牛顿第二定律的再认识

曹艳

一、传统中应用牛顿第二定律解题的局限性

牛顿第二定律的内容是物体加速度的大小跟作用力成正比，跟物体的质量成反比，加速度的方向与作用力方向相同，写成表达式为F=ma.通常情况下只针对一个物体或两个相对静止的物体整体应用牛顿第二定律，而在解决两个具有相对运动的物体系统受力问题时，由于缺乏一定的理论支撑，

常采用隔离法分别应用牛顿第二定律，在具体解题过程中显得比较麻烦，而且容易出错.

二、牛顿第二定律内容的拓展

通过教学过程中不断摸索、分析，总结.结合牛顿第二定律和整体法，我对牛顿第二定律有了新的认识：在解决具有相对运动的物体系统时，也可以整体用牛顿第二定律，并且应用起来比用隔离法更简单实用，不容易出错，也好理解.我将牛顿第二定律内容拓展：

对一个系统来说，系统所受的合外力等于系统内各物体的质量与其加速度的乘积之和.

表达式为F合=m1a1+m2a2+m3a3+……

（或者为：F合x=m1a1x+m2a2x+m3a3x+…

F合y=m1a1y+m2a2y+m3a3y+…)

三、实例验证

例1如图1所示，斜面体B放在粗糙水平地面上，倾角为θ，小物块A放在斜面体B上，已知A、B的质量分别为m和M.当A以加速度a加速下滑时，B始终静止不动，求此过程中地面对斜面体的支持力N和摩擦力Ff.

法一用隔离法分别对A和B受力分析，再用牛顿第二定律列式求解，解析过程如下.

A受重力GA，B对A的支持力NA，B对A的摩擦力fA ，受力图如图2所示.将重力分解为沿斜面向下的下滑力G1=mg sinθ和使物块压紧斜面的力G2=mgcosθ,则有

mgsinθ－fA=ma①；

NA=mgcosθ②；再对B受力分析如图3所示，B受重力GB，地面对B的支持力N和静摩擦力Ff，还有A对B的压力FN和摩擦力fB .沿水平方向和竖直方向分别建立X、Y坐标轴，将FN和fB均分解到两个坐标轴上，得到

FNX=FNsinθ ③，FNY=FNcosθ④；

fBX=fBcosθ⑤，

fBY=fBsinθ⑥；由牛顿第三定律知FN=NA⑦；fB=fA ⑧；

在X轴上有Ff+fBX=FNX ⑨;

在Y轴上有N=GB+FNY+fBY ⑩由上述10个等式联立化简求解得Ff=macosθ； N=Mg+mg－masinθ，所以最后答案为地面对B的静摩擦力Ff=macosθ；地面对B的支持力N=Mg+mg－masinθ.

由上可见，用隔离法分别对A和B受力分析求解过程相当复杂，将花不少时间和精力，也容易出现受力分析失误或计算错误，得不偿失.

下面对系统应用牛顿第二定律，求解过程如下.

法二将A、B看成一个系统，对这个系统进行受力分析如图4所示，系统受重力G=Mg+mg，地面对系统的支持力N和摩擦力Ff，再将小物块的加速度分解如图5，则ax=acosθ，ay=asinθ；斜面体B静止，加速度为0，则由F合x=m1a1x+m2a2x+m3a3x+……得到Ff=max=macosθ，

由F合y=m1a1y+m2a2y+m3a3y+……得到Mg+mg－N=may即N= Mg+mg－masinθ.

通过两种方法的对比，明显地看出对系统应用牛顿第二定律比用隔离法分别分析简单快捷得多.

上例中是两个物体组成的系统，且斜面体B始终静止，即加速度为零，系统所受到的合外力相当于只用来使A产生加速度；下面看一个由三个物体构成的系统.

例2图6为马戏团里猴子爬杆的装置，现有质量分别为m1和m2的甲、乙两只猴子在沿杆匀变速向上爬，底座始终不动.已知底座连同直杆总质量为M，甲以加速度a1向上加速，乙以a2向上减速.设猴子与杆之间的作用力均为恒力，则底座对水平面的压力为多大？

法一隔离法.先分别对甲、乙两只猴子受力分析，受力图如图7中甲、乙所示，两只猴子均受竖直向下的重力和竖直向上的摩擦力，甲的加速度向上，乙的加速度向下，由牛顿第二定律得：

f1－m1g=m1a1①m2g－f2=m2a2②

对底座连同直杆受力分析如图8所示, 底座连同直杆受重力Mg,地面对它的支持力N,两只猴子对它的摩擦力f1＇和f2＇,由牛顿第三定律知: f1＇=f1③ f2＇=f2 ④.

