关于Diophantine方程x3－53＝2Dy2的整数解*

廖 军，杜先存

关于Diophantine方程x3－53＝2Dy2的整数解*

廖 军1，杜先存2

（1.文山学院数学学院，云南文山663000；2.红河学院教师教育学院，云南蒙自661199）

设D为奇素数，运用平方剩余、同余式、乐让德符号的性质等初等方法得出了Diophantine方程x3－53＝2Dy2无x≢0（mod 5）的正整数解的两个充分条件.

Diophantine方程；奇素数；同余；平方剩余；正整数解；乐让德符号

Diophantine方程x3－a3＝Dy2（D是无平方因子的正整数）是一类重要的方程，其整数解越来越受到人们的关注.杜先存等［1－4］、张淑静等［5］对a＝1的情况进行了系列研究，得到了一系列结果；但当a＝5时的研究结果还不多见，目前只有很少人进行过研究，其结论主要为：1996年，李复中［6］用简单同余法给出了Diophantine方程x3－125＝Dy2的全部非平凡正整数解，其中D＞0，且不能被3或6k＋1型的素数整除；1998年，李复中［7］用简单同余法给出了一类Diophantine方程x3－（5k）3＝Dy2的全部非平凡整数解，其中D＞0，无平方因子且不能被3或6k＋1型的素数整除；2006年，刘晓敏［8］用二次剩余法给出了Diophantine方程x3－125＝Dy2，其中D＞0，D含6k＋1型素因子，方程x3－125＝Dy2无正整数解的充分性条件.本文主要给出了Diophantine方程x3－53＝2Dy2无x≢0（mod 5）的正整数解的两个充分性条件.

定理1 若D≡31，79（mod 120）时，Diophantine方程

无x≢0（mod 5）的正整数解.

证明：设（x，y）是方程x3－53＝2Dy2的一组正整数解，则（x－5）（x2＋5x＋25）＝2Dy2，又x≢0（mod 5），则gcd（x－5，x2＋5x＋25）＝1或3，根据奇偶性质，可知x2＋5x＋25必为奇数，即x2＋5x＋25≢0（mod 2），从而方程（1）可以分解为以下4种情形：

情形Ⅰ：x－5＝2Da2，x2＋5x＋25＝b2，y＝ab，gcd（a，b）＝1

情形Ⅱ：x－5＝2a2，x2＋5x＋25＝Db2，y＝ab，gcd（a，b）＝1

情形Ⅲ：x－5＝6Da2，x2＋5x＋25＝3b2，y＝3ab，gcd（a，b）＝1

情形Ⅳ：x－5＝6a2，x2＋5x＋25＝3Db2，y＝3ab，gcd（a，b）＝1

情形Ⅰ 由第二式配方得（2x＋5）2＋75＝4b2，解得x＝－21，－8，－5，03，16，代入由第一式，得2Da2＝x－5＝－26，－13，－10，－5，－2，11，矛盾，故情形Ⅰ不成立.

情形Ⅱ 由a2≡0，1，4（mod 8），则2a2≡0，2（mod 8），x＝2a2＋5≡5，7（mod 8），则x2＋5x＋25≡3，5（mod 8），根据奇偶性质，可知由x2＋5x＋25必为奇数，则b2必为奇数，即b2≡1（mod 8），由D≡31，79（mod 120），则Db2≡7（mod 8），所以有3，5≡x2＋5x＋25＝Db2≡7（mod 8），矛盾，故情形Ⅱ不成立.

情形Ⅲ 由第二式配方得（2x＋5）2＋75＝12b2，将第一式代入，得（12Da2＋15）2＋75＝12b2，两边同时取模5，则有（12Da2＋15）2＋75≡12b2（mod 5），由矛盾，故情形Ⅲ不成立.

情形Ⅳ 由第二式配方得（2x＋5）2＋75＝12Db2，把第一式代入，得（12a2＋15）2＋75＝12Db2，两边同时取模5，则有（12a2＋15）2＋75≡12Db2（mod 5），由D≡31，79（mod 120），现在进行分类讨论：

当D≡31（mod 120），即D＝120k＋31，代入

综上所述，Diophantine方程（1）在题设条件下无x≢0（mod 5）的正整数解.

定理2 若D≡13，37（mod 120）时，Diophantine方程无x≢0（mod 5）的正整数解.

