一类高阶自共轭微分算子谱的定量分析*

钱志祥

一类高阶自共轭微分算子谱的定量分析*

钱志祥

（肇庆科技职业技术学院基础教学部，广东肇庆526100）

定量研究了一类高阶自共轭微分算子的谱，得到了这类算子的本质谱充满了正实轴，而在负半轴上只有离散谱.

微分表达式；对称微分算子；自共轭微分算子；离散谱；本质谱；谱分析

1 预备知识

微分算子理论是解决量子力学问题的基本工具，量子力学的迅速发展也极大地推动了微分算子理论的研究，在核物理学、电子学，以及许多其他数学分支中，微分算子理论也起到了重要的作用.自共轭微分算子谱理论是微分算子理论的重要内容，它已经经历了一个多世纪，其谱理论成果十分丰富，尤其在自共轭微分算子谱的定性分析方面取得了突破性的进展［1］，但是在自共轭微分算子谱的定量分析方面，结论却寥寥无几.自共轭微分算子谱的定性、定量研究是微分算子理论的重要组成部分，一个自共轭微分算子的谱不仅与其系数有关，还与它的定义域和自伴边条件有关，因为自共轭微分算子的系数、定义域和边值条件的形式是复杂多样的，所以这就给自共轭算子谱的定量研究带来了很大的难度，本文目的是对2n阶自共轭微分算子在其系数、定义域和边值条件满足特定条件时的谱进行定量分析.

考虑2n阶对称微分表达式：

（I）其系数满足：

（II）其定义域D（T）和边值条件满足：

1）y（2n－1）在［0，∞）上存在且在［0，∞）的每个稠密子集上绝对连续；

2）l（y）∈L2［0，∞）；

定义1.1［2］定义算子TM：TMy＝l（y），D（TM）＝｛y∈L2（a，b），y（k）在（a，b）上绝对连续，0≤k≤n－1，l（y）∈L2（a，b）｝，称算子TM为由微分算式l（y）生成的最大算子.

定义算子T′0：T′0y＝l（y），D（T′0）＝｛y∈D（TM），y在（a，b）内具有紧支柱｝，T′0的闭包记为T0，称算子T0为由微分算式l（y）生成的最小算子.

定义1.2［3］对于定义在Hilbert空间X上的闭稠定线性算子T，若对任意λ∈C，存在常数K＝K（λ）＞0，使得对所有x∈D（T），（A－λI）x≥K x，则称数λ为算子T的正则型点；T的所有正则型点的全体称为算子的正则型域，记为Π（T），即Π（T）＝｛λ∈C｜∃K（λ）＞0，使得A－λI）x≥K x，∀x∈D（T）｝.

定义1.3［3］集合C＼Π（T）称为算子T的谱核，记为σk（T）或kσ，即σk（T）＝C＼Π（T）.

定义1.4［4］T是Hilbert空间H上的自共轭算子，σ（T）中的全体聚点和无穷维的孤立的特征值点称为T的本质谱，记为σe（T）.本质谱在谱集中的补集称为T的离散谱，记为σd（T）＝σ（T）＼σe（T），即σd（T）是全体有限维的孤立的特征值点.

定义1.5［4］令T Hilbert空间H上的闭的对称算子，We（T）＝｛λ∈C｜（Tλ－λI）－1是无界的，或者dim N（T－λI）＝∞｝，称为T的本质谱核.

引理1［5］设函数区间［0，∞）上可积，且＞0，则方程（－1）k（pn－k（x）y（k））（k）＝λy，有这样的2n个线性无关的解y1，y2，…，y2n，当x→＋∞时，它们的渐近性状如下：yk＝eμkξ［1＋o（1）］，其中μk为（－1）nλ的所有不同的2n次方根，其实部是各不相同的，而

引理2［5］设函数′，p1，p2，…，pn在区间［0，∞）上可积，且＞0，则算子T0的亏指数为（n，n）.

引理3［5］一端奇异且亏指数为（n，n）的算子T0的任何自共轭扩张T被线性无关的边界条件

所确定，并且

反之，一切满足条件（3）的线性无关条件（2），确定着算子T0的某个自共轭扩张.