底座连同直杆处于静止状态,所以受力平衡,得N=Mg+f1＇+f2＇ ⑤.

由①②③④⑤解得N=(M+m1+m2)g+m1a1－m2a2

法二系统法：将底座连同直杆和两只猴子作为一个系统，这个系统受重力G=(M+m1+m2)g，地面对系统的支持力N，受力图如图9所示，

将牛顿第二定律应用于这个系统中则为F合=m1a1+m2a2+m3a3，由于底座连同直杆处于静止状态，加速度为0；a1向上，a2向下，以向上为正方向，上式变为：

N－(M+m1+m2)g=m1a1+（－m2a2）

同样解得N=(M+m1+m2)g+m1a1－m2a2

通过两种方法的对比可以看出，用隔离法需要对三个研究对象分别受力分析，列出三个方程，还要涉及到作用力与反作用力，再用牛顿第三定律列出两个等式，分析计算过程比较烦琐；而对系统直接用牛顿第二定律只需对系统受力分析一次，注意每个物体的加速度，直接列出一个方程即可求解，法二比法一还是方便快捷.

一、传统中应用牛顿第二定律解题的局限性

牛顿第二定律的内容是物体加速度的大小跟作用力成正比，跟物体的质量成反比，加速度的方向与作用力方向相同，写成表达式为F=ma.通常情况下只针对一个物体或两个相对静止的物体整体应用牛顿第二定律，而在解决两个具有相对运动的物体系统受力问题时，由于缺乏一定的理论支撑，

常采用隔离法分别应用牛顿第二定律，在具体解题过程中显得比较麻烦，而且容易出错.

二、牛顿第二定律内容的拓展

通过教学过程中不断摸索、分析，总结.结合牛顿第二定律和整体法，我对牛顿第二定律有了新的认识：在解决具有相对运动的物体系统时，也可以整体用牛顿第二定律，并且应用起来比用隔离法更简单实用，不容易出错，也好理解.我将牛顿第二定律内容拓展：

对一个系统来说，系统所受的合外力等于系统内各物体的质量与其加速度的乘积之和.

表达式为F合=m1a1+m2a2+m3a3+……

（或者为：F合x=m1a1x+m2a2x+m3a3x+…

F合y=m1a1y+m2a2y+m3a3y+…)

三、实例验证

例1如图1所示，斜面体B放在粗糙水平地面上，倾角为θ，小物块A放在斜面体B上，已知A、B的质量分别为m和M.当A以加速度a加速下滑时，B始终静止不动，求此过程中地面对斜面体的支持力N和摩擦力Ff.

法一用隔离法分别对A和B受力分析，再用牛顿第二定律列式求解，解析过程如下.

A受重力GA，B对A的支持力NA，B对A的摩擦力fA ，受力图如图2所示.将重力分解为沿斜面向下的下滑力G1=mg sinθ和使物块压紧斜面的力G2=mgcosθ,则有

mgsinθ－fA=ma①；

NA=mgcosθ②；再对B受力分析如图3所示，B受重力GB，地面对B的支持力N和静摩擦力Ff，还有A对B的压力FN和摩擦力fB .沿水平方向和竖直方向分别建立X、Y坐标轴，将FN和fB均分解到两个坐标轴上，得到

FNX=FNsinθ ③，FNY=FNcosθ④；

fBX=fBcosθ⑤，

fBY=fBsinθ⑥；由牛顿第三定律知FN=NA⑦；fB=fA ⑧；

在X轴上有Ff+fBX=FNX ⑨;

在Y轴上有N=GB+FNY+fBY ⑩由上述10个等式联立化简求解得Ff=macosθ； N=Mg+mg－masinθ，所以最后答案为地面对B的静摩擦力Ff=macosθ；地面对B的支持力N=Mg+mg－masinθ.

由上可见，用隔离法分别对A和B受力分析求解过程相当复杂，将花不少时间和精力，也容易出现受力分析失误或计算错误，得不偿失.

