两个简单数集的公共部分是什么数集。对这两个数学思想只能在教学中有意识地、有分寸地渗透，培养学生对有理数分类讨论的观点和能正确地进行分类的能力，这对今后处理数学问题十分有益。

总之，我们在《有理数》一章教学中，既要重视运算技能的训练，更要注意数学思想的渗透和数学方法的培养，它将使学生获得自学数学、发展数学的能力。这也正贴合了当今的“时尚元素”——指导学生自主学习的理念，并获得把数学的思想及方法转化成解决问题的能力，从而形成更佳的智能结构，让学生终身受益。

参考文献：

施良方，崔允漷.课堂教学的原理、策略与研究.华东师范大学出版社，2002-09.

编辑 马燕萍

endprint

摘 要：对苏科版七年级上册《有理数》章节的教学后记进行了归纳总结，谈了关于数学思想在此章节中的合理渗透。主要有转化思想、数形结合思想、特殊与一般思想、具体到抽象思想和分类集合思想等以及对学生今后数学学习的影响。

关键词：数学思想；转化；数形结合；特殊与一般；具体到抽象；分类和集合

江苏科学技术出版社，苏科版七年级数学第一册第二章《有理数》，虽然并不是本册书的起始章节，但却起着从小学数学到中学数学、从数到式的过渡中承上启下的作用，为使学生尽快地适应中学数学的学习，掌握一定的数学思想，提高学生的数学素质，我们在本章教学时，除按教学要求，使学生切实掌握有理数的有关概念和运算法则，具有熟练的运算技能外，更重要的是在教学中要注意数学思想的渗透，充分发掘教学内容中隐含的数学思想，使学生通过理解和掌握数学思想和数学方法，认识数学本质，增强用数学意识解决问题的能力。从本章内容看，我认为着重要注意以下几方面数学思想的渗透。

一、转化思想

化未知为已知、化难为易、化繁为简，这种转化的方法是中学数学中重要的思想方法。在《有理数》一章中，有理数减法法则、除法法则的得出就是应用转化的典型例子。故我们在教学减法法则时，可以从学生已有的知识入手，引导学生从减法是加法的逆运算关系得出法则。例如，求（+3）－（－5）的差，就是求一个数（？），使（？）+（－5）=+3，然后在教师指导下，通过学生的讨论得出结论：

减转化为加

（＋3）－（－5）＝（＋3）＋（＋5）。通过选用不同的减数、被减数的实

负转化为正

例，使学生确信这个法则，并通过足够数量的练习，在练习中要求学生写出“减转化加”的过程，使学生确信减法转化为加法是解决有理数减法运算的重要途径。在小结时，教师还可以对比减法法则与加法法则的探求过程，指出这实际上代表数学中常用的两种研究方法，一是从具体到抽象；二是以已有的结论为基础不断拓宽转化，对已有的结论充分利用，解决新问题，发现新结论。通过比较，使学生对转化的思想留下深刻的印象。到探求除法法则时也能自然地想到转化方法。

二、数形结合思想

数形结合思想方法是研究有理数问题的重要方法，在本章中，如有理数的大小比较，我们在教学时，可先通过实例得到：3与0；－4与0；5与8；－8与－3的大小，然后把这些数在数轴上找到相应的点，并得出：“在数轴上表示数的点，右边的点表示的数总比左边的点所表示的数大，最后利用数轴上的点所表示数的大小规律，得出有理数大小比较法则。这样使学生比较直观理解和记忆了法则的内容。特别在比较两个负数的大小时，我们也可以利用数轴上的点的位置来确定两个负数的大小。又如，在讲解绝对值的意义时，我们可以用绝对值的几何意义向学生提出问题：｜＋2｜、｜－2｜、｜0｜在数轴上各表示什么？学生回答：“在数轴上表示＋2、－2、0的点离开原点的距离”，然后教师继续提出问题：“在数轴上表示＋2、－2、0的点离开原点的距离各是多少？”此时，如果学生没有真正掌握绝对值的定义，很有可能仍然会答：“＋2、－2、0”。教师就可根据数轴来详细讲解距离具有的非负性，然后师生共同归纳出：“一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值是零”的结论。这样讲解使学生加深理解绝对值的概念，并体会到数和形的相互依赖关系，理解绝对值的非负数特征，并初步使学生感知到数形结合思想在数学问题中的应用。

三、特殊与一般的思想

数学概念中，存在着许多特殊与一般的关系，《有理数》一章中，乘方概念就是其中的一例。乘方是乘法的一种特殊运算，当乘法中因数相同时，这种积的运算就叫做乘方。因此，我们在乘方教学时要善于利用这种关系，帮助学生更好地理解乘方的有关概念和运算法则，如讲解“正数的任何次幂都是正数，负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数”的幂的运算符号法则时，可这样帮助学生理解：“正数的任何次幂”就是“任何个相同的正数相乘”，结果当然为正。“负数个奇次幂”就是“奇数个相同负数相乘”，结果当然为负。“负数的偶次幂”就是：“偶数个相同负数相乘”，结果当然为正。又如，本章中计算像：（－0．2）11×5010的习题，可利用乘方与乘法的关系。

