运用教学路线图 深入研讨数学课

吴裕良

摘 要：很多研课存在脱离课堂实际和对课堂整体把握不准的不良倾向。教学路线图，作为实际课堂的概括表征，在课堂观察、课堂分析、设计优化等研课环节中非常有用，是提高研课质量的重要工具。

关键词：研课；教学路线图；课堂观察；课堂分析；教学优化

我们在研课活动中感到，很多研课存在两种不良倾向：一是脱离课堂的实际内容和进程。一些教师对课堂活动的评价，虽然说得头头是道、有理有据，但与正在研究的课堂距离较远，对课堂改进没有现实的帮助。二是对课堂的整体把握不准。个别教师单独进行局部细节的评说，尽管分析细致、建议具体，但往往不适合课堂整体的实际需要，在课堂改进中很难落实。实践表明，教学路线图对整体把握课堂非常有用，在理论联系实际、课堂分析和优化、小组交流讨论中是一个方便的工具和抓手。下面笔者就结合具体课例，谈谈教学路线图在课堂观察、课堂分析、设计优化三个环节中的应用。

一、什么是教学路线图

课堂是教学各要素有目的、有计划的动态组织系统。“过程”是课堂变化性的一面，“状态”是课堂稳定性的一面。每个要素因不同的课堂“过程”发挥不同的作用，呈现出不同的“状态”，而每个要素的不同“状态”和“过程”表现则反映了课堂的预设和生成，表达出不同的课堂效果。所以，研课就是要从系统的观点出发，通过“过程”来研究、确定“状态”，通过“状态”来预测、规划和调控“过程”，使教与学两个时序最大可能地协调同步，实现教学系统的整体优化。因此，课堂观察的任务就是辨认课堂系统的基本要素，明确各要素的“过程”和“状态”，抓住主要特征，获得对课堂整体和局部的初步认识。

教学路线图是依据课堂教学的实际进程，反映课堂主要环节、主要内容、基本过程、活动形式、主体特征、典型现象、时间分配等教学信息和活动线索的图示，如图1就是“向量的运算法则”公开课的教学路线图。从图1可以看出，教学路线图包含了教师活动、学生活动、学习内容、教学步骤、时间利用等基本要素，文字描述的是各要素在不同环节、不同步骤上的内容、形式和状态，横向的箭头反映了一个教学步骤的过程信息，纵向的箭头反映了不同环节、不同步骤的流变顺序和过程信息。可见，教学路线图是实际课堂的概括表征，清楚地反映了课堂活动的过程特征和性质状态，以及主要的、突出的内容、过程、现象和特点。有了教学路线图，教师容易认清课堂要素及其表现形式和本质内涵，有助于提升课堂观察的质量。

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图1 “向量的运算法则”的教学路线图

教学路线图还有两个方便之处：一是其绘制简单易行，教师在听课的过程中就可以完成，便于课后研讨使用；二是其方法以性质认识为主，便于教师发现问题、互相交流和进一步研究。

从图1可以看出，该课具有以下性质特点：

①课堂结构清晰明了。本课由复习旧知、学习新知、布置作业三个环节构成。其中学习新知包含三个子环节，其过程相互独立，但形式基本相同，课堂层次分明，知识点明确，利于学生抓住教学重点，掌握新知识。另外，该课与一般新授课结构不同的是，缺少课堂练习。

②新知学习的顺序符合认知心理。本课新知识的学习按照加、减、乘的顺序展开，与实数四则运算的一般认识顺序（加减乘除）相一致，符合学生的认知习惯，便于新旧知识的类比，也便于新知识结构的建构和完善。

③新知识的生成总体上自然流畅。复习环节全面而深入，为新知识学习做好了准备，学生在类比和操作中探索新知识，从旧经验中生成新经验，在操作演算中发现新运算，因此，新知识的生成自然流畅。虽然减法和数乘部分有个别学生出错，但整体较好。

④主体活动符合现代教学理念。教师的作用是主导和点拨，重在目标引导和元认知启发。学生活动的主体性较强，智力参与充分，探索富有成效，有丰富的过程体验。缺点是在数乘环节，教师的参与较多，学生探究不如前面充分。

⑤课堂节奏紧凑。本课探究的内容不算少，但加法环节13分钟，减法环节15分钟，数乘环节8分钟，相对来说时间较紧，一般的学生很难完成。探索过程有两处学生出现错误，也可能与探究时间短有关。

