零距离对接,话说导数考点

曹迎滔

摘 要：导数是初等数学与高等数学的重要衔接点，是对函数图像和性质的总结和拓展，是研究函数的单调性、极值、最值以及讨论函数图像变化趋势的重要工具，利用导数可以解决现实生活中的最优化问题。由于其应用广泛性，已成为高考命题的重点和热点。

关键词：导数；数学

一、利用导数的几何意义解决曲线的切线问题

例1 曲线y=x3-x+3在点（1，3）处的切线方程为_____________。

分析：首先利用导数的几何意义求出切线的斜率，然后利用点斜式写出切线的方程。

解：因为y′=3x2-1，令x=1得切线斜率2，所以切线方程为y-3=2（x-1），即2x-y+1=0。

点评：利用导数的几何意义求解曲线的切线问题，关键是正确求出已知函数的导函数。

二、利用定积分求曲边梯形的面积

例2 设a＞0，若曲线y=与直线x=a，y=0所围成封闭图形的面积为a2，则a=______。

分析：首先利用定积分的几何意义求出曲边梯形的面积，然后利用微积分基本定理求解得出a的值。

解：由已知得s= dx=xa0=a=a2，所以a=，所以a=。

点评：本题考查了由定积分求解曲线围成封闭图形的面积以及利用微积分基本定理进行计算的能力，考查了同学们用数形结合解决问题的能力

三、利用导数解决函数的单调性问题

例3 函数y=x2-lnx的单调递减区间为

（）。

A.（-1，1 ］ B.（0，1］ C.［1，+∞） D.（0，+∞）

分析：对于对数函数，首先应确定函数的定义域，再求导数f′（x），通过判断函数定义域内导数为零的点所划分的区间内f′（x）的符号，来确定函数

f（x）在该区间上的单调性。

解：令y′=x-=≤0，解得-1＜x＜1，又因为定义域为（0，+∞），所以0＜x＜1，故选B。

点评：利用导数判断函数在给定区间上的单调性，就是判断导数在给定区间上的符号问题。若导数的值为正，原函数在此区间上是增函数，导数的值为负则是减函数。

四、利用导数解决函数的极值与最值问题

例4 设函数f（x）=xex，则（）。

A.x=1为f（x）的极大值点

B.x=1为f（x）的极小值点

C.x=-1为f（x）的极大值点

D.x=-1为f（x）的极小值点

分析：首先令f′（x）=0得出f（x）的极值点，然后利用极值点两侧导数的符号来判断函数的极值。

解：令f′（x）=ex+xex=0，则x=-1，

当x＜-1时f′（x）＜0，f（x）单调递减；

当x＞-1时f′（x）＞0，f（x）单调递增。

所以x=-1为f（x）极小值点，故选D。

点评：本题考查了利用导数求函数的极值，考查了同学们的运算、分析和解决问题的能力。函数极值的求解，根据导函数为零解方程并列表格，分析每个实根两侧导函数的符号和原函数的单调性，可以明确地判断函数的极值点，这是通性通法，应熟练掌握。

五、求参数的值或取值范围

例5 已知函数f（x）=eax-x，其中a≠0。若对一切x∈R，f（x）≥1恒成立，求a的取值集合。

分析：利用函数f（x）的单调性将不等式恒成立问题转化为函数f（x）的最小值问题，然后通过构造函数g（t）=t-tlnt，利用其最值求a的值。

解：若a＜0，则对一切x＞0，f（x）=eax-x＜1，

这与题设矛盾，又a≠0，故a＞0。

而f′（x）=aeax-1，令f′（x）=0，得x= ln。

当x＜ln时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x＞ ln 时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，

