不完全信息下两个内部交易者的交易行为分析

巩馥洲, 尚宏媛

(1.中国科学院数学与系统科学研究院,北京 100190;2.北京科技大学数理学院,北京 100083)

不完全信息下两个内部交易者的交易行为分析

巩馥洲1, 尚宏媛2

(1.中国科学院数学与系统科学研究院,北京 100190;2.北京科技大学数理学院,北京 100083)

当市场上存在两个拥有不完全信息的内部交易者时,研究了其对待风险的态度分别为风险喜好、风险中性与风险厌恶情况下模型在混合策略空间中离散时间的均衡解和高频交易下均衡的渐近行为特征,并分析了相关模型的经济金融学意义.

不完全信息;内部交易;混合策略均衡;高频交易;渐近分析

1 前言

许多关于内部交易的研究都是在文献[1]基础上对内部交易者交易策略的研究,分析内部交易者如何选择交易策略以使其利用私有信息所获得的利润达到最大.文献[1]从一次交易的单期模型入手,讨论了多期交易的序贯模型和连续时间模型.文献[2]发现文献[1]模型在设定中存在矛盾.他们基于文献[1]模型重新考虑当期内部交易者策略对定价规则的影响,给出了风险喜好型,风险中性型,风险厌恶型三个替代模型的多期离散均衡,并用渐近分析方法对三个模型的离散结果进行了渐近分析,得到了在高频交易情况下均衡的渐近行为特征.基于对文献[3]的改进,文献[4]和文献[5]研究了混合策略空间中两个内部交易者的多期离散均衡,用渐近分析方法对高频交易情况下的均衡特征进行了分析,由此获得了相关的经济金融意义.文献[6]或文献[7]在纯策略空间中研究了一个内部交易者知道风险资产部分信息的交易行为.本文基于文献[6]或文献[7]的模型,研究了两个拥有不完全信息的内部交易者在混合策略空间中的多期离散均衡及其高频交易下的行为特征,并分析其经济金融意义.

2 预备知识

假设市场上存在一种可交易资产,其清算价值为ν,且正态随机变量ν∼N(p0,).考虑时间段[0,1]上的交易,设交易起始时刻为t=0,交易结束时刻为t=1,市场中总共进行了N次交易,第n次交易发生时刻记为tn.假设0=t0

(1)不完全信息内部交易者:此类内部交易者没有获得交易风险资产真实价值ν的完全信息,而是仅知道ν+ε的值,且ν与ε独立,其中正态随机变量ε∼N(0,).设xin为第i个内部交易者在第n期的交易量,pn为第n期交易时资产的价格,则在第n−1期交易之后与第n期交易之前,第i个该类交易者拥有的信息为:

即xi1,···,xi,n−1;p1,···,pn−1,ν+ε生成的σ-代数.第i个该类交易者根据ν+ε及p1,···,pn−1对未来预期收益总和按其对待风险的态度进行最优化,即选择xin,···,xiN,按第i个交易者对待风险的态度,使的对应物最大,其中第k期收益为πik(xik,pk)=(ν−pk)xik.

(2)噪声交易者:该类交易者只是随机地进行交易,不进行任何最优化决策.设µn为噪声交易者第n期的交易量,它们独立同分布,且都为正态随机变量,即µn∼N(0,∆tN).

(3)做市商:做市商每次都能观察到总的订单流,第n期观察到的交易量为:

所以,在第n−1期交易之后与第n期交易之前,做市商的信息集为σ(y1,···,yn−1;p1,···,pn−1),即y1,···,yn−1;p1,···,pn−1生成的σ-代数.做市商在第n期利用前n期总交易量对标的资产真实价格进行最优预测,使用定价权利保持市场的有效性,pn=E(ν|y1,···,yn),即价格序列关于总交易量序列生成的信息流为鞅.