二、“教学路线图”在整体分析中的应用

课堂分析是研课的核心环节，是从“教与学对应”和“教与学科对应”两个方面对课堂活动深入分析、广泛求证的过程，可分为整体分析和局部分析两个部分。

整体分析是对影响课堂整体进程和整体效果的因素进行的分析和研究，包括教学内容、教学目标、教学方法、教学过程、学生特征、教师教学信念等。这些因素的作用和效果并不直接地或显现地反映在课堂表面，而是通过课堂活动的全部过程和状态间接地、综合地反映出来。因此，整体分析需要教师仔细辨析课堂每一个环节的内容、形式、过程和状态，通盘考虑，全面评析，在对现象与本质、现实与理论进行思考和权衡之后，得出既有理论诉求、又有现实需要的教学认识。显然，任何一个整体因素的分析都要以课堂整体把握为基础，都是在整体把握后对课堂系统的更高程度的再认识。

下面是一位教师借助图1对该课教学方法进行的分析：

①使用发现法。本课三个新知识点的学习都是在明确的目标引导下，由学生自主探究完成的，教师发挥启发和引导的作用。学生通过类比物理经验、实数运算以及具体向量的演算实验，概括运算法则，体验数学研究过程。其中加、减、乘三个环节方法相同，就是典型的发现法教学。

②效果整体良好，局部的引导需要改进。在一节课的时间里，学生自主探究发现了三种运算法则及其性质，效率很高。加法环节非常顺利，学生沿着从具体到一般的认识路线，自然地得出了加法法则和运算律。减法环节也从具体入手，但由于很快脱离具体，进行抽象的、一般的讨论，以致出现了错误，最后还是回到具体，在具体图形的支持下获得了差向量的画法。数乘环节时间较少，但教师抓住“方向”和“长度”这两个关键词，重点启发，很快地获得了数乘法则。整体看来，课堂效率高，不仅实现了知识目标，而且还在探索、实验、发现的过程中培养了科学思维方法，发展了自主合作学习能力。但减法环节需要改进，因为学生的认知活动需要具体形象的支持，而教师的每一个引导都应遵循学生的学习心理规律。endprint

③方法运用适当。该班学生认知能力和自学能力都很强，有的学生熟悉物理背景，有的有实数运算的知识经验，对向量的基本知识也做了充分的复习。在这样的教学准备下，探究目标明确，探究难度处于最近发展区，因此选择发现法是合适的。从实际效果来看，本课教学方法也是适当的。

④重视学生思维和情感的启发。教师重视学生学习的主体性，在课堂的任何环节都通过启发、引导把探索发现的任务交给学生，使学生成为课堂教学的真正主人。如加法环节的启发语：“今天学什么呢？对，加减乘除。你见过向量的加法吗？不看书，你给大家说说看。”“谁要帮他完善一下吗？你觉得他讲的怎么样？”“有了运算就要有运算法则，你联系实数的运算法则，想想看，向量加法应该有哪些法则？”“关于实数的运算法则，推广到向量里面成立不成立？”“上课要动脑筋、要思考，既不要看书，也不要等老师的答案。一上课就翻书，是很坏的习惯。”学生的发现离不开教师的引导，本课中教师简单明了的启发和引导是成功运用发现法的重要保证。

⑤以板书支持思维实验，促进课堂发现。本课使用的教学媒体主要是多媒体投影和黑板，多媒体使用不多，主要用来呈现向量的知识要点、结构图和探究目标，黑板使用较多，力的合成、运算探索、发现的结论等探索过程和内容都是通过黑板展示、交流的。因此，以黑板为主，投影配合，教学媒体支持了新知识的探究活动。

⑥实施效果好，值得借鉴。从上述分析可以看出，教师在应用发现法时，综合考虑了新知识的学科特点、班级学生的特点、教学的过程目标、学生的认知心理等多种因素。教师引导简单明了，学生探究积极主动，在课堂上实现了教学目标，从教学方法上看，这是一节值得学习、研究的公开课。但有两点需要注意：一是减法环节中从具体到抽象的过程太快，学生的感性认识不充分，起点和终点容易出错，这一错误以后还可能发生，应予重视。二是关于0乘向量的结果，是个不难的易错点，需要进一步强化。因此，学生在这两个环节上的探究还应更充分一些。本课上课班级是重点中学的重点班，对大多数教师来说，教学方法、教学理念、教学思路值得学习，但应根据自己的班级特点，在知识容量、时间分配、元认知启发程度等方面做一定的调整。