下面对系统应用牛顿第二定律，求解过程如下.

法二将A、B看成一个系统，对这个系统进行受力分析如图4所示，系统受重力G=Mg+mg，地面对系统的支持力N和摩擦力Ff，再将小物块的加速度分解如图5，则ax=acosθ，ay=asinθ；斜面体B静止，加速度为0，则由F合x=m1a1x+m2a2x+m3a3x+……得到Ff=max=macosθ，

由F合y=m1a1y+m2a2y+m3a3y+……得到Mg+mg－N=may即N= Mg+mg－masinθ.

通过两种方法的对比，明显地看出对系统应用牛顿第二定律比用隔离法分别分析简单快捷得多.

上例中是两个物体组成的系统，且斜面体B始终静止，即加速度为零，系统所受到的合外力相当于只用来使A产生加速度；下面看一个由三个物体构成的系统.

例2图6为马戏团里猴子爬杆的装置，现有质量分别为m1和m2的甲、乙两只猴子在沿杆匀变速向上爬，底座始终不动.已知底座连同直杆总质量为M，甲以加速度a1向上加速，乙以a2向上减速.设猴子与杆之间的作用力均为恒力，则底座对水平面的压力为多大？

法一隔离法.先分别对甲、乙两只猴子受力分析，受力图如图7中甲、乙所示，两只猴子均受竖直向下的重力和竖直向上的摩擦力，甲的加速度向上，乙的加速度向下，由牛顿第二定律得：

f1－m1g=m1a1①m2g－f2=m2a2②

对底座连同直杆受力分析如图8所示, 底座连同直杆受重力Mg,地面对它的支持力N,两只猴子对它的摩擦力f1＇和f2＇,由牛顿第三定律知: f1＇=f1③ f2＇=f2 ④.

底座连同直杆处于静止状态,所以受力平衡,得N=Mg+f1＇+f2＇ ⑤.

由①②③④⑤解得N=(M+m1+m2)g+m1a1－m2a2

法二系统法：将底座连同直杆和两只猴子作为一个系统，这个系统受重力G=(M+m1+m2)g，地面对系统的支持力N，受力图如图9所示，

将牛顿第二定律应用于这个系统中则为F合=m1a1+m2a2+m3a3，由于底座连同直杆处于静止状态，加速度为0；a1向上，a2向下，以向上为正方向，上式变为：

N－(M+m1+m2)g=m1a1+（－m2a2）

同样解得N=(M+m1+m2)g+m1a1－m2a2

通过两种方法的对比可以看出，用隔离法需要对三个研究对象分别受力分析，列出三个方程，还要涉及到作用力与反作用力，再用牛顿第三定律列出两个等式，分析计算过程比较烦琐；而对系统直接用牛顿第二定律只需对系统受力分析一次，注意每个物体的加速度，直接列出一个方程即可求解，法二比法一还是方便快捷.

一、传统中应用牛顿第二定律解题的局限性

牛顿第二定律的内容是物体加速度的大小跟作用力成正比，跟物体的质量成反比，加速度的方向与作用力方向相同，写成表达式为F=ma.通常情况下只针对一个物体或两个相对静止的物体整体应用牛顿第二定律，而在解决两个具有相对运动的物体系统受力问题时，由于缺乏一定的理论支撑，

常采用隔离法分别应用牛顿第二定律，在具体解题过程中显得比较麻烦，而且容易出错.

二、牛顿第二定律内容的拓展

通过教学过程中不断摸索、分析，总结.结合牛顿第二定律和整体法，我对牛顿第二定律有了新的认识：在解决具有相对运动的物体系统时，也可以整体用牛顿第二定律，并且应用起来比用隔离法更简单实用，不容易出错，也好理解.我将牛顿第二定律内容拓展：

对一个系统来说，系统所受的合外力等于系统内各物体的质量与其加速度的乘积之和.

表达式为F合=m1a1+m2a2+m3a3+……

（或者为：F合x=m1a1x+m2a2x+m3a3x+…

F合y=m1a1y+m2a2y+m3a3y+…)

三、实例验证

例1如图1所示，斜面体B放在粗糙水平地面上，倾角为θ，小物块A放在斜面体B上，已知A、B的质量分别为m和M.当A以加速度a加速下滑时，B始终静止不动，求此过程中地面对斜面体的支持力N和摩擦力Ff.