引理4［4］设算子T是Hilbert空间H中闭的对称算子，则算子T是自共轭的充要条件是σ（T）⊂R.

引理5［4］算子T是Hilbert空间H上的自共轭算子，则σr（T）＝φ.

引理6［5］如果对于实数λ，方程l（y）＝λy在L2［0，∞）中的线性无关解的个数小于算子T0的亏指数，则这个值λ属于算子T0的谱的核.因此，如果这个值λ不是算子T0的特征值，则它属于T0的所有自共轭扩展谱的连续部分.如果端点a或端点b中之一是正则的，那么，后者总是成立的.

引理7［5］设算子T是Hilbert空间H中闭的对称算子，如果T是自共轭算子，则We（T）＝σe（T）＝｛λ∈C｜（Tλ－Iλ）－1是无界的，或者dim（T－λI）＝∞｝，即当T是自共轭算子时，它的本质谱核和本质谱是重合的.

引理8［5］算子T0的任何自轭扩张的豫解式Rλ是积分算子，它具如下形式：

其中

m为最小算子T0的亏指数.

2 主要结论

定理若（1）式的系数满足（I），定义域和边值条件满足（II），则由生成的算子T是一个自共轭算子，它的本质谱充满正实轴；而在负半轴R－［0，∞）上只有算子T的离散谱.

证明：根据引理1得，对∀λ∈C，方程

有2n个线性无关的解yk（k＝1，2，3，…，2n）；当x→∞时，它们的渐近性状如下：

其中μk为（－1）nλ的所有不同的2n次方根，其实部各不相同，而＝－λ，k＝1，2，…，n，从而当x→∞时，

由引理2知微分算式（1）生成的最小算子T0的亏指数为（n，n），由引理3知微分算式（1）在边界条件3）下生成的算子T是一个自共轭算子，由引理4和引理5知其谱分为：σ（T）＝σp（T）∪σc（T）⊂R，再由定义1.4知其谱分为：σ（T）＝σd（T）∪σe（T）⊂R，下面分情况讨论上述自共轭算子T的谱分布：

（1）当λ∈［0，∞）时

因Reλ＞0，且argλ＝0，则μk＝seiθk（k＝0，1，…∈，2n－1），其中

当n为偶数时

当n为奇数时

根据这2n个角θk（k＝0，1，…，2n－1）在平面直角坐标系中的分布，按μk的实部进行排序.

Reμ1≤Reμ2≤…≤Reμn－1＜0≤Reμn＋1≤Reμn＋2…≤Reμ2n

设ρi＝Reμi.当1≤i≤n－1时，ρi＝Reμi＜0，yi＝eμiξ［1＋o（1）］∈L2［0，∞），当n≤i≤2n时，ρi＝Reμi≥0，yi＝eμiξ［1＋o（1）］∉L2［0，∞），故当λ∈［0，∞）时，方程（6）在L2［0，∞）中的线性无关解的个数为n－1小于其最小算子T0的亏指数n，由引理6知这时λ属于算子T谱的连续部分.为了证明定理的前半部分，由引理7知，只要证明当λ∈［0，∞）时，算子T的豫解算子无界即可.

由引理2可知其最小算子T0的亏指数为n，因此由引理8得到其任何自轭扩张的算子豫解式Rλ是个积分算子，它具如下形式：

由上面推导过程可知，当λ∈［0，∞）时，方程（6）在L2［0，∞）中的线性无关解的个数只有n－1个，小于最小算子T0的亏指数n，所以y1（x），y2（x），y3（x），…，yn（x）中只有n－1个属于L2［0，∞），有一个yk（x）∉L2［0，∞），所以y1（x），y2（x），y3（x），…，yn（x）的任何线性组合也不属于∞，所以当λ∈［0，∞）时，其豫解算子（Tλ－λI）－1是无界的，由引理7知λ∈［0，∞）时，属于自共轭算子T的本质谱，即算子T的本质谱充满正实轴，这就证得了定理的前半部分.