三、“教学路线图”在局部分析中的应用

局部分析是对影响课堂局部效果的典型现象、技术细节、专门问题的分析和研究，如课题引入、环节过渡、例题选用、课堂总结、课堂语言、师生交互、学生参与、课堂生成、媒体使用、课堂调控等。局部的过程和状态既是课堂设计的实施结果，又是课堂运行的系统生成。一节课总有一些地方处理得好，一些地方处理得不好，研课就是要“择其善者而从之，择其不善而改之”。局部分析要有系统的观念，因为局部是为整体服务的。局部的好与坏，不仅取决于局部要素的过程和状态，还取决于课堂整体的过程要求和状态关系。所以局部分析是在整体把握的基础上对课堂进行的专门的、细致的研究。

下面是一位教师对该课学生出错的减法环节所做的局部分析：

从教学路线图可以看出，本课的预设和生成基本一致，课堂没有出现大的偏差，但是在减法环节出现的错误特别显眼。仔细分析这个环节的课堂对话，发现错误的本质并不是学生不能正确进行向量相减，而是对“被减数”和“减数”的概念运用错误，以至于说不清差向量的起点和终点。而造成这一错误的教学原因，笔者认为是由于师生脱离了具体图形的支持，纯粹从概念上描述一般法则。向量运算的学习是技能学习，需要具体形象或表象的支持，这是学生认知的规律。运算学习的本质是掌握法则、正确运算，而不是纠缠于概念和语言描述。如果结合具体的图形，学生也许不会出错，对向量减法的心理表征也许更好。事实上，这一环节最后还是回到了具体图形，还是在具体图形中完成了减法的意义建构和规则概括。比较其他两个环节，加法和数乘的教学由于很好地运用了具体图形，都很顺利。所以，这一错误提醒我们，教学引导一定要尊重学生的认知心理，学生还处在由具体运算向形式运算发展的阶段，教学直观是学生学习的脚手架，教师要根据教学内容的特点，淡化概念，注重本质，让学生在直观、具体的情境中更加顺利建构新知识。

四、“教学路线图”在课堂优化中的应用

优化课堂设计是研课的重点工作，也是教师从认识提高走向实践提高的重要步骤。经过课堂观察和课堂分析，教师会对教学活动的目标、内容、方法、形式、过程等教学要素及其时序排列产生深刻的见解，进一步会产生优化设计的积极愿望和调整意见。这时，教学路线图可以在以下两个方面提供帮助：

一是作为复现课堂情境的线索，帮助取舍优缺点。教学路线图展示了课堂的整体图景，便于教师复现课堂情境，客观评价各要素的优点和不足，权衡各种关系，找准应该坚持和发扬以及应该改进和调整的地方。

二是作为课堂设计的底本，帮助形成优化方案。教学路线图是设计优化的底稿，教师可以根据自己对课堂的认识，对各要素及其过程和状态进行调整、改造、添加和删除，使教学预设变得更可行、更完善、更适合自己的教学需要。

下面是一位教师根据图1对该课的优化：

本课的优点是很好地运用了探究发现的教学方法，教学准备充分，认知引导合理，学生主体性较强，课堂效率很高，学生不仅发现了知识，还在发现知识的过程中体验了数学探究的方法和乐趣，这样的预设应该坚持和发扬。

本课教学内容的选取和组织值得商榷。该班学生基础好，教师打破了教材的章节安排，将向量的线性运算集中到一节课上，这种做法是合理的。从实际结果看，减法环节只得到了差向量的基本画法，对于教材中的“减一个向量等于加上这个向量的相反向量”没有涉及。笔者认为，为了提高学生对数学运算的理性认识，这一结论应该在本课完成。另外，数乘环节时间紧张，只学习了数乘的基本算法和0乘的规定，而把数乘的运算律留给下一节课，从课堂教学的完整性和经验生长的连续性来看，不如舍去，把多余的时间用于加法和减法的探究，或者用于提高加、减运算的熟练程度。基于以上想法，我的优化是这部分内容分为两节课，图2是第一节课的预设路线图。

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图2 “向量的运算法则”的优化路线图

[参 考 文 献]

[1]张铁明.教学信息论[M].南京：江苏教育出版社，1990.

[2]涂荣豹，季素月.数学课程与教学论新编[M].南京：江苏教育出版社，2007.

[3]徐伯华.教师个体的研课模式：以“数学归纳法”一课为例[J].数学教育学报，2010（4）.

