压电智能应用于柔性悬臂梁振动控制系统研究

杨宏斌

摘 要： 基于模糊控制的振动控制方法，针对柔性悬臂梁，设计了相应振动控制器。采用电桥电路法分离出压电自感知执行器的感知信号，通过传感器将采集进来的信号，由最优控制理论离线计算得到理论输出值。并将理论输出值与对应的系统输入值对应起来，从而建立拥有最优解的模糊控制规则表。通过传感器采集系统状态并经过处理得到输出信号，作用于执行器上对柔性梁的振动进行抑制。仿真结果表明，采用的控制器对于改善振动快速控制是非常有效的。

关键字： 模糊控制； 最优控制； 振动控制； 悬臂梁

中图分类号： TN911?34； TP13 文献标识码： A 文章编号： 1004?373X（2014）14?0005?03

Study on piezoelectric intelligence applied to vibration control system

for flexible cantilever beam

YANG hong?bin

（ School of Energy and Engineering， Yulin University， Yulin 719000， China）

Abstract： Based on the vibration control methods of fuzzy control， a corresponding vibration controller was designed for flexible cantilever beams. Bridge circuit method is adopted to separate the sensing signal from piezoelectric self?sensing actuator. Signals collected by sensors are calculated by means of the optimal control theory to get theoretical output values， and make it correspond with the related system input value， so as to make a fuzzy control regulation table with optimal solution.The system working condition is collected with sensors and processed to get output signal for suppressing effect on the vibration of the flexible beam. The simulation results show that the controller is very effective for improving the rapid control of vibration.

Keywords： fuzzy control； optimal control； vibration control； cantilever beam

0 引 言

从近代航空航天领域的研究现状和工、农业生的科技发展来看，对柔性结构的振动已经逐步深入到社会生产、研究的各个领域中，随着微处理器和主动控制理论的发展也大大促进了对振动控制效果，越来越多的新兴控制理论出现在人们的视野中。同时，新型材料的发展对振动控制精度起到了非常重要的推进作用。在众多研究学者的不断努力中，振动主动控制现今也取得比较显著的发展。

1 系统模型

1.1 新型智能压电材料的物理模型

新型智能压电材料具有体积小、重量轻等众多优点，因此广泛应用于振动主动控制的研究中。通过将智能压电材料融入到电桥中，进行对信号进行的分离，从而获得在外力作用下的感应电压。采用电桥电路进行信号分离，如图1所示，图中[Um]为曲线所框的智能压电材料受到应力时所产生的电压，[Rr]为参考电阻，[R1，R2]为串联电阻[Uc]为控制电压。