故当x=ln时，f（x）取最小值f（ln）= -ln。

于是对一切x∈R，f（x）≥1恒成立，当且仅当

- ln≥1①

令g（t）=t-tlnt，则g′（t）=-lnt。

当0＜t＜1时，g′（t）＞0，g（t）单调递增；当t＞1时，

g′（t）＜0，g（t）单调递减。

故当t=1时，g（t）取最大值g（1）=1。因此，当且仅当=1即a=1时，①式成立。

综上所述，a的取值集合为｛1｝。

点评：本题考查了利用导数求函数的最值、通过导数研究函数的单调性、不等式恒成立问题，考查了同学们等价转化思想以及分析问题、综合运用所学知识解决问题的能力。

六、考查导数知识的交汇性

例6 函数f（x）=2x+x3-2在区间（0，1）内的零点个数是（）。

A.0B.1C.2D.3

分析：首先利用f（0）·f（1）＜0来判定函数在区间（0，1）内是否存在零点，然后利用函数的单调性来判定零点的个数。

解：因为f（0）=1-2=-1＜0。f（1）=2+1-2=1＞0，所以f（0）·f（1）＜0，所以f（x）在区间（0，1）内至少存在一个零点；

又因为f′（x）=2xln2+3x2≥0，所以函数f（x）=2x+x3-2在R上单调递增，所以函数f（x）在区间（0，1）内的零点个数为1个，选B。

点评：本题在函数的零点与函数的单调性的交汇处命题，考查了学生对函数零点与导数的灵活运用的能力。

（作者单位：河南省洛阳市第一高级中学）

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摘 要：导数是初等数学与高等数学的重要衔接点，是对函数图像和性质的总结和拓展，是研究函数的单调性、极值、最值以及讨论函数图像变化趋势的重要工具，利用导数可以解决现实生活中的最优化问题。由于其应用广泛性，已成为高考命题的重点和热点。

关键词：导数；数学

一、利用导数的几何意义解决曲线的切线问题

例1 曲线y=x3-x+3在点（1，3）处的切线方程为_____________。

分析：首先利用导数的几何意义求出切线的斜率，然后利用点斜式写出切线的方程。

解：因为y′=3x2-1，令x=1得切线斜率2，所以切线方程为y-3=2（x-1），即2x-y+1=0。

点评：利用导数的几何意义求解曲线的切线问题，关键是正确求出已知函数的导函数。

二、利用定积分求曲边梯形的面积

例2 设a＞0，若曲线y=与直线x=a，y=0所围成封闭图形的面积为a2，则a=______。

分析：首先利用定积分的几何意义求出曲边梯形的面积，然后利用微积分基本定理求解得出a的值。

解：由已知得s= dx=xa0=a=a2，所以a=，所以a=。

点评：本题考查了由定积分求解曲线围成封闭图形的面积以及利用微积分基本定理进行计算的能力，考查了同学们用数形结合解决问题的能力

三、利用导数解决函数的单调性问题

例3 函数y=x2-lnx的单调递减区间为

（）。

A.（-1，1 ］ B.（0，1］ C.［1，+∞） D.（0，+∞）

分析：对于对数函数，首先应确定函数的定义域，再求导数f′（x），通过判断函数定义域内导数为零的点所划分的区间内f′（x）的符号，来确定函数

f（x）在该区间上的单调性。

解：令y′=x-=≤0，解得-1＜x＜1，又因为定义域为（0，+∞），所以0＜x＜1，故选B。

点评：利用导数判断函数在给定区间上的单调性，就是判断导数在给定区间上的符号问题。若导数的值为正，原函数在此区间上是增函数，导数的值为负则是减函数。

四、利用导数解决函数的极值与最值问题

例4 设函数f（x）=xex，则（）。

A.x=1为f（x）的极大值点

B.x=1为f（x）的极小值点

C.x=-1为f（x）的极大值点

D.x=-1为f（x）的极小值点

分析：首先令f′（x）=0得出f（x）的极值点，然后利用极值点两侧导数的符号来判断函数的极值。

解：令f′（x）=ex+xex=0，则x=-1，

当x＜-1时f′（x）＜0，f（x）单调递减；

当x＞-1时f′（x）＞0，f（x）单调递增。

所以x=-1为f（x）极小值点，故选D。

点评：本题考查了利用导数求函数的极值，考查了同学们的运算、分析和解决问题的能力。函数极值的求解，根据导函数为零解方程并列表格，分析每个实根两侧导函数的符号和原函数的单调性，可以明确地判断函数的极值点，这是通性通法，应熟练掌握。

