2014年江苏省高考第15题工件滑动过程的动力学分析

朱柏树

（江苏省东台市教育局教研室，江苏 盐城 224200）

图1

题目.如图1所示，生产车间有两个相互垂直且等高的水平传送带甲和乙，甲的速度为v0.小工件离开甲前与甲的速度相同，并平稳地传到乙上，工件与乙之间的动摩擦因数为μ.乙的宽度足够大，重力加速度为g.

（1）若乙的速度为v0，求工件在乙上侧向（垂直于乙的运动方向）滑过的距离s；

（2）若乙的速度为2v0，求工件在乙上刚停止侧向滑动时的速度大小v；

（3）保持乙的速度2v0不变，当工件在乙上刚停止滑动时，下一只工件恰好传到乙上，如此反复.若每个工件的质量均为m，除工件与传送带之间摩擦外，其他能量损耗均不计，求驱动乙的电动机的平均输出功率.

本题中，工件刚滑上传送带乙时，其初速度方向与乙的运动方向相垂直，此后，工件在乙上滑动过程中，选择不同参考系时，其运动情形不同.因此，解答本题的关键是先明确所选择的参考系，再分析工件在乙上滑动过程中的受力和运动情况.在对工件进行受力和运动分析时，需要重点明确以下4个问题：

① 工件所受滑动摩擦力的方向是否变化；

② 工件的运动性质和运动学模型；

③ 工件侧向滑动时间与纵向（平行于乙的运动方向）滑动时间的关系，即工件侧向与纵向滑动是否同时结束；

④ 工件在乙上滑动的轨迹是直线还是曲线.

为便于分析，在原题所示的情形中，设传送带乙的速度为v1.下面先从分析工件受力情况入手，再分别选用传送带乙和地面作为参考系，求出解答试题所需的相关运动学物理量.

1 工件的受力及运动分析

1.1 工件的受力分析

工件滑上传送带乙后，受到乙的滑动摩擦力作用.滑动摩擦力的大小为F＝μmg，保持不变.

滑动摩擦力的方向与相对运动方向相反，所以，分析滑动摩擦力的方向时，必须选择传送带乙作为参考系.以下分析工件的受力情况时，以乙为参考系.

在图2中建立如图所示直角坐标系，将F沿x和y方向分解，两方向加速度的大小分别为

图2

工件刚滑上乙时，取极短时间Δt.在Δt内工件在x和y方向都做匀减速直线运动.经Δt时间，工件沿x和y方向的速度大小分别为

两式相比得

上式表明，经Δt时间后，相对速度v′的方向不变.以此类推，在此后的滑动过程中v′的方向始终保持不变.由此可得出，工件在乙上滑动的过程中，滑动摩擦力F的方向也始终保持不变.

1.2 工件的运动分析

上述分析已经得出，工件在乙上滑动过程中，滑动摩擦力的大小和方向始终保持不变.根据牛顿第二定律，此过程中工件加速度的大小和方向就保持不变，且加速度方向与初速度v′方向相反.所以，在乙的参考系中，工件做匀减速直线运动.

综合上述分析，以传送带乙作为参考系时，工件在乙上相对滑动过程中，前文所提及的4个问题结论如下：

① 工件受到的摩擦力大小和方向均保持不变；

② 工件做匀减速直线运动；

③ 工件侧向滑动时间与纵向滑动时间相等，即工件停止侧向滑动时，恰好沿纵向也停止滑动；

④ 工件相对于乙滑动的轨迹是直线.上述结论与v1的大小无关，即传送带乙的速度v1的大小对工件运动的性质没有影响.

在原题第（2）问中，因为工件停止侧向滑动时，恰好沿纵向也停止滑动，所以，此时工件的速度大小v就等于传送带乙的速度2v0.不管传送带的速度v1取何值，结论都一样.

在原题第（3）问中，用Q＝μmgs相（其中s相是工件相对于乙的路程）计算一对滑动摩擦力对系统做功产生热量时，因为此过程中工件相对运动轨迹是直线，工件相对乙的路程就等于其相对位移的大小，所以才可以用相对位移的大小代替相对路程.

2 在传送带乙参考系中，工件相关物理量求解

2.1 工件的运动性质

2.2 工件相关物理量求解

② 末速度v＝0.（在地面参考系中，此时工件与传送带乙具有相同的速度v1.）

④ 侧向滑过的距离为

另外，在地面参考系中，用x表示工件的位移，y1表示传送带乙的位移，y表示工件的纵向位移，则x、y1和L的关系如图3所示.此过程中y1和y的大小分别为

图3

3 在地面参考系中，工件相关物理量求解

3.1 工件的运动性质

在地面参考系中，传送带乙做匀速直线运动，其加速度a牵＝0，根据a＝a相＋a牵，得a＝a相，则以地面为参考系时，工件在滑动过程中，其加速度的大小与方向均保持不变.因此，在地面参考系中，工件做匀变速运动.

如图4所示，工件的初速度为v0，方向沿侧向，加速度大小为a＝μg，方向与初速度v0间的夹角为π－α.工件加速度的方向与初速度的方向不在同一条直线上，所以，在地面参考系中，工件做匀变速曲线运动，即通常所说的斜抛运动，其运动轨迹是抛物线.

3.2 工件相关物理量求解

在图4中沿侧向和纵向建立如图所示直角坐标系，将F分解，x和y方向加速度大小分别为

① 滑动时间

在原题第（2）问中，当v1＝2v0时，工件的速度为v＝2v0.

③ 侧向滑过的距离

④ 相对于乙的位移大小.传送带乙的位移大小

工件的纵向位移大小

相对于乙的位移大小

4 结束语

本题中，分析工件在乙上滑动过程中受力和运动情况时，选择传送带乙作为参考系有着重要的意义.分析工件所受乙滑动摩擦力的方向时，只能选择乙作为参考系.工件在滑动过程中滑动摩擦力的方向不变的结论，是在乙的参考系中分析得出的.得出工件相对于乙做匀减速直线运动，其相对运动轨迹是直线的结论，也只有在乙的参考系中分析才较为方便.用变换参考系的方法，得出工件在地面参考系中运动的加速度不变的结论，也是建立在乙参考系分析结果的基础上.

地面参考系和传送带乙参考系都是惯性参考系，在两个参考系中，工件遵循相同的物理规律——牛顿运动定律，具有相同的运动形式——匀变速运动.由于两个参考系中初始条件的不同，工件具有不同的运动形式，在乙的参考系中工件做匀减速直线运动，在地面参考系中工件做匀变速曲线运动（斜抛运动）.在求解工件滑动过程中相关运动学物理量时，可分别选择地面或传送带乙作为参考系，运用相同的物理规律与方法求解，所求出物理量的结果也是相同的.