图1 压电自感知执行器电桥电路

通过此方法得到输出电压：

[Us=（RpR1+Rp-RrR2+Rr）Uc-RpR1+RpUm] （1）

桥平衡条件为[R1Rr=R2Rp]，此时Us正比于Um，即：

[Us=-RpR1+RpUm] （2）

1.2 柔性梁的物理模型

通过对柔性梁的物理模型进行研究，从而进一步分析智能压电结构应用于柔性梁的主动控制当中，柔性梁的物理模型如图2所示，柔性梁的参数如表1所示。

图2 压电智能悬臂梁的结构示意图

表1 柔性梁的参数

智能压电材料参数如表2所示。

表2 智能压电材料的参数

假设梁上粘贴有m个自感知执行器，且位置分布在梁的下侧。根据振动理论，Euler?Bernoulli 梁的横向振动的偏微分方程为[2]：

[EI?4ω（x，t）?x4+ρs?2ω（x，t）?t2=F（x，t）] （3）

式中：挠度[ω（x，t）]分解为与x有关的模态函数[φ（x）]和模态坐标[q（t）]，[n]为截断选取的模态数，有：

[ω（x，t）=i=1nφi（x）qi（t）=ΦT（x）q（t）] （4）

引入：

[Φ（x）={φ1（x），φ2（x），…，φn（x）}T] （5）

[q（t）={q1（t），q2（t），…，qn（t）}T] （6）

将式（4）代入式（3）得：

[i=1n[EIφi″（x）]″qi（t）+i=1nρsφi（x）qi（t）=F（x，t）] （7）

又有：

[[EIφi″（x）]″=ω2iρsφi（x）] （8）

则有：

[ρsi=1nω2iφi（x）qi（t）+ρsi=1nφi（x）qi（t）=F（x，t）] （9）

式中：[ωi]为第[i]阶系统固有频率；[ξi]为第[i]阶模态阻尼比。化简整理并考虑阻尼比悬臂梁振动微分方程为[3]：

[qi（t）+2ξiωiqi（t）+ω2iqi（t）=BiUC] （10）

[Bi=12bpd31Ep（tb+tp）[φi′（x2）-φi′（x1）]] （11）

[Um=-i=1∞bpe31tp2Cp[φi′（x2）-φi′（x1）]?qi（t）] （12）

令：

[Ci=bpe31tp2Cp[φi′（x2）-φi′（x1）]] （13）

可得到输出电压为：

[Um=i=1nCiqi（t）] （14）

引入状态量：

[x（t）=[q1，q2，…，qn，q1，q2，…，qn]T] （15）

将式（10）和式（14）用状态空间方程的形式来表示：

[x=Ax+Buy=Cx] （16）

2 最优模糊控制的基本原理

2.1 模糊控制理论

模糊控制理论是依据人类对事物的逻辑推理进行归纳总结从而得到控制规则应用于主动控制中，经常用于某些直观、难易建立或获取数学模型的被控对象进行控制。模糊控制算法的控制简图[4]如图3所示。

图3 控制理论的原理框图

2.2 最优控制理论

最优控制理论就是在一定前提条件下，在允许范围内寻找最优的控制方案，是控制系统在系统所设置的前提下，其控制效果最优。设一阶受控系统为：

[x=Ax+Bu]

式中：[x]为状态量；[u]为外部输入；A和B为系统矩阵和输入矩阵，性能指标为关于状态和输入的一个二次型性能函数。

[J（u）=120t[xTQx+uTRu]dt+12xT（tf）sx（tf）] （17）

最优控制的实质就是在约束条件下寻找一个外部输入u*，使其二次型性能函数达到极值。

[J（u*）=minJ（u）] （18）

2.3 最优模糊控制理论[5?6]

针对于某些难以建模的工程设计中，为了得到较好的控制效果，提高控制精度和运算效率，而单一的模糊控制不能得到较高的控制精度，因此将最优控制和模糊控制理论进行结合，结合后的最优模糊控理论既满足最优控制的控制精度，也能满足模糊控制的快速响应（见图4）。通过采集系统的状态量，进行离线最优计算，得到多个状态的最优控制解。利用所得到的结论建立模糊控制表进行在线控制。这样控制系统既满足快速响应，又满足最优控制，因此为工程设计提供了控制依据。

图4 最优模糊理论的原理框图

3 控制系统设计步骤及仿真分析

3.1 最优模糊控制

（1） 系统离线计算模块

智能结构应用于柔性悬臂梁的状态微分方程：

[x=Ax+Buy=Cx] （19）

系统为稳定系统，因此二次型性能指标函数简化为：

[J（u）=120∞[xTQx+uTRu]dt] （20）

通过二次型性能指标函数寻找一个外部输入u*，使其达到极值：

[u*=-Gx] （21）

对关于u的J（u）求极小值问题，解得最优解，并记之为u*：

[u*=-R-1BTλ] （22）

整理得出：

[Q+ATP+PA-PBF-1BTP=0] （23）

由式（21）、式（23）得出：

[u*=-Gx=-R-1BTPx] （24）

（2） 在线控制模块

通过离线最优控制模块所得到最优解建立模糊控制规则表，如表3所示。通过传感器采集进来的信号进入装有最优模糊控制理论的处理器中，得到输入所对应最优控制解，输出至执行器作用到被控对象，从而达到振动控制的目的。