五、求参数的值或取值范围

例5 已知函数f（x）=eax-x，其中a≠0。若对一切x∈R，f（x）≥1恒成立，求a的取值集合。

分析：利用函数f（x）的单调性将不等式恒成立问题转化为函数f（x）的最小值问题，然后通过构造函数g（t）=t-tlnt，利用其最值求a的值。

解：若a＜0，则对一切x＞0，f（x）=eax-x＜1，

这与题设矛盾，又a≠0，故a＞0。

而f′（x）=aeax-1，令f′（x）=0，得x= ln。

当x＜ln时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x＞ ln 时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，

故当x=ln时，f（x）取最小值f（ln）= -ln。

于是对一切x∈R，f（x）≥1恒成立，当且仅当

- ln≥1①

令g（t）=t-tlnt，则g′（t）=-lnt。

当0＜t＜1时，g′（t）＞0，g（t）单调递增；当t＞1时，

g′（t）＜0，g（t）单调递减。

故当t=1时，g（t）取最大值g（1）=1。因此，当且仅当=1即a=1时，①式成立。

综上所述，a的取值集合为｛1｝。

点评：本题考查了利用导数求函数的最值、通过导数研究函数的单调性、不等式恒成立问题，考查了同学们等价转化思想以及分析问题、综合运用所学知识解决问题的能力。

六、考查导数知识的交汇性

例6 函数f（x）=2x+x3-2在区间（0，1）内的零点个数是（）。

A.0B.1C.2D.3

分析：首先利用f（0）·f（1）＜0来判定函数在区间（0，1）内是否存在零点，然后利用函数的单调性来判定零点的个数。

解：因为f（0）=1-2=-1＜0。f（1）=2+1-2=1＞0，所以f（0）·f（1）＜0，所以f（x）在区间（0，1）内至少存在一个零点；

又因为f′（x）=2xln2+3x2≥0，所以函数f（x）=2x+x3-2在R上单调递增，所以函数f（x）在区间（0，1）内的零点个数为1个，选B。

点评：本题在函数的零点与函数的单调性的交汇处命题，考查了学生对函数零点与导数的灵活运用的能力。

（作者单位：河南省洛阳市第一高级中学）

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摘 要：导数是初等数学与高等数学的重要衔接点，是对函数图像和性质的总结和拓展，是研究函数的单调性、极值、最值以及讨论函数图像变化趋势的重要工具，利用导数可以解决现实生活中的最优化问题。由于其应用广泛性，已成为高考命题的重点和热点。