另外,对拥有不完全信息的内部交易者,令

其中,

文献[3]或文献[4]中已经说明当内部交易者多于一个时,纯策略均衡不存在,因此要在混合策略空间中求解其混合策略均衡.记原概率空间为(Ω,F,P),用来刻画市场的随机性,则风险资产的清算价值ν(ω),噪声交易者第n期交易量µn(ω)和不完全信息的内部交易者知道风险资产的部分信息(ν+ε)(ω)都是该空间上的随机变量,用(···)表示该空间中的数学期望,条件期望与方差等类似.假设存在另一个离散概率空间,用来刻画内部交易者交易的随机性,特别地,其交易策略系数 βin是其上的一个随机变量,记为.假设在每一期,内部交易者选择参加交易或者不参加交易的概率相等,都为1/2,并且每一期各个内部交易者的交易策略系数是相互独立的.用(···)表示此空间中的数学期望,其余类似.因此,内部交易者i在第n期的交易量,第n期的收益,剩余信息量

第n期总交易量

在本文模型中,有如下均衡定义:

(1)利润最大化条件:根据内部交易者对待风险的态度选择如下策略最大化其相关利润,

(2)市场有效性条件:做市商按如下方式确定第n期的价格,

其中,内部交易者i在第n期的交易策略系数βin的概率分布为:

而i=1,2,an,bn为实数,且an0,bn0,n=1,2,···,N,而这些交易策略系数是独立的.

在混合策略空间上,对两个拥有不完全信息的内部交易者有如下引理:

引理 2.1设

对所有的n>0有以下等式成立:

注 2.1该引理的证明与文献[6]或文献[7]中相关引理的证明方法类似.

利用与文献[6]或文献[7]中类似的方法可以证明下述命题.

命题 2.1在市场有效性条件下,若拥有不完全信息的两个内部交易者采取的策略形式为(2.1)式,那么,内部交易者i的平均预期未来总收益为:

与文献[2]类似,根据内部交易者对待风险的态度不同考虑如下三个模型.在第n期,在给定其他内部交易者最优策略的条件下:

模型 1(风险喜好型内部交易者模型) 内部交易者i首先最大化风险收益,即maxβinci,n−1,若解不唯一,则在这些解中最大化保底收益,即maxβin∈argmax ci,n−1di,n−1;

模型 2(风险中性型内部交易者模型) 内部交易者i最大化事前预期收益,即

模型 3(风险厌恶型内部交易者模型) 内部交易者i首先最大化保底收益,即maxβindi,n−1,若解不唯一,则在这些解中最大化风险收益,即maxβin∈argmax di,n−1ci,n−1.

在考虑多期交易模型前,先给出单期的情形,即N=1的情况.与文献[4]类似,在单期情形,模型1,模型2,模型3的均衡是一样的且有如下定理:

定理 2.1两个拥有不完全信息的内部交易者的单期模型存在唯一的一个混合策略均衡,且在均衡状态下:

其中i=1,2,a=b>0且a2是方程16x3−9x2−9x−2=0的唯一正根.

3 三个模型混合策略均衡存在唯一性的证明

定理 3.1在有两个拥有不完全信息的风险喜好内部交易者的N期模型1中存在唯一的一个混合策略均衡,且在均衡状态下有,

数列{an},{cn},{dn}由下列等式唯一递推确定:

其中n=1,2,···,N,cN=dN=0.

证明

利用逆向归纳法,由命题2.1和定理2.1可知,当n=N时,(3.1)式,(3.2)式,(3.3)式成立.

一般地,假设在第n+1期(n≤N−1),有

且在第n+1期(3.1)式,(3.2)式,(3.3)式成立,那么在第n期有,

从 di,n−1的表达式可以看出,d1,n−1与 d2,n−1相等,即d1,n−1=d2,n−1=dn−1.

在第n期,对于拥有不完全信息的内部交易者1有,

根据一阶条件有,

同理,在第n期,对于拥有不完全信息的内部交易者2有,

根据一阶条件有,

记最优策略中的an,bn为,则由博弈论的相关知识可知,为 Nash均衡,且满足以下条件:

(i)对任意的an,有

(ii)对任意的bn,有

显然,对任意的an,bn,有

由以上三个式子可得,

(iii)对任意的an,有

(iv)对任意的bn,有

若 c1,n−1(a∗n,b∗n)c1,n−1(b∗n,a∗n),不妨设

综上可得,

因为对每个内部交易者来说,在第n期都会选择最优策略以获取最大收益,故

即

可得an=bn或anbn=2.