3.2 系统仿真

当柔性梁受到外力作用时，智能压电结构表面会产生电荷，通过电桥电路输入至处理器中，输入到控制器中的传感器信号经过比较处理得到所对应的最优控制解并输出控制电压作用到智能压电结构的电极上，智能压电结构接收到输出的控制电压从而产生相应的形变作用到柔性悬臂梁上抑制梁的形变。

表3 在线模糊控制规则表

选择柔性梁参数为：[L=800 mm，][bb=10 mm，][tb=3 mm，][ρ=2.7×103 kg/m3]。智能压电结构参数为：[lp=30 mm，][bp=10 mm，][tp=1 mm]。

根据智能压电材料作用于柔性梁的最优化设计，将压电智能材料黏贴于柔性悬臂梁的根部，并且忽略压电智能材料对柔性悬臂梁的振动影响。

通过Matlab进行系统仿真，得到的柔性悬臂梁的控制电压结果如图5所示。

图5 智能压电材料控制电压

柔性悬臂梁末端受控前后振动幅度比较见图6。

图6 柔性梁末端偏离平衡位置尺寸

从图5的控制电压曲线中可以看到，当振动幅度较大时，其控制电压较大。从图6柔性梁末端偏移平衡位置尺寸位置上看，在没有施加控制的前提下，由于柔性梁的自身阻尼，柔性梁末端偏移平衡位置尺寸较大，振动衰减较慢，经过5 s还未完全稳定。施加控制后，由于执行器产生与柔性梁形变相反的作用力，使柔性梁的衰减明显加快，经过1.5 s便达到稳态。

4 结 语

以智能压电结构为基础，设计一种将最优控制和模糊控制相结合的控制方法，既满足最优控制的优点，又将模糊控制的长处有效的结合起来，对柔性悬臂梁进行振动控制。通过Matlab仿真表明，最优模糊控制基于压电智能结构的控制系统能很有效的对柔性梁的振动进行抑制。

参考文献

[1] 陈庆伟.基于状态反馈控制的柔性臂系统振动抑制[J].兵工学报，2006，27（1）：184?187.

[2] BAILEY T. Distributed piezoelectric polymer active vibration control of a cantilever beam [J]. Guidante and control， 1985， 8（5）： 605?611.

[3] ZADEH L A. Fuzzy sets [J]. Information and Control， 1965， 8（2）： 338?353.

[4] 任秀华，丁桦，麦汉超.压电类智能梁元的力学特性及最优控制[J].强度与环境，2000（1）：42?49.

[5] 王宗利.压电智能梁的状态相关LQR振动控制[J].上海交通大学学报，2001，35（4）：503?508.

[6] 李德亮，韩安明.柔性机械臂有限时问控制器设计与仿真实现[J].现代电子技术，2012，35（14）：106?108.

[q（t）={q1（t），q2（t），…，qn（t）}T] （6）

将式（4）代入式（3）得：

[i=1n[EIφi″（x）]″qi（t）+i=1nρsφi（x）qi（t）=F（x，t）] （7）

又有：

[[EIφi″（x）]″=ω2iρsφi（x）] （8）

则有：

[ρsi=1nω2iφi（x）qi（t）+ρsi=1nφi（x）qi（t）=F（x，t）] （9）

式中：[ωi]为第[i]阶系统固有频率；[ξi]为第[i]阶模态阻尼比。化简整理并考虑阻尼比悬臂梁振动微分方程为[3]：

[qi（t）+2ξiωiqi（t）+ω2iqi（t）=BiUC] （10）

[Bi=12bpd31Ep（tb+tp）[φi′（x2）-φi′（x1）]] （11）

[Um=-i=1∞bpe31tp2Cp[φi′（x2）-φi′（x1）]?qi（t）] （12）

令：

[Ci=bpe31tp2Cp[φi′（x2）-φi′（x1）]] （13）

可得到输出电压为：

[Um=i=1nCiqi（t）] （14）

引入状态量：

[x（t）=[q1，q2，…，qn，q1，q2，…，qn]T] （15）

将式（10）和式（14）用状态空间方程的形式来表示：

[x=Ax+Buy=Cx] （16）

2 最优模糊控制的基本原理

2.1 模糊控制理论

模糊控制理论是依据人类对事物的逻辑推理进行归纳总结从而得到控制规则应用于主动控制中，经常用于某些直观、难易建立或获取数学模型的被控对象进行控制。模糊控制算法的控制简图[4]如图3所示。