解法如下：（－0.2）11×5010＝（－■）11×5010＝－（■）11×5010＝－■×■×…×■×50

（11个■）×50×…×50＝－■×10×10×…×10＝－0.2×10×10×…×10＝－2×

（10个50）（10个10）（10个10）

×10×10×…×10＝－2×109

（9个10）

四、具体到抽象的思想

《有理数》一章中给出概念或者探求法则时，通常都是把感知材料作为出发点，从具体例子抽象出数学概念，概括出运算法则，我们在教学时要充分利用教材这一特点，重视对学生抽象概括能力的培养。例如，在讲解加法法则时，由飞机上升、下降四种情况得出的四个算式，教师不要急于下结论，而应该让学生观察，比较加数之间的关系，然后由学生概括出法则。同时教师还必须提醒学生，在有理数集两个数相加，不但要考虑绝对值，而且还要考虑符号，和的结果由两部分组成（符号、绝对值）。如果学生在概括时能考虑到符号和绝对值两要素，在今后有理数的运算中可以减少漏掉符号的错误。又如，在讲解正负数概念时，可给学生多举几个具有相反意义量的例子，然后用正负数来表示具有相反意义的量，得出正、负数的概念，这样得出概念就比较自然。

五、分类和集合思想

《有理数》一章中第二教时“有理数”内容中包含着数学中分类和集合的思想。我们在教学有理数分类时，应向学生讲清两点：（1）分类的标准不同，则分类的结果也不同；（2）分类的结果应无遗漏、不重复。而对于集合概念，教材安排只要求学生初步接触一些集合、对应等现代数学思想，并不要求学生完整理解集合的概念，教学中只要求学生了解正数集、负数集、整数集、正整数集和有理数集等简单的一些数集；能判别一个数属于哪一类数集；会用圆圈、括号表示一些简单的数集；会认两个简单数集的公共部分是什么数集。对这两个数学思想只能在教学中有意识地、有分寸地渗透，培养学生对有理数分类讨论的观点和能正确地进行分类的能力，这对今后处理数学问题十分有益。

总之，我们在《有理数》一章教学中，既要重视运算技能的训练，更要注意数学思想的渗透和数学方法的培养，它将使学生获得自学数学、发展数学的能力。这也正贴合了当今的“时尚元素”——指导学生自主学习的理念，并获得把数学的思想及方法转化成解决问题的能力，从而形成更佳的智能结构，让学生终身受益。

参考文献：

施良方，崔允漷.课堂教学的原理、策略与研究.华东师范大学出版社，2002-09.

编辑 马燕萍

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摘 要：对苏科版七年级上册《有理数》章节的教学后记进行了归纳总结，谈了关于数学思想在此章节中的合理渗透。主要有转化思想、数形结合思想、特殊与一般思想、具体到抽象思想和分类集合思想等以及对学生今后数学学习的影响。

关键词：数学思想；转化；数形结合；特殊与一般；具体到抽象；分类和集合

江苏科学技术出版社，苏科版七年级数学第一册第二章《有理数》，虽然并不是本册书的起始章节，但却起着从小学数学到中学数学、从数到式的过渡中承上启下的作用，为使学生尽快地适应中学数学的学习，掌握一定的数学思想，提高学生的数学素质，我们在本章教学时，除按教学要求，使学生切实掌握有理数的有关概念和运算法则，具有熟练的运算技能外，更重要的是在教学中要注意数学思想的渗透，充分发掘教学内容中隐含的数学思想，使学生通过理解和掌握数学思想和数学方法，认识数学本质，增强用数学意识解决问题的能力。从本章内容看，我认为着重要注意以下几方面数学思想的渗透。

一、转化思想

化未知为已知、化难为易、化繁为简，这种转化的方法是中学数学中重要的思想方法。在《有理数》一章中，有理数减法法则、除法法则的得出就是应用转化的典型例子。故我们在教学减法法则时，可以从学生已有的知识入手，引导学生从减法是加法的逆运算关系得出法则。例如，求（+3）－（－5）的差，就是求一个数（？），使（？）+（－5）=+3，然后在教师指导下，通过学生的讨论得出结论：

减转化为加

（＋3）－（－5）＝（＋3）＋（＋5）。通过选用不同的减数、被减数的实

负转化为正

例，使学生确信这个法则，并通过足够数量的练习，在练习中要求学生写出“减转化加”的过程，使学生确信减法转化为加法是解决有理数减法运算的重要途径。在小结时，教师还可以对比减法法则与加法法则的探求过程，指出这实际上代表数学中常用的两种研究方法，一是从具体到抽象；二是以已有的结论为基础不断拓宽转化，对已有的结论充分利用，解决新问题，发现新结论。通过比较，使学生对转化的思想留下深刻的印象。到探求除法法则时也能自然地想到转化方法。