证明：设（x，y）是方程x3－53＝2Dy2的一组正整数解，则（x－5）（x2＋5x＋25）＝2Dy2，又x≢0（mod 5），则gcd（x－5，x2＋5x＋25）＝1或3，根据奇偶性质，可知x2＋5x＋25必为奇数，即x2＋5x＋25≢0（mod 2），从而方程（1）可以分解为以下4种情形：

情形Ⅰ：x－5＝2Da2，x2＋5x＋25＝b2，y＝ab，gcd（a，b）＝1

情形Ⅱ：x－5＝2a2，x2＋5x＋25＝Db2，y＝ab，gcd（a，b）＝1

情形Ⅲ：x－5＝6Da2，x2＋5x＋25＝3b2，y＝3ab，gcd（a，b）＝1

情形Ⅳ：x－5＝6a2，x2＋5x＋25＝3Db2，y＝3ab，gcd（a，b）＝1

情形Ⅰ 由第二式配方得（2x＋5）2＋75＝4b2，解得x＝－21，－8，－5，03，16，代入由第一式，得2Da2＝x－5＝－26，－13，－10，－5，－2，11，矛盾，故情形Ⅰ不成立.

情形Ⅱ 由第二式配方得（2x＋5）2＋75＝4D1b2，将第一式代入有（4a2＋15）2＋75＝4Db2，两边同时取5，则有（4a2＋15）2＋75≡4Db2（mod 5），由，D≡13，37（mod 120），现在进行分类讨论：

当D≡13（mod 120），即D＝120k＋13，代入

当D≡37（mod 120），即D＝120k＋37，代入，矛盾，故情形Ⅱ不成立.

情形Ⅲ 由第二式配方有（2x＋5）2＋75＝12b2，将第一式代入有（12Da2＋15）2＋75＝12b2，两边同时取模5，则有（12Da2＋15）2＋75≡12b2（mod 5），由故情形Ⅲ不成立.

情形Ⅳ 由a2≡0，1，4（mod 8），则6a2≡0，6（mod 8），由x＝6a2＋5≡3，5（mod 8），则x2＋5x＋25≡1，3（mod 8），根据奇偶性质，可知x2＋5x＋25必为奇数，则b2必为奇数，b2≡1（mod 8），由D≡13，37（mod 120），则3Db2≡7（mod 8），所以1，3≡x2＋5x＋25＝3Db2≡7（mod 8），矛盾，故情形Ⅳ不成立.

综上所述，Diophantine方程（1）在题设条件下无x≢0（mod 5）的正整数解.

［1］杜先存，管训贵，杨慧章.关于不定方程x3＋1＝91y2［J］.内蒙古师范大学学报（自然科学汉文版），2013，（4）：397－399.

［2］杜先存，万飞，杨慧章.关于丢番图方程x3±1＝1267y2的整数解［J］.数学的实践与认识，2013，（15）：288－292.

［3］杜先存，吴丛博，赵金娥.关于Diophantine方程x3±1＝3Dy2［J］.沈阳大学学报（自然科学版），2013，（1）：84－86.

［4］杜先存，赵东晋，赵金娥.关于不定方程x3±1＝2py2［J］.曲阜师范大学学报（自然科学版），2013，（1）：42－43.

［5］张淑静，杨雅琳，贾晓明.关于Diophantine方程x3＋1＝3pD1y2［J］.山西师范大学学报（自然科学版），2009，（4）：31－33.

［6］李复中.关于丢番图方程x3±125＝Dy2［J］.东北师范大学学报（自然科学版），1996，（3）：15－16.

［7］李复中.关于丢番图方程x3±（5k）3＝Dy2［J］.东北师范大学学报（自然科学版），1998，（2）：16－19.

［8］刘晓敏.关于丢番图方程x3±p3＝Dy2解的讨论［D］.哈尔滨：哈尔滨理工大学硕士学位论文，2006.

On the Solution of the Diophantine Equation x3－53＝2Dy2

LIAO Jun1，DU Xiancun2
（1.College of Mathematics，Wenshan University，Wenshan Yunnan 663000，China；2.Teachers’Educational College，Honghe University，Mengzi Yunnan 661199，China）

Let D be an odd prime.By using quadratic residue，congruent formula and legendre symbol，two sufficient conditions are obtained when the Diophantine equation x3－53＝2Dy2has no integer solutionswith x≢0（mod 5）.

Diophantine equation；odd prime；congruence；quadratic residue；positive integer solution；legendre symbol

O156.1

A

1008－4681（2014）02－0007－02

（责任编校：晴川）

2013－09－27

文山学院重点学科数学建设项目（批准号：12WSXK01）.

廖军（1977－），男，云南文山人，文山学院数学学院讲师，硕士.研究方向：初等数学、数理统计.