图3 控制理论的原理框图

2.2 最优控制理论

最优控制理论就是在一定前提条件下，在允许范围内寻找最优的控制方案，是控制系统在系统所设置的前提下，其控制效果最优。设一阶受控系统为：

[x=Ax+Bu]

式中：[x]为状态量；[u]为外部输入；A和B为系统矩阵和输入矩阵，性能指标为关于状态和输入的一个二次型性能函数。

[J（u）=120t[xTQx+uTRu]dt+12xT（tf）sx（tf）] （17）

最优控制的实质就是在约束条件下寻找一个外部输入u*，使其二次型性能函数达到极值。

[J（u*）=minJ（u）] （18）

2.3 最优模糊控制理论[5?6]

针对于某些难以建模的工程设计中，为了得到较好的控制效果，提高控制精度和运算效率，而单一的模糊控制不能得到较高的控制精度，因此将最优控制和模糊控制理论进行结合，结合后的最优模糊控理论既满足最优控制的控制精度，也能满足模糊控制的快速响应（见图4）。通过采集系统的状态量，进行离线最优计算，得到多个状态的最优控制解。利用所得到的结论建立模糊控制表进行在线控制。这样控制系统既满足快速响应，又满足最优控制，因此为工程设计提供了控制依据。

图4 最优模糊理论的原理框图

3 控制系统设计步骤及仿真分析

3.1 最优模糊控制

（1） 系统离线计算模块

智能结构应用于柔性悬臂梁的状态微分方程：

[x=Ax+Buy=Cx] （19）

系统为稳定系统，因此二次型性能指标函数简化为：

[J（u）=120∞[xTQx+uTRu]dt] （20）

通过二次型性能指标函数寻找一个外部输入u*，使其达到极值：

[u*=-Gx] （21）

对关于u的J（u）求极小值问题，解得最优解，并记之为u*：

[u*=-R-1BTλ] （22）

整理得出：

[Q+ATP+PA-PBF-1BTP=0] （23）

由式（21）、式（23）得出：

[u*=-Gx=-R-1BTPx] （24）

（2） 在线控制模块

通过离线最优控制模块所得到最优解建立模糊控制规则表，如表3所示。通过传感器采集进来的信号进入装有最优模糊控制理论的处理器中，得到输入所对应最优控制解，输出至执行器作用到被控对象，从而达到振动控制的目的。

3.2 系统仿真

当柔性梁受到外力作用时，智能压电结构表面会产生电荷，通过电桥电路输入至处理器中，输入到控制器中的传感器信号经过比较处理得到所对应的最优控制解并输出控制电压作用到智能压电结构的电极上，智能压电结构接收到输出的控制电压从而产生相应的形变作用到柔性悬臂梁上抑制梁的形变。

表3 在线模糊控制规则表

选择柔性梁参数为：[L=800 mm，][bb=10 mm，][tb=3 mm，][ρ=2.7×103 kg/m3]。智能压电结构参数为：[lp=30 mm，][bp=10 mm，][tp=1 mm]。

根据智能压电材料作用于柔性梁的最优化设计，将压电智能材料黏贴于柔性悬臂梁的根部，并且忽略压电智能材料对柔性悬臂梁的振动影响。

通过Matlab进行系统仿真，得到的柔性悬臂梁的控制电压结果如图5所示。

图5 智能压电材料控制电压

柔性悬臂梁末端受控前后振动幅度比较见图6。

图6 柔性梁末端偏离平衡位置尺寸

从图5的控制电压曲线中可以看到，当振动幅度较大时，其控制电压较大。从图6柔性梁末端偏移平衡位置尺寸位置上看，在没有施加控制的前提下，由于柔性梁的自身阻尼，柔性梁末端偏移平衡位置尺寸较大，振动衰减较慢，经过5 s还未完全稳定。施加控制后，由于执行器产生与柔性梁形变相反的作用力，使柔性梁的衰减明显加快，经过1.5 s便达到稳态。