二、数形结合思想

数形结合思想方法是研究有理数问题的重要方法，在本章中，如有理数的大小比较，我们在教学时，可先通过实例得到：3与0；－4与0；5与8；－8与－3的大小，然后把这些数在数轴上找到相应的点，并得出：“在数轴上表示数的点，右边的点表示的数总比左边的点所表示的数大，最后利用数轴上的点所表示数的大小规律，得出有理数大小比较法则。这样使学生比较直观理解和记忆了法则的内容。特别在比较两个负数的大小时，我们也可以利用数轴上的点的位置来确定两个负数的大小。又如，在讲解绝对值的意义时，我们可以用绝对值的几何意义向学生提出问题：｜＋2｜、｜－2｜、｜0｜在数轴上各表示什么？学生回答：“在数轴上表示＋2、－2、0的点离开原点的距离”，然后教师继续提出问题：“在数轴上表示＋2、－2、0的点离开原点的距离各是多少？”此时，如果学生没有真正掌握绝对值的定义，很有可能仍然会答：“＋2、－2、0”。教师就可根据数轴来详细讲解距离具有的非负性，然后师生共同归纳出：“一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值是零”的结论。这样讲解使学生加深理解绝对值的概念，并体会到数和形的相互依赖关系，理解绝对值的非负数特征，并初步使学生感知到数形结合思想在数学问题中的应用。

三、特殊与一般的思想

数学概念中，存在着许多特殊与一般的关系，《有理数》一章中，乘方概念就是其中的一例。乘方是乘法的一种特殊运算，当乘法中因数相同时，这种积的运算就叫做乘方。因此，我们在乘方教学时要善于利用这种关系，帮助学生更好地理解乘方的有关概念和运算法则，如讲解“正数的任何次幂都是正数，负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数”的幂的运算符号法则时，可这样帮助学生理解：“正数的任何次幂”就是“任何个相同的正数相乘”，结果当然为正。“负数个奇次幂”就是“奇数个相同负数相乘”，结果当然为负。“负数的偶次幂”就是：“偶数个相同负数相乘”，结果当然为正。又如，本章中计算像：（－0．2）11×5010的习题，可利用乘方与乘法的关系。

解法如下：（－0.2）11×5010＝（－■）11×5010＝－（■）11×5010＝－■×■×…×■×50

（11个■）×50×…×50＝－■×10×10×…×10＝－0.2×10×10×…×10＝－2×

（10个50）（10个10）（10个10）

×10×10×…×10＝－2×109

（9个10）

四、具体到抽象的思想

《有理数》一章中给出概念或者探求法则时，通常都是把感知材料作为出发点，从具体例子抽象出数学概念，概括出运算法则，我们在教学时要充分利用教材这一特点，重视对学生抽象概括能力的培养。例如，在讲解加法法则时，由飞机上升、下降四种情况得出的四个算式，教师不要急于下结论，而应该让学生观察，比较加数之间的关系，然后由学生概括出法则。同时教师还必须提醒学生，在有理数集两个数相加，不但要考虑绝对值，而且还要考虑符号，和的结果由两部分组成（符号、绝对值）。如果学生在概括时能考虑到符号和绝对值两要素，在今后有理数的运算中可以减少漏掉符号的错误。又如，在讲解正负数概念时，可给学生多举几个具有相反意义量的例子，然后用正负数来表示具有相反意义的量，得出正、负数的概念，这样得出概念就比较自然。

五、分类和集合思想

《有理数》一章中第二教时“有理数”内容中包含着数学中分类和集合的思想。我们在教学有理数分类时，应向学生讲清两点：（1）分类的标准不同，则分类的结果也不同；（2）分类的结果应无遗漏、不重复。而对于集合概念，教材安排只要求学生初步接触一些集合、对应等现代数学思想，并不要求学生完整理解集合的概念，教学中只要求学生了解正数集、负数集、整数集、正整数集和有理数集等简单的一些数集；能判别一个数属于哪一类数集；会用圆圈、括号表示一些简单的数集；会认两个简单数集的公共部分是什么数集。对这两个数学思想只能在教学中有意识地、有分寸地渗透，培养学生对有理数分类讨论的观点和能正确地进行分类的能力，这对今后处理数学问题十分有益。

总之，我们在《有理数》一章教学中，既要重视运算技能的训练，更要注意数学思想的渗透和数学方法的培养，它将使学生获得自学数学、发展数学的能力。这也正贴合了当今的“时尚元素”——指导学生自主学习的理念，并获得把数学的思想及方法转化成解决问题的能力，从而形成更佳的智能结构，让学生终身受益。

参考文献：

施良方，崔允漷.课堂教学的原理、策略与研究.华东师范大学出版社，2002-09.

编辑 马燕萍

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