假设anbn=2且anbn成立,下面证矛盾.

由anbn=2,an0,知bn=,联立两个一阶条件式并消去cn,整理化简可得,

可以看出,得到的方程与完全信息下存在两个风险喜好的内部交易者时得到的方程一样,所以利用与文献[4]模型1中类似的方法可以证得an=bn.因此,

其中n≤N−1,即(3.1)式,(3.2)式,(3.3)式成立.

综上可知,对任意的n=1,2,···,N,(3.1)式,(3.2)式和(3.3)式都成立.

下面证明an的存在性.令

则fn(0)=>0,

由(3.1)式得,

因此fn(0)>0而fn(aN)<0,由fn(x)的连续性知,存在an=∈(0,aN)使(3.3)式成立.特别地,由于

可见函数fN(x)关于y轴对称,且在区间(0,aN)上fN(x)>0,在(aN,∞)上fN(x)<0.所以,可以假设在第n+1期(n≤N−1)有cn>cn+1≥0,且在区间(0,an+1)上fn+1(x)>0,在(an+1,∞)上fn+1(x)<0.由于cn>cn+1,明显

由此知,

且在区间(an+1,∞)上fn(x)fN(x)(∀x<0)知<−aN,即

下面证明an的唯一性.由(3.1)式知,cn唯一地由cn+1与an+1确定,它仅在最优策略中的an处满足(3.3)式,不能被认为是an的函数.所以

由(3.3)式可知,

定理 3.2在有两个拥有不完全信息的风险中性内部交易者的N期模型2中存在唯一的一个混合策略均衡,且在均衡状态下有,

数列{an},{cn},{dn}由下列等式唯一递推确定:

其中n=1,2,···,N,cN=dN=0.

注 3.1类似于定理3.1的证明方法可以证明上述定理3.2,在此省略.

定理 3.3在有两个拥有不完全信息的风险厌恶内部交易者的N期模型3中存在唯一的一个混合策略均衡,且在均衡状态下有,

数列{an},{cn},{dn}由下列等式唯一递推确定:

其中n=1,2,···,N,cN=dN=0.

注 3.2类似于文献[4]模型3中定理的证明方法可以证明该定理,在此省略.

4 三个模型混合策略均衡高频交易的渐近分析

本节研究当交易时间间隔∆tN趋于零时,上述离散均衡中各参数的极限行为与渐近行为.对于t∈[0,1),设[Nt]为Nt的整数部分,求解a[Nt]等参数趋于极限的速度,并对这些参数进行渐近分析.

注意到,由定理3.1中(3.1)式与(3.3)式得到的关于序列an的方程与完全信息下存在两个风险喜好的内部交易者时得到的方程一样.因此得到了与文献[5]模型1中同样的命题,以该命题为基础,有如下定理:

定理 4.1当 N → ∞,即 ∆tN→ 0时,模型 1的 N 期离散均衡结果都是收敛的,对 t∈[0,1),

进一步,有如下结果:

(1)交易策略参数满足:

满足随时间t单调递增;

(2)与历史信息正交的私有信息量满足:

满足随时间t单调递减趋于零;

(3)拥有不完全信息的内部交易者未释放的信息量满足:

满足随时间t单调递减,且交易结束时,

(4)市场流动性参数满足:

满足随时间t单调递增.

证明此定理的证明分为三部分.第一部分证明当N→∞时,a[Nt]的极限为0以及c[Nt], d[Nt]均趋于无穷大;第二部分求解 a[Nt],c[Nt],d[Nt]趋于各自极限的速度;第三部分利用前两部分的结果,讨论交易策略参数,与历史信息正交的私有信息量参数,内部交易者未释放的信息量参数和市场流动性参数的渐近性质.

第一部分利用与文献[5]模型1中类似的方法可以证得(4.1)式,(4.2)式,(4.3)式成立.