4 结 语

以智能压电结构为基础，设计一种将最优控制和模糊控制相结合的控制方法，既满足最优控制的优点，又将模糊控制的长处有效的结合起来，对柔性悬臂梁进行振动控制。通过Matlab仿真表明，最优模糊控制基于压电智能结构的控制系统能很有效的对柔性梁的振动进行抑制。

参考文献

[1] 陈庆伟.基于状态反馈控制的柔性臂系统振动抑制[J].兵工学报，2006，27（1）：184?187.

[2] BAILEY T. Distributed piezoelectric polymer active vibration control of a cantilever beam [J]. Guidante and control， 1985， 8（5）： 605?611.

[3] ZADEH L A. Fuzzy sets [J]. Information and Control， 1965， 8（2）： 338?353.

[4] 任秀华，丁桦，麦汉超.压电类智能梁元的力学特性及最优控制[J].强度与环境，2000（1）：42?49.

[5] 王宗利.压电智能梁的状态相关LQR振动控制[J].上海交通大学学报，2001，35（4）：503?508.

[6] 李德亮，韩安明.柔性机械臂有限时问控制器设计与仿真实现[J].现代电子技术，2012，35（14）：106?108.

[q（t）={q1（t），q2（t），…，qn（t）}T] （6）

将式（4）代入式（3）得：

[i=1n[EIφi″（x）]″qi（t）+i=1nρsφi（x）qi（t）=F（x，t）] （7）

又有：

[[EIφi″（x）]″=ω2iρsφi（x）] （8）

则有：

[ρsi=1nω2iφi（x）qi（t）+ρsi=1nφi（x）qi（t）=F（x，t）] （9）

式中：[ωi]为第[i]阶系统固有频率；[ξi]为第[i]阶模态阻尼比。化简整理并考虑阻尼比悬臂梁振动微分方程为[3]：

[qi（t）+2ξiωiqi（t）+ω2iqi（t）=BiUC] （10）

[Bi=12bpd31Ep（tb+tp）[φi′（x2）-φi′（x1）]] （11）

[Um=-i=1∞bpe31tp2Cp[φi′（x2）-φi′（x1）]?qi（t）] （12）

令：

[Ci=bpe31tp2Cp[φi′（x2）-φi′（x1）]] （13）

可得到输出电压为：

[Um=i=1nCiqi（t）] （14）

引入状态量：

[x（t）=[q1，q2，…，qn，q1，q2，…，qn]T] （15）

将式（10）和式（14）用状态空间方程的形式来表示：

[x=Ax+Buy=Cx] （16）

2 最优模糊控制的基本原理

2.1 模糊控制理论

模糊控制理论是依据人类对事物的逻辑推理进行归纳总结从而得到控制规则应用于主动控制中，经常用于某些直观、难易建立或获取数学模型的被控对象进行控制。模糊控制算法的控制简图[4]如图3所示。

图3 控制理论的原理框图

2.2 最优控制理论

最优控制理论就是在一定前提条件下，在允许范围内寻找最优的控制方案，是控制系统在系统所设置的前提下，其控制效果最优。设一阶受控系统为：

[x=Ax+Bu]

式中：[x]为状态量；[u]为外部输入；A和B为系统矩阵和输入矩阵，性能指标为关于状态和输入的一个二次型性能函数。

[J（u）=120t[xTQx+uTRu]dt+12xT（tf）sx（tf）] （17）

最优控制的实质就是在约束条件下寻找一个外部输入u*，使其二次型性能函数达到极值。

[J（u*）=minJ（u）] （18）

2.3 最优模糊控制理论[5?6]

针对于某些难以建模的工程设计中，为了得到较好的控制效果，提高控制精度和运算效率，而单一的模糊控制不能得到较高的控制精度，因此将最优控制和模糊控制理论进行结合，结合后的最优模糊控理论既满足最优控制的控制精度，也能满足模糊控制的快速响应（见图4）。通过采集系统的状态量，进行离线最优计算，得到多个状态的最优控制解。利用所得到的结论建立模糊控制表进行在线控制。这样控制系统既满足快速响应，又满足最优控制，因此为工程设计提供了控制依据。