（责任编辑：张华伟）endprint

③方法运用适当。该班学生认知能力和自学能力都很强，有的学生熟悉物理背景，有的有实数运算的知识经验，对向量的基本知识也做了充分的复习。在这样的教学准备下，探究目标明确，探究难度处于最近发展区，因此选择发现法是合适的。从实际效果来看，本课教学方法也是适当的。

④重视学生思维和情感的启发。教师重视学生学习的主体性，在课堂的任何环节都通过启发、引导把探索发现的任务交给学生，使学生成为课堂教学的真正主人。如加法环节的启发语：“今天学什么呢？对，加减乘除。你见过向量的加法吗？不看书，你给大家说说看。”“谁要帮他完善一下吗？你觉得他讲的怎么样？”“有了运算就要有运算法则，你联系实数的运算法则，想想看，向量加法应该有哪些法则？”“关于实数的运算法则，推广到向量里面成立不成立？”“上课要动脑筋、要思考，既不要看书，也不要等老师的答案。一上课就翻书，是很坏的习惯。”学生的发现离不开教师的引导，本课中教师简单明了的启发和引导是成功运用发现法的重要保证。

⑤以板书支持思维实验，促进课堂发现。本课使用的教学媒体主要是多媒体投影和黑板，多媒体使用不多，主要用来呈现向量的知识要点、结构图和探究目标，黑板使用较多，力的合成、运算探索、发现的结论等探索过程和内容都是通过黑板展示、交流的。因此，以黑板为主，投影配合，教学媒体支持了新知识的探究活动。

⑥实施效果好，值得借鉴。从上述分析可以看出，教师在应用发现法时，综合考虑了新知识的学科特点、班级学生的特点、教学的过程目标、学生的认知心理等多种因素。教师引导简单明了，学生探究积极主动，在课堂上实现了教学目标，从教学方法上看，这是一节值得学习、研究的公开课。但有两点需要注意：一是减法环节中从具体到抽象的过程太快，学生的感性认识不充分，起点和终点容易出错，这一错误以后还可能发生，应予重视。二是关于0乘向量的结果，是个不难的易错点，需要进一步强化。因此，学生在这两个环节上的探究还应更充分一些。本课上课班级是重点中学的重点班，对大多数教师来说，教学方法、教学理念、教学思路值得学习，但应根据自己的班级特点，在知识容量、时间分配、元认知启发程度等方面做一定的调整。

三、“教学路线图”在局部分析中的应用

局部分析是对影响课堂局部效果的典型现象、技术细节、专门问题的分析和研究，如课题引入、环节过渡、例题选用、课堂总结、课堂语言、师生交互、学生参与、课堂生成、媒体使用、课堂调控等。局部的过程和状态既是课堂设计的实施结果，又是课堂运行的系统生成。一节课总有一些地方处理得好，一些地方处理得不好，研课就是要“择其善者而从之，择其不善而改之”。局部分析要有系统的观念，因为局部是为整体服务的。局部的好与坏，不仅取决于局部要素的过程和状态，还取决于课堂整体的过程要求和状态关系。所以局部分析是在整体把握的基础上对课堂进行的专门的、细致的研究。

下面是一位教师对该课学生出错的减法环节所做的局部分析：

从教学路线图可以看出，本课的预设和生成基本一致，课堂没有出现大的偏差，但是在减法环节出现的错误特别显眼。仔细分析这个环节的课堂对话，发现错误的本质并不是学生不能正确进行向量相减，而是对“被减数”和“减数”的概念运用错误，以至于说不清差向量的起点和终点。而造成这一错误的教学原因，笔者认为是由于师生脱离了具体图形的支持，纯粹从概念上描述一般法则。向量运算的学习是技能学习，需要具体形象或表象的支持，这是学生认知的规律。运算学习的本质是掌握法则、正确运算，而不是纠缠于概念和语言描述。如果结合具体的图形，学生也许不会出错，对向量减法的心理表征也许更好。事实上，这一环节最后还是回到了具体图形，还是在具体图形中完成了减法的意义建构和规则概括。比较其他两个环节，加法和数乘的教学由于很好地运用了具体图形，都很顺利。所以，这一错误提醒我们，教学引导一定要尊重学生的认知心理，学生还处在由具体运算向形式运算发展的阶段，教学直观是学生学习的脚手架，教师要根据教学内容的特点，淡化概念，注重本质，让学生在直观、具体的情境中更加顺利建构新知识。

四、“教学路线图”在课堂优化中的应用

优化课堂设计是研课的重点工作，也是教师从认识提高走向实践提高的重要步骤。经过课堂观察和课堂分析，教师会对教学活动的目标、内容、方法、形式、过程等教学要素及其时序排列产生深刻的见解，进一步会产生优化设计的积极愿望和调整意见。这时，教学路线图可以在以下两个方面提供帮助：