（2）当λ∈R－［0，∞）时

因为Reλ＜0，且argλ＝π，μk＝seiθk（k＝0，1，…∈，2n－1），其中所以

当n为奇数时

根据这2n个角θk（k＝0，1，…，2n－1）在平面直角坐标系中的分布，对μk的实部进行排序.

Reμ1≤Reμ2≤…≤Reμn＜0≤Reμn＋1≤Reμn＋2…≤Reμ2n

设ρi＝Reμi.当1≤i≤n时，ρi＝Reμi＜0，yi＝eμiξ［1＋o（1）］∈L2［0，∞），当n＋1≤i≤2n时，ρi＝Reμi＞0，yi＝eμiξ［1＋o（1）］∉L2［0，∞），故当λ∈R－［0，∞）时，方程（6）在L2［0，∞）中的线性无关解的个数等于其最小算子T0的亏指数n.下面我们证这时只有算子T的离散谱，即只要证当λ∈R－［0，∞）时，算子T的豫解算子有界即可.

由引理8知算子T的豫解算子Rλ是个积分算子，它是以G（x，ξ，λ）＝k0（x，ξ，λ）为核的积分算子，对区间［0，∞）中的一切x，任意固定的ξ，当x＞ξ时，核G（x，ξ，λ）为y1（x），y2（x），y3（x），…，yn（x）的线性组合，即

由上面推导过程可知，当λ∈R－［0，∞）时，方程（6）在L2［0，∞）中的线性无关解的个数等于其最小算子T0的亏指数n，所以y1（x），y2（x），y3（x），…，yn（x）全部属于L2［0，∞），故它们的线性组合也属于L2［0，∞），故，所以当λ∈R－［0，∞）时，算子T的豫解算子（Tλ－λI）－1有界，所以当λ∈R－［0，∞）时，算子T只有离散谱，这就证得了定理的后半部分.

综合（1）、（2），定理得证.

推论［2］微分表达式：

l（y）＝（－1）n（p（x）y（n）（x））（n）＋q（x）y（x）（10）当p（x），q（x）均为实值函数，且p（x），q（x）∈L2［0，∞）时，那么由上式在L2［0，∞）内生成的任何自伴算子是下有界的，它的本质谱充满正实轴，在负半轴上只有离散谱.

本文只是在特殊情形下对高阶自共轭微分算子的谱进行了定量分析，要想对任意自共轭微分算子谱进行定量分析，是一件很不容易的事情；但是随着计算机的迅速发展，我们可以借助于计算机模拟，这方面的研究将会取得很大的进展.

［1］孙炯，王忠.常微分算子谱的定性分析［J］.数学进展，1995，（24）：406－422.

［2］王忠.具有可积系数J－对称微分算子的亏指数［J］.内蒙古大学学报（自然科学版），1998，（5）：607.

［3］王忠，付守忠.线性算子谱理论及其应用［M］.北京：科学出版社，2013.

［4］孙炯，王忠.线性算子的谱分析［M］.北京：科学出版社，2005.

［5］Naimark M A.线性微分算子［M］.北京：科学出版社，1964.

Quantitative Analysis of the Spectrum of a Class of High Order Self Conjugate Differential Operators

QIAN Zhixiang
（The Department of Basic Education，Zhaoqing Science and Technology Polytechnic，Zhaoqing Guangdong 526100，China）

The paper quantitatively analyzes the spectrum of a class of high order self conjugate differential operators.It is indicated that their essential spectrum covers the entire positive semi－axisλ≥0 and there is only discrete spectrum in the negative semi－axis. Key W ords：differential expression；symmetric differential operator；self conjugate differential operator；discrete spectrum；essential spectrum；spectral analysis

O175.3

A

1008－4681（2014）02－0011－04

（责任编校：晴川）

2014－01－06

广东省高层次人才培养项目（批准号：9251064101000015）.

钱志祥（1974－），男，安徽巢湖人，肇庆科技职业技术学院基础教学部讲师，硕士.研究方向：微分算子理论.