关键词：导数；数学

一、利用导数的几何意义解决曲线的切线问题

例1 曲线y=x3-x+3在点（1，3）处的切线方程为_____________。

分析：首先利用导数的几何意义求出切线的斜率，然后利用点斜式写出切线的方程。

解：因为y′=3x2-1，令x=1得切线斜率2，所以切线方程为y-3=2（x-1），即2x-y+1=0。

点评：利用导数的几何意义求解曲线的切线问题，关键是正确求出已知函数的导函数。

二、利用定积分求曲边梯形的面积

例2 设a＞0，若曲线y=与直线x=a，y=0所围成封闭图形的面积为a2，则a=______。

分析：首先利用定积分的几何意义求出曲边梯形的面积，然后利用微积分基本定理求解得出a的值。

解：由已知得s= dx=xa0=a=a2，所以a=，所以a=。

点评：本题考查了由定积分求解曲线围成封闭图形的面积以及利用微积分基本定理进行计算的能力，考查了同学们用数形结合解决问题的能力

三、利用导数解决函数的单调性问题

例3 函数y=x2-lnx的单调递减区间为

（）。

A.（-1，1 ］ B.（0，1］ C.［1，+∞） D.（0，+∞）

分析：对于对数函数，首先应确定函数的定义域，再求导数f′（x），通过判断函数定义域内导数为零的点所划分的区间内f′（x）的符号，来确定函数

f（x）在该区间上的单调性。

解：令y′=x-=≤0，解得-1＜x＜1，又因为定义域为（0，+∞），所以0＜x＜1，故选B。

点评：利用导数判断函数在给定区间上的单调性，就是判断导数在给定区间上的符号问题。若导数的值为正，原函数在此区间上是增函数，导数的值为负则是减函数。

四、利用导数解决函数的极值与最值问题

例4 设函数f（x）=xex，则（）。

A.x=1为f（x）的极大值点

B.x=1为f（x）的极小值点

C.x=-1为f（x）的极大值点

D.x=-1为f（x）的极小值点

分析：首先令f′（x）=0得出f（x）的极值点，然后利用极值点两侧导数的符号来判断函数的极值。

解：令f′（x）=ex+xex=0，则x=-1，

当x＜-1时f′（x）＜0，f（x）单调递减；

当x＞-1时f′（x）＞0，f（x）单调递增。

所以x=-1为f（x）极小值点，故选D。

点评：本题考查了利用导数求函数的极值，考查了同学们的运算、分析和解决问题的能力。函数极值的求解，根据导函数为零解方程并列表格，分析每个实根两侧导函数的符号和原函数的单调性，可以明确地判断函数的极值点，这是通性通法，应熟练掌握。

五、求参数的值或取值范围

例5 已知函数f（x）=eax-x，其中a≠0。若对一切x∈R，f（x）≥1恒成立，求a的取值集合。

分析：利用函数f（x）的单调性将不等式恒成立问题转化为函数f（x）的最小值问题，然后通过构造函数g（t）=t-tlnt，利用其最值求a的值。

解：若a＜0，则对一切x＞0，f（x）=eax-x＜1，

这与题设矛盾，又a≠0，故a＞0。

而f′（x）=aeax-1，令f′（x）=0，得x= ln。

当x＜ln时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x＞ ln 时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，

故当x=ln时，f（x）取最小值f（ln）= -ln。

于是对一切x∈R，f（x）≥1恒成立，当且仅当

- ln≥1①

令g（t）=t-tlnt，则g′（t）=-lnt。

当0＜t＜1时，g′（t）＞0，g（t）单调递增；当t＞1时，

g′（t）＜0，g（t）单调递减。

故当t=1时，g（t）取最大值g（1）=1。因此，当且仅当=1即a=1时，①式成立。

综上所述，a的取值集合为｛1｝。

点评：本题考查了利用导数求函数的最值、通过导数研究函数的单调性、不等式恒成立问题，考查了同学们等价转化思想以及分析问题、综合运用所学知识解决问题的能力。

六、考查导数知识的交汇性

例6 函数f（x）=2x+x3-2在区间（0，1）内的零点个数是（）。

A.0B.1C.2D.3

分析：首先利用f（0）·f（1）＜0来判定函数在区间（0，1）内是否存在零点，然后利用函数的单调性来判定零点的个数。

解：因为f（0）=1-2=-1＜0。f（1）=2+1-2=1＞0，所以f（0）·f（1）＜0，所以f（x）在区间（0，1）内至少存在一个零点；

又因为f′（x）=2xln2+3x2≥0，所以函数f（x）=2x+x3-2在R上单调递增，所以函数f（x）在区间（0，1）内的零点个数为1个，选B。

点评：本题在函数的零点与函数的单调性的交汇处命题，考查了学生对函数零点与导数的灵活运用的能力。

（作者单位：河南省洛阳市第一高级中学）

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