一是作为复现课堂情境的线索，帮助取舍优缺点。教学路线图展示了课堂的整体图景，便于教师复现课堂情境，客观评价各要素的优点和不足，权衡各种关系，找准应该坚持和发扬以及应该改进和调整的地方。

二是作为课堂设计的底本，帮助形成优化方案。教学路线图是设计优化的底稿，教师可以根据自己对课堂的认识，对各要素及其过程和状态进行调整、改造、添加和删除，使教学预设变得更可行、更完善、更适合自己的教学需要。

下面是一位教师根据图1对该课的优化：

本课的优点是很好地运用了探究发现的教学方法，教学准备充分，认知引导合理，学生主体性较强，课堂效率很高，学生不仅发现了知识，还在发现知识的过程中体验了数学探究的方法和乐趣，这样的预设应该坚持和发扬。

本课教学内容的选取和组织值得商榷。该班学生基础好，教师打破了教材的章节安排，将向量的线性运算集中到一节课上，这种做法是合理的。从实际结果看，减法环节只得到了差向量的基本画法，对于教材中的“减一个向量等于加上这个向量的相反向量”没有涉及。笔者认为，为了提高学生对数学运算的理性认识，这一结论应该在本课完成。另外，数乘环节时间紧张，只学习了数乘的基本算法和0乘的规定，而把数乘的运算律留给下一节课，从课堂教学的完整性和经验生长的连续性来看，不如舍去，把多余的时间用于加法和减法的探究，或者用于提高加、减运算的熟练程度。基于以上想法，我的优化是这部分内容分为两节课，图2是第一节课的预设路线图。

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图2 “向量的运算法则”的优化路线图

[参 考 文 献]

[1]张铁明.教学信息论[M].南京：江苏教育出版社，1990.

[2]涂荣豹，季素月.数学课程与教学论新编[M].南京：江苏教育出版社，2007.

[3]徐伯华.教师个体的研课模式：以“数学归纳法”一课为例[J].数学教育学报，2010（4）.

（责任编辑：张华伟）endprint

③方法运用适当。该班学生认知能力和自学能力都很强，有的学生熟悉物理背景，有的有实数运算的知识经验，对向量的基本知识也做了充分的复习。在这样的教学准备下，探究目标明确，探究难度处于最近发展区，因此选择发现法是合适的。从实际效果来看，本课教学方法也是适当的。

④重视学生思维和情感的启发。教师重视学生学习的主体性，在课堂的任何环节都通过启发、引导把探索发现的任务交给学生，使学生成为课堂教学的真正主人。如加法环节的启发语：“今天学什么呢？对，加减乘除。你见过向量的加法吗？不看书，你给大家说说看。”“谁要帮他完善一下吗？你觉得他讲的怎么样？”“有了运算就要有运算法则，你联系实数的运算法则，想想看，向量加法应该有哪些法则？”“关于实数的运算法则，推广到向量里面成立不成立？”“上课要动脑筋、要思考，既不要看书，也不要等老师的答案。一上课就翻书，是很坏的习惯。”学生的发现离不开教师的引导，本课中教师简单明了的启发和引导是成功运用发现法的重要保证。

⑤以板书支持思维实验，促进课堂发现。本课使用的教学媒体主要是多媒体投影和黑板，多媒体使用不多，主要用来呈现向量的知识要点、结构图和探究目标，黑板使用较多，力的合成、运算探索、发现的结论等探索过程和内容都是通过黑板展示、交流的。因此，以黑板为主，投影配合，教学媒体支持了新知识的探究活动。

⑥实施效果好，值得借鉴。从上述分析可以看出，教师在应用发现法时，综合考虑了新知识的学科特点、班级学生的特点、教学的过程目标、学生的认知心理等多种因素。教师引导简单明了，学生探究积极主动，在课堂上实现了教学目标，从教学方法上看，这是一节值得学习、研究的公开课。但有两点需要注意：一是减法环节中从具体到抽象的过程太快，学生的感性认识不充分，起点和终点容易出错，这一错误以后还可能发生，应予重视。二是关于0乘向量的结果，是个不难的易错点，需要进一步强化。因此，学生在这两个环节上的探究还应更充分一些。本课上课班级是重点中学的重点班，对大多数教师来说，教学方法、教学理念、教学思路值得学习，但应根据自己的班级特点，在知识容量、时间分配、元认知启发程度等方面做一定的调整。

