关于超空间非自治动力系统敏感依赖性的一些研究

杨承宇,王延庚,历智明

(西北大学数学系,陕西 西安 710127)

关于超空间非自治动力系统敏感依赖性的一些研究

杨承宇,王延庚,历智明

(西北大学数学系,陕西 西安 710127)

旨在讨论非自治动力系统和其对应超空间非自治动力系统上的敏感依赖性.研究了非自治动力系统敏感依赖性和其对应超空间非自治动力系统敏感依赖性之间的蕴含关系.得到了一个使得(超空间)非自治动力系统敏感依赖性在其任意次迭代系统上得以保持的充分条件.

非自治动力系统;超空间系统;初值敏感依赖性;集态初值敏感依赖性

1 引言

探讨自治动力系统与其对应超空间动力系统之间关系,一直是动力系统的一个研究热点.文献 [1]揭示了自治动力系统拓扑弱混合和超空间动力系统拓扑传递是相互蕴含的;文献[2]阐述了自治动力系统和其对应超空间动力系统拓扑熵之间的关系,文献[3]讨论了自治动力系统Devaney混沌和其对应超空间动力系统混沌之间的蕴含关系,特别的,文献[4]又指出,自治动力系统的集态初值敏感和其对应超空间动力系统初值敏感是等价的.

但是,对于更一般的非自治动力系统,它与其对应的超空间非自治动力系统又会有哪些联系呢？本文将从初值敏感依赖性这一方面着手,讨论非自治动力系统初值敏感依赖性和其对应超空间非自治动力系统初值敏感依赖性之间的蕴含关系,并同时讨论了其在各自任意次迭代子系统上得以保持的充分条件.

2 预备知识

定义 2.1[5]设 (X,d)是一个度量空间,fi:X → X,i∈,为连续自映射.记序列=f1,∞.对于任意的x∈X,点x的轨迹由序列x,f1(x),(x),(x),···,(x)···表示,记作tra(x),其中,

并且对任意的fi∈f1,∞,当n=0时,=id.此时称f1,∞为X上的一个非自治动力系统,记为(X,f1,∞),记tra(x)构成的集合为orb(x),称为(X,f1,∞)的轨道.

定义 2.2[6]设(X,f1,∞)是一个非自治动力系统,若存在δ>0,使得对于任意的x∈X和任意的ε>0,存在y∈X和正整数n,满足d(x,y)<ε且d((x),(y))>δ.则称(X,f1,∞)具有初值敏感依赖性.将满足条件的δ称作系统的初值敏感依赖常数.

定义 2.3设(X,f1,∞)是一个非自治动力系统,若存在δ>0,使得对于X中任意有限个点x1,x2,x3,···,xn和任意的ε>0,存在X中的点y1,y2,y3,···,yn,和正整数k满足下面两个条件:

(1)d(xi,yi)<ε,i=1,2,3,···,n;

(2)存在1≤i0≤n,使得

成立,称(X,f1,∞)具有集态初值敏感依赖性.满足条件的δ为系统的集态初值敏感依赖常数.这里给出的集态初值敏感依赖性的定义是将文献[4]中的定义在非自治系统上的一个推广.

设 (X,f1,∞)是一个非自治动力系统,记 K(X)为 X 中所有非空紧子集构成的集合,在K(X)上赋予Vietoris拓扑,则形如

的集合全体构成了拓扑的一个基,其中Ui,i=1,2,···,n是X中非空开集.

还可以定义K(X)上由d诱导的Hausdorf f度量dH如下:对于任意的A,B∈K(X),

同时,也等价于

其中S(A,ε)={x∈X|d(x,A)<ε}是A在X中的ε邻域,S(B,ε)是B在X中的ε邻域.

由文献[7]可知,K(X)上的Vietoris拓扑和Hausdor ff度量dH是相容的.

现在,可由X上的连续映射序列f1,∞诱导超空间K(X)上的映射序列如下:对于任意的A∈K(X),任意的.由文献[8]知,每一个都是连续的,所以映射序列是连续的.因此,(K(X),dH,)构成一个非自治动力系统,称为(X,f1,∞)诱导的超空间非自治动力系统.

3 主要结果

设F(X)为X所有非空有限子集,显然F(X)可以看作是K(X)的一个子空间,并且对于映射序列保持封闭性,连续性.所以是系统的一个子系统.

定理 3.1超空间非自治系统具有初值敏感依赖性当且仅当其子系统具有初值敏感依赖性.

证明 充分性设δ>0是系统的一个初值敏感依赖常数.对于任意的A∈K(X),任意的ε>0,若A∈F(X),则命题得证.下设A/∈F(X).

因为A是X的紧子集,故存在B∈F(X)满足dH(A,B)<,又因为具有初值敏感依赖性,所以存在C∈F(X)且dH(C,B)<,满足存在正整数n使得

并且

由三角不等式

所以存在D∈{B,C},满足dH(A,D)<ε且存在n>0,使得

必要性同文献[4]定理2.2.

定理 3.2设(X,f1,∞)是一个非自治动力系统.系统具有初值敏感依赖性当且仅当系统(X,f1,∞)具有集态初值敏感依赖性.