图4 最优模糊理论的原理框图

3 控制系统设计步骤及仿真分析

3.1 最优模糊控制

（1） 系统离线计算模块

智能结构应用于柔性悬臂梁的状态微分方程：

[x=Ax+Buy=Cx] （19）

系统为稳定系统，因此二次型性能指标函数简化为：

[J（u）=120∞[xTQx+uTRu]dt] （20）

通过二次型性能指标函数寻找一个外部输入u*，使其达到极值：

[u*=-Gx] （21）

对关于u的J（u）求极小值问题，解得最优解，并记之为u*：

[u*=-R-1BTλ] （22）

整理得出：

[Q+ATP+PA-PBF-1BTP=0] （23）

由式（21）、式（23）得出：

[u*=-Gx=-R-1BTPx] （24）

（2） 在线控制模块

通过离线最优控制模块所得到最优解建立模糊控制规则表，如表3所示。通过传感器采集进来的信号进入装有最优模糊控制理论的处理器中，得到输入所对应最优控制解，输出至执行器作用到被控对象，从而达到振动控制的目的。

3.2 系统仿真

当柔性梁受到外力作用时，智能压电结构表面会产生电荷，通过电桥电路输入至处理器中，输入到控制器中的传感器信号经过比较处理得到所对应的最优控制解并输出控制电压作用到智能压电结构的电极上，智能压电结构接收到输出的控制电压从而产生相应的形变作用到柔性悬臂梁上抑制梁的形变。

表3 在线模糊控制规则表

选择柔性梁参数为：[L=800 mm，][bb=10 mm，][tb=3 mm，][ρ=2.7×103 kg/m3]。智能压电结构参数为：[lp=30 mm，][bp=10 mm，][tp=1 mm]。

根据智能压电材料作用于柔性梁的最优化设计，将压电智能材料黏贴于柔性悬臂梁的根部，并且忽略压电智能材料对柔性悬臂梁的振动影响。

通过Matlab进行系统仿真，得到的柔性悬臂梁的控制电压结果如图5所示。

图5 智能压电材料控制电压

柔性悬臂梁末端受控前后振动幅度比较见图6。

图6 柔性梁末端偏离平衡位置尺寸

从图5的控制电压曲线中可以看到，当振动幅度较大时，其控制电压较大。从图6柔性梁末端偏移平衡位置尺寸位置上看，在没有施加控制的前提下，由于柔性梁的自身阻尼，柔性梁末端偏移平衡位置尺寸较大，振动衰减较慢，经过5 s还未完全稳定。施加控制后，由于执行器产生与柔性梁形变相反的作用力，使柔性梁的衰减明显加快，经过1.5 s便达到稳态。

4 结 语

以智能压电结构为基础，设计一种将最优控制和模糊控制相结合的控制方法，既满足最优控制的优点，又将模糊控制的长处有效的结合起来，对柔性悬臂梁进行振动控制。通过Matlab仿真表明，最优模糊控制基于压电智能结构的控制系统能很有效的对柔性梁的振动进行抑制。

参考文献

[1] 陈庆伟.基于状态反馈控制的柔性臂系统振动抑制[J].兵工学报，2006，27（1）：184?187.

[2] BAILEY T. Distributed piezoelectric polymer active vibration control of a cantilever beam [J]. Guidante and control， 1985， 8（5）： 605?611.

[3] ZADEH L A. Fuzzy sets [J]. Information and Control， 1965， 8（2）： 338?353.

[4] 任秀华，丁桦，麦汉超.压电类智能梁元的力学特性及最优控制[J].强度与环境，2000（1）：42?49.

[5] 王宗利.压电智能梁的状态相关LQR振动控制[J].上海交通大学学报，2001，35（4）：503?508.

[6] 李德亮，韩安明.柔性机械臂有限时问控制器设计与仿真实现[J].现代电子技术，2012，35（14）：106?108.