法一用隔离法分别对A和B受力分析，再用牛顿第二定律列式求解，解析过程如下.

A受重力GA，B对A的支持力NA，B对A的摩擦力fA ，受力图如图2所示.将重力分解为沿斜面向下的下滑力G1=mg sinθ和使物块压紧斜面的力G2=mgcosθ,则有

mgsinθ－fA=ma①；

NA=mgcosθ②；再对B受力分析如图3所示，B受重力GB，地面对B的支持力N和静摩擦力Ff，还有A对B的压力FN和摩擦力fB .沿水平方向和竖直方向分别建立X、Y坐标轴，将FN和fB均分解到两个坐标轴上，得到

FNX=FNsinθ ③，FNY=FNcosθ④；

fBX=fBcosθ⑤，

fBY=fBsinθ⑥；由牛顿第三定律知FN=NA⑦；fB=fA ⑧；

在X轴上有Ff+fBX=FNX ⑨;

在Y轴上有N=GB+FNY+fBY ⑩由上述10个等式联立化简求解得Ff=macosθ； N=Mg+mg－masinθ，所以最后答案为地面对B的静摩擦力Ff=macosθ；地面对B的支持力N=Mg+mg－masinθ.

由上可见，用隔离法分别对A和B受力分析求解过程相当复杂，将花不少时间和精力，也容易出现受力分析失误或计算错误，得不偿失.

下面对系统应用牛顿第二定律，求解过程如下.

法二将A、B看成一个系统，对这个系统进行受力分析如图4所示，系统受重力G=Mg+mg，地面对系统的支持力N和摩擦力Ff，再将小物块的加速度分解如图5，则ax=acosθ，ay=asinθ；斜面体B静止，加速度为0，则由F合x=m1a1x+m2a2x+m3a3x+……得到Ff=max=macosθ，

由F合y=m1a1y+m2a2y+m3a3y+……得到Mg+mg－N=may即N= Mg+mg－masinθ.

通过两种方法的对比，明显地看出对系统应用牛顿第二定律比用隔离法分别分析简单快捷得多.

上例中是两个物体组成的系统，且斜面体B始终静止，即加速度为零，系统所受到的合外力相当于只用来使A产生加速度；下面看一个由三个物体构成的系统.

例2图6为马戏团里猴子爬杆的装置，现有质量分别为m1和m2的甲、乙两只猴子在沿杆匀变速向上爬，底座始终不动.已知底座连同直杆总质量为M，甲以加速度a1向上加速，乙以a2向上减速.设猴子与杆之间的作用力均为恒力，则底座对水平面的压力为多大？

法一隔离法.先分别对甲、乙两只猴子受力分析，受力图如图7中甲、乙所示，两只猴子均受竖直向下的重力和竖直向上的摩擦力，甲的加速度向上，乙的加速度向下，由牛顿第二定律得：

f1－m1g=m1a1①m2g－f2=m2a2②

对底座连同直杆受力分析如图8所示, 底座连同直杆受重力Mg,地面对它的支持力N,两只猴子对它的摩擦力f1＇和f2＇,由牛顿第三定律知: f1＇=f1③ f2＇=f2 ④.

底座连同直杆处于静止状态,所以受力平衡,得N=Mg+f1＇+f2＇ ⑤.

由①②③④⑤解得N=(M+m1+m2)g+m1a1－m2a2

法二系统法：将底座连同直杆和两只猴子作为一个系统，这个系统受重力G=(M+m1+m2)g，地面对系统的支持力N，受力图如图9所示，

将牛顿第二定律应用于这个系统中则为F合=m1a1+m2a2+m3a3，由于底座连同直杆处于静止状态，加速度为0；a1向上，a2向下，以向上为正方向，上式变为：

N－(M+m1+m2)g=m1a1+（－m2a2）

同样解得N=(M+m1+m2)g+m1a1－m2a2

通过两种方法的对比可以看出，用隔离法需要对三个研究对象分别受力分析，列出三个方程，还要涉及到作用力与反作用力，再用牛顿第三定律列出两个等式，分析计算过程比较烦琐；而对系统直接用牛顿第二定律只需对系统受力分析一次，注意每个物体的加速度，直接列出一个方程即可求解，法二比法一还是方便快捷.