证明 必要性设δ>0是系统的一个初值敏感常数.对X中任意有限的点x1,x2,···,xn.记A={x1,x2,···,xn}和任意的ε>0,不妨取

由 dH(A,B)<ε和ε选取可知,对于任意的y∈B,存在唯一的xi∈A满足d(xi,y)<ε.记Bi={y∈B|d(xi,y)<ε},i=1,2,3,···,n,因为dH(A,B)<ε,所以A⊂S(B,ε),因而对于任意的xi,存在y∈B,使得d(xi,y)<ε.所以Bi∅.又由有

至少成立一个.

若 (1)成立,则存在 y∗∈Bi0满足>δ,i=1,2,···,n.现在,对 xi选取yi∈Bi,特殊地,对于xi0,选取yi0=y∗构成集合{y1,y2,···,yn}满足d(xi,yi)<ε并且存在1≤i0≤n,满足>δ,i=1,2,···,n.若(2)成立,同理存在1≤i0≤n满足d(xi,yi)<ε并且>δ,i=1,2,···,n.因此,系统(X,f1,∞)具有集态初值敏感依赖性,并且δ>0就是它的一个集态初值敏感依赖常数.

充分性设δ>0是系统(X,f1,∞)的一个集态初值敏感依赖常数.对于任意的A∈F(X)和ε>0,设A={x1,x2,···,xn},由系统(X,f1,∞)集态初值敏感依赖性知,存在X上有限集{y1,y2,···,yn}和正整数k满足:

(1)d(xi,yi)<ε,即dH(A,B)<ε;

(2)存在1≤i0≤n,使得

成立.即

所以,有

根据定义2.1,对于任意的fi∈f1,∞,任意的正整数n,记

设(X,f1,∞)是一个非自治动力系统,对任意的正整数k,记映射序列

引理 3.3[6]设(X,f1,∞)是紧度量空间X上的一个非自治动力系统,其中映射序列f1,∞一致收敛到映射f.对于任意的ε>0和正整数k,存在δ(ε)>0和正整数N(k),满足对于任意的x,y∈X,d(x,y)<δ(ε)和任意的n≥N(k),

定理 3.4设(X,f1,∞)是紧度量空间X上的一个非自治动力系统,其中映射序列f1,∞一致收敛到映射f.若f1,∞具有集态初值敏感依赖性,则对于任意的正整数k,也具有集态初值敏感依赖性.

证明设δ>0是f1,∞的集态初值敏感常数,任意取定k>1,根据引理3.3,对于2δ和k,存在对应的εδ>0和正整数n0(不妨取n0>3k),满足对于任意的x,y∈X,d(x,y)<εδ和任意的n≥n0,有

下证εδ是系统(X,)的集态初值敏感依赖常数.

因为X是紧度量空间,所以由映射序列的一致连续性,对于任意的00,满足于任意的0

由于f1,∞是集态初值敏感依赖的,因而对于X中任意有限个点x1,x2,x3,···,xn和ε>0(不妨取ε<ε∗),存在y1,y2,y3,···,yn∈X和m>0满足:

(1)d(yi,xi)<ε,i=1,2,3,···,n,

(2)存存在1≤i0≤n,使得

由ε选取知,m>2n0>6k.故存在正整数p≥6使得

因为m>2n0>6k,1≤q≤k−1所以pk+1>n0.

根据(*)式,因为pk+1>n0,q

由x1,x2,x3,···,xn和ε任意性知,εδ是系统(X,)的一个集态初值敏感依赖常数,即系统(X,)具有集态初值敏感依赖性.

最后,因为k的任意性,命题得证.

定理 3.5设(X,f1,∞)是紧度量空间X上的一个非自治动力系统,其中映射序列f1,∞一致收敛到映射f.则以下条件等价:

其中,k是任意正整数.

证明(1)⇒(2)由定理3.4可得.(2)⇒(1)根据定义,可直接得到.(1)⇔(3),(2)⇔(4)由定理3.2可得.(3)⇔(5),(5)⇔(6)由定理3.1可得.

[1]Banks J.Chaos for induced hyperspace maps[J].Chaos Solitons Fractals,2005,25:681-685.

[2]钱婷,王延庚,卫国.赋予hit-or-miss拓扑的超空间动力系统的拓扑熵[J].纯粹数学与应用数学,2011,27(5):622-631.

[3]廖公夫,王立冬,张玉成.一类集值映射的传递性,混合性与混沌[J].中国科学:A辑,2005,35(10):1155-1161.

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[8]Peris A.Set-valued discrete chaos[J].Chaos Solitons Fractals,2005,26:19-23.

Some results about sensitive on non-autonomous dynamical
system in hyperspace

Yang Chengyu,Wang Yangeng,Li Zhiming
(Department of Mathematics,Northwest University,Xi′an 710127,China)

In this paper we mainly talk about the non-autonomous dynamical system and its hyperspace system. We study the relation between non-autonomous dynamical system and its hyperspace system in the aspect of sensitive.If the system is sensitive,we also have a sufficient condition to ensure its iterative system is sensitive, too.

non-autonomous dynamical system,hyperspace system, sensitive dependence on initial conditions,collective sensitive

O189.11

A

1008-5513(2014)02-0201-06

10.3969/j.issn.1008-5513.2014.02.012

2014-02-10.

国家自然科学基金(11371292).

杨承宇(1989-),硕士生,研究方向：拓扑动力系统.

2010 MSC:54A05