第二部分求解a[Nt],c[Nt],d[Nt]趋于各自极限的速度,关键在于求解a[Nt]→0的速度.由于得到了与文献[5]模型1中关于序列an一样的递推关系式,所以,不完全信息下a[Nt]→0的速度与完全信息下a[Nt]→0的速度是一样的,故

可见(4.4)式成立.

依据(3.1)式关于an项的2阶泰勒展开,并舍去高阶无穷小项,可得

设

其中n=[Nt],[Nt]为Nt的整数部分,∆t=∆tN,表示ct关于t的导数,以下类似.

于是,(4.10)式可以化为:

令等式两边同时除以∆t1/2,可得微分方程

于是,由c1=0可得

综上可得,

可见(4.5)式成立.

同理,由(3.2)式可得

设

其中n=[Nt],[Nt]为Nt的整数部分,∆t=∆tN.

于是,(4.11)式可以化为:

可见,

由d1=0,可解得

综上可得,

可见(4.6)式成立.

第三部分利用前两部分的结果,讨论其他参数的渐近性质.

(1)交易策略参数的渐近行为分析:

由本文模型中βn的分布以及an=bn,可得

满足随时间t单调递增.

(2)与历史信息正交的私有信息量参数的渐近行为分析:

由引理2.1知,

且βin与Hn−1相互独立.因此,

将(4.12)式对an项进行2阶泰勒展开,并舍去高阶无穷小项,可得

从而E(H[Nt])的极限E(Ht)满足:

初始条件满足:

求解上述微分方程,可以得到解的表达式

满足随时间t单调递减趋于零.

(3)拥有不完全信息的内部交易者未释放的信息量参数的渐近行为分析:

由引理2.1可知,

将(4.12)式代入上式得

将上式对an项2阶泰勒展开,并舍去高阶无穷小项得

从而E(Σ[Nt])的极限E(Σt)满足:

初始条件满足:

求解上述微分方程,可得

满足随时间t单调递减,且交易结束时,

(4)市场流动性参数的渐近行为分析:

由引理2.1知,

且βin与Hn−1相互独立,所以

将(4.12)式代入上式,可得

对an项进行2阶泰勒展开,并舍去高阶无穷小项,可得

满足随时间t单调递增.

由定理4.1可获得如下模型1的经济金融意义:

(1)当市场中存在两个风险喜好的内部交易者时,风险喜好内部交易者的交易强度随着时间t由低到高变化,在交易结束时达到最大值;这与文献[6]或文献[7]中模型1当市场中存在一个拥有不完全信息的风险喜好内部交易者时结果一致,且与文献[5]模型1中的完全信息下存在两个风险喜好内部交易者时的交易策略参数相等.这说明当市场中存在两个风险喜好的内部交易者时,完全信息下内部交易者的交易强度与不完全信息下内部交易者的交易强度一致.

(2)一方面,当信息的不完全程度σε固定时,关于资产ν的真实价值信息不断释放,且在交易的前半段具有较小的释放速度,后半段具有更大的释放速度.这说明风险喜好的内部交易者喜欢保留信息优势以获得更多的未来收益.另一方面,未释放到公开市场的信息量是关于信息不完全程度σε的增函数,即σε越大(此时内部交易者的信息越不完全),资产ν的真实价值未释放的信息量越多.这与文献[6]或文献[7]中模型1的结果一致.另外,与文献[5]模型1的情形相比较知,当两个内部交易者信息完全时剩余信息量满足:

由(4.8)式可以得到,

由此可见,在交易过程中不完全信息的内部交易者的私有信息剩余量比完全信息的内部交易者的私有信息剩余量多,并且σε越大,私有信息的剩余量相差就越大.

(3)一方面,当σε固定时,市场流动性参数满足随着时间t单调递增,刚开始时保持较低,后来较大.这是因为前期私有信息的使用速度较慢,后期私有信息的使用速度较快.这说明风险喜好的内部交易者喜欢把私有信息的释放集中于后期,即后期的交易蕴含更多的私有信息.另一方面,市场流动性参数是关于σε的减函数,即σε越大,市场流动性参数越小.这与文献[6]或文献[7]中模型1的结果一致.另外,与文献[5]模型1的情形相比较可知,当两个内部交易者信息完全时市场流动性参数满足:

由(4.9)式可以得到,

由此可见,信息完全的内部交易者的市场流动性参数始终大于信息不完全的内部交易者的市场流动性参数,并且σε越大,市场流动性参数相差就越大.