三、“教学路线图”在局部分析中的应用

局部分析是对影响课堂局部效果的典型现象、技术细节、专门问题的分析和研究，如课题引入、环节过渡、例题选用、课堂总结、课堂语言、师生交互、学生参与、课堂生成、媒体使用、课堂调控等。局部的过程和状态既是课堂设计的实施结果，又是课堂运行的系统生成。一节课总有一些地方处理得好，一些地方处理得不好，研课就是要“择其善者而从之，择其不善而改之”。局部分析要有系统的观念，因为局部是为整体服务的。局部的好与坏，不仅取决于局部要素的过程和状态，还取决于课堂整体的过程要求和状态关系。所以局部分析是在整体把握的基础上对课堂进行的专门的、细致的研究。

下面是一位教师对该课学生出错的减法环节所做的局部分析：

从教学路线图可以看出，本课的预设和生成基本一致，课堂没有出现大的偏差，但是在减法环节出现的错误特别显眼。仔细分析这个环节的课堂对话，发现错误的本质并不是学生不能正确进行向量相减，而是对“被减数”和“减数”的概念运用错误，以至于说不清差向量的起点和终点。而造成这一错误的教学原因，笔者认为是由于师生脱离了具体图形的支持，纯粹从概念上描述一般法则。向量运算的学习是技能学习，需要具体形象或表象的支持，这是学生认知的规律。运算学习的本质是掌握法则、正确运算，而不是纠缠于概念和语言描述。如果结合具体的图形，学生也许不会出错，对向量减法的心理表征也许更好。事实上，这一环节最后还是回到了具体图形，还是在具体图形中完成了减法的意义建构和规则概括。比较其他两个环节，加法和数乘的教学由于很好地运用了具体图形，都很顺利。所以，这一错误提醒我们，教学引导一定要尊重学生的认知心理，学生还处在由具体运算向形式运算发展的阶段，教学直观是学生学习的脚手架，教师要根据教学内容的特点，淡化概念，注重本质，让学生在直观、具体的情境中更加顺利建构新知识。

四、“教学路线图”在课堂优化中的应用

优化课堂设计是研课的重点工作，也是教师从认识提高走向实践提高的重要步骤。经过课堂观察和课堂分析，教师会对教学活动的目标、内容、方法、形式、过程等教学要素及其时序排列产生深刻的见解，进一步会产生优化设计的积极愿望和调整意见。这时，教学路线图可以在以下两个方面提供帮助：

一是作为复现课堂情境的线索，帮助取舍优缺点。教学路线图展示了课堂的整体图景，便于教师复现课堂情境，客观评价各要素的优点和不足，权衡各种关系，找准应该坚持和发扬以及应该改进和调整的地方。

二是作为课堂设计的底本，帮助形成优化方案。教学路线图是设计优化的底稿，教师可以根据自己对课堂的认识，对各要素及其过程和状态进行调整、改造、添加和删除，使教学预设变得更可行、更完善、更适合自己的教学需要。

下面是一位教师根据图1对该课的优化：

本课的优点是很好地运用了探究发现的教学方法，教学准备充分，认知引导合理，学生主体性较强，课堂效率很高，学生不仅发现了知识，还在发现知识的过程中体验了数学探究的方法和乐趣，这样的预设应该坚持和发扬。

本课教学内容的选取和组织值得商榷。该班学生基础好，教师打破了教材的章节安排，将向量的线性运算集中到一节课上，这种做法是合理的。从实际结果看，减法环节只得到了差向量的基本画法，对于教材中的“减一个向量等于加上这个向量的相反向量”没有涉及。笔者认为，为了提高学生对数学运算的理性认识，这一结论应该在本课完成。另外，数乘环节时间紧张，只学习了数乘的基本算法和0乘的规定，而把数乘的运算律留给下一节课，从课堂教学的完整性和经验生长的连续性来看，不如舍去，把多余的时间用于加法和减法的探究，或者用于提高加、减运算的熟练程度。基于以上想法，我的优化是这部分内容分为两节课，图2是第一节课的预设路线图。

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图2 “向量的运算法则”的优化路线图

[参 考 文 献]

[1]张铁明.教学信息论[M].南京：江苏教育出版社，1990.

[2]涂荣豹，季素月.数学课程与教学论新编[M].南京：江苏教育出版社，2007.

[3]徐伯华.教师个体的研课模式：以“数学归纳法”一课为例[J].数学教育学报，2010（4）.

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