由定理3.2中(3.4)式,(3.5)式,(3.6)式可以得到与文献[5]模型2中同样的命题,以该命题为基础,类似于定理4.1的证明方法,有如下定理:

定理 4.2当 N → ∞,即 ∆tN→ 0时,模型 2的 N 期离散均衡结果都是收敛的,对 t∈[0,1),

进一步,有如下结果:

(1)交易策略参数满足:

满足随时间t单调递增;

(2)与历史信息正交的私有信息量满足:

满足随时间t单调递减,且交易结束时E(H1)=H0e−2>0;

(3)拥有不完全信息的内部交易者未释放的信息量满足:

满足随时间t单调递减,且交易结束时,

(4)市场流动性参数满足:

根据定理4.2可类似获得模型2的经济金融意义,在此省略.

同样,由定理3.3中式(3.7),式(3.8),式(3.9)可以得到与文献[5]模型3中同样的命题,以该命题为基础,类似于定理4.1的证明方法,有如下定理:

定理 4.3当 N → ∞,即 ∆tN→ 0时,模型 3的 N 期离散均衡结果都是收敛的,对 t∈[0,1),

进一步,有如下结果:

(1)交易策略参数满足:

满足随时间t单调递增;

(2)与历史信息正交的私有信息量满足:

满足随时间t单调递减趋于零;

(3)拥有不完全信息的内部交易者未释放的信息量满足:

满足随时间t单调递减,且交易结束时,

(4)市场流动性参数满足:

满足随时间t单调递增.

根据定理4.3也可类似获得模型3的经济金融意义,在此省略.

[1]Kyle A S.Continuous auctions and insider trading[J].Econometrica,1985,53(6):1315-1335.

[2]Gong F,Zhou D.Insider Trading in the market with Rational Expected Price[EB/OL].arXiv:2010,1012. 2160v1[q-f i n.TR].

[3]Gong F,Liu H.The Mixed Equilibrium of Insider Trading in the Market with Rational Expected Price[C]// Tusheng Zhang,Xinyu Zhou.Stochastic analysis and Applications to Finance.Singapore:World Scientif i c, 2012.

[4]张首元.两个内部交易者的内部交易问题研究[D].北京:北京科技大学,2012.

[5]刘举款.高频交易情况下两个内部交易者的混合策略均衡的渐近分析[D].长沙:长沙理工大学,2013.

[6]纪晓燕,巩馥洲.不完全信息下风险喜好的内部交易者模型的均衡解及渐近分析 [J].应用数学学报, 2014,37(2):1-9.

[7]纪晓燕.不完全信息下的内部交易[D].长沙:长沙理工大学,2012.

The analysis of trading behavior with two insiders when the information is incomplete

Gong Fuzhou1,Shang Hongyuan2
(1.Academy of Mathematics and System Science,Chinese Academy of Sciences,Beijing 100190,China; 2.School of Mathematics and Physics,University of Science and Technology Beijing,Beijing 100083,China)

According to the dif f erence of insiders′risk attitude,three dif f erent models-risk-seeking insiders′model,risk-neutral insiders′model and risk-averse insiders′model are given in the f i nancial market where there exists two insiders who own the same incomplete information.The discrete time equilibrium and asymptotic behavior of high frequency trading in the mixed strategy space are proved for the three models respectively. Furthermore,the economic characteristics for the three models are also analysed.

incomplete information,insider trading,mixed strategy equilibrium,high frequency trading, asymptotic analysis

O211.6;O211.9

A

1008-5513(2014)02-0111-18

10.3969/j.issn.1008-5513.2014.02.001

2014-04-03.

国家自然科学基金(17021101).

巩馥洲(1965-),博士,研究员,研究方向：随机分析.

2010 MSC:60G05