“方格图”在平面图形教学中的有效运用

李延江

平面图形是《图形与几何》领域的重要内容，教学中要让学生经历观察、操作、推理、交流等活动，探究图形性质及其变化规律，丰富活动经验，发展空间观念。方格图就是一个有效载体，它不仅使抽象枯燥的数学变得形象、具体、可测，充满乐趣，而且有利于学生利用已有的经验对静止的平面图形进行动态地思考，将观察、想象、推理、表达等有机融合，促使空间观念的发展。

一、在平面图形测量教学中有效运用“方格图”

点、线、面是构成平面图形的三大要素。在平面图形的比较中，学生最早接触到的是比较线的长短，这是学生空间观念的起点，从比较线的长短到比较面的大小，这是空间观念的一次飞跃，这种飞跃需要提供一种介质——方格图，它不仅为飞跃铺平道路，更为重要的是可以为学生的想象提供广阔的空间，也为学生今后更高层次的飞跃提供方法上的支持。

1.运用“方格图”引导学生从生活经验到量化思考

数学源于生活而又高于生活。最初人们用自己的生活经验进行主观判断来认识客观世界，后来从主观判断到选择标准进行准确测量，从直接测量到转化后的间接测量，从平移、旋转到割补转化，人们认识世界的能力不断增强，数学也就应运而生。

例如让一年级学生观察比较：如图1，从A到B有两条路可走，走哪条比较近？绝大多数学生说甲比较长，理由很简单，因为它折了很多次，如果拉直了就会很长。这是他们的生活经验，真实的感受。紧接着在上面加一张方格图（如图2），学生就会数出两条路线包含的边数来比较长短，也有的学生把它转化为长方形：事实上，两条路的长都等于长方形的长与宽的和。

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学生从感性判断到理性分析，出现这种转变方格图功不可没，方格图的直观性为空间观念的建立搭起了引桥。

2.运用“方格图”引导学生从直接比较到精确测量

比较是测量的基础。学生在比较两个面的大小时，第一反应是把两个平面图形重叠在一起进行比较，把两个图形多出的部分剪下来再进行比较（如图3），依此类推最终比出大小。

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直接比较中蕴藏了丰富的内涵，我们可以相信这是学生经验的表现，但生活中有很多东西是不能直接比较的，只有通过测量才能使比较变得精确。面对学生对新领域表现出来的真实而朴素的比较方法，我们会思考一个问题：数学经验如何与数学接轨？从直接比较两个面的大小到精确测量需要一个过程，怎样引导使它成为今后学习的普遍方法？教学中我进行了尝试：在两个图形上放了一张方格图（如图4），现在你怎样比较两个图形面积的大小？

用数格子与重叠的方法比较面积大小有什么不同？学生的观点是：一个是剪下来比，剪下部分大的那个图形面积就大；一个是数着比，格子数多的图形面积大。这两种方法又有哪些相同的地方？学生观点：它们都是把整个图形分成许多较小的部分进行比较的。当交流两种方法有什么优势与不足时，学生体会到数方格图比较准确、方便。

二、在平面图形面积推导教学中有效运用“方格图”

各种平面图形之间存在着密切的联系，面积公式的推导过程各有侧重，学生面对全新图形的面积推导时，是否会自然地想到我们认为理想的转化推导方法呢？学生的知识经验起点在哪里？如何自然而然地由知识经验指向面积推导，进行有价值的思考呢？学生的思考是否有价值取决于教学中提供的素材是否具有想象的空间，方格图就为学生打开了想象的空间。

1.运用“方格图”使推导过程凸显数学思考

面积公式的推导过程就是面积计算模型建立的过程，需要大量的直观经验。在长方形上摆小正方形再发现长方形的面积计算公式，这就过于重视摆的过程而忽视发现的过程，因为要想整齐地摆好那么多小正方形难度很大，很难摆出不同的长方形加以比较分析，影响了推导过程的准确性和计算公式的普遍性。在方格图中画长方形可以直观地看出长度与面积之间的区别与联系。

例如，推导长5厘米、宽3厘米的长方形面积，让学生在方格图上画出长5厘米、宽3厘米的长方形，就可以很直观地看出：长包含了5个面积单位，即一行可以摆5个面积单位；宽包含了3个面积单位，即可以摆3行。从而轻松发现长方形的面积等于长与宽的积，再通过对多个长方形进行观察比较，发现“长与宽的积等于长方形面积”具有普遍性。小方格的直观、简洁且准确，回避了因测量产生的误差，突出了面积与长、宽之间的关系，使整个教学过程变得更有效。

2.运用“方格图”使数学思想方法自然渗入

小学生以形象思维为主，平面图形的转化建立在熟知各种图形的特征和它们之间关系的基础上。学生对图形特征和关系的认识还比较肤浅，这使得转化变得更为困难，方格图可使图形的特征显现得更为直观，使它们之间的联系更为明显，为平面图形的转化提供了直观参照。

例如，数平行四边形的面积时不到半格的为什么都按半格计算？

如图5，用数格子的方法求平行四边形的面积。学生会提出问题：不满一格的怎么办？这是学生在推导长方形面积时没有碰到过的，如果直接告诉学生不满一格的都按半格计算，学生又会有新的疑问：有的比半格大，有的比半格小，为什么都按半格算呢？从而陷入困惑之中。

教学中我们可以这样引导：怎样数更方便？观察两边不满一格的部分，你发现了什么？学生观察后发现：第一行左边的比半格少，右边的比半格大，两边合在一起刚好是一格（如图6），其他几行左右两边合在一起也刚好是一格（如图7）。为了计算方便，便把不满一格的都按半格计算。

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怎样才能更容易知道平行四边形的面积？你能把平行四边形转化成什么图形？通过观察，学生顺利地想到：沿着平行四边形的高剪开可转化成长方形（如图8）。

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整个转化过程在方格图中由局部到整体逐步进行，使转化的思想方法自然渗入学生的心田。

3.运用“方格图”使推导过程更加丰富endprint

在平行四边形面积计算推导过程中，教材上只介绍了沿着高剪开，通过平移把两部分拼成一个长方形的方法。如果借用方格图，学生不仅可以顺利想到沿着高剪开拼成长方形，有的学生还会创造性地想到其他转化方法（如图9）。

在三角形面积推导过程中，教材中只提供了用两个完全一样的三角形拼成一个平行四边形推导出面积的方法。只用一个三角形能否推导出三角形的面积呢？有的学生在旁边画个完全一样的三角形拼成平行四边形，有的学生却无从下手。如果把三角形放在方格图上，学生不仅可以想到再画一个完全一样的三角形从而转化成平行四边形，还可以沿着中位线剪开拼成平行四边形（如图10）。

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在教材的课外知识部分还介绍了我国古代数学家刘徽利用出入相补原理来计算平面图形的面积（如图11）。

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面对教材中提供的这些方法，学生还是很难理解，如：从哪里剪开，怎么转化等。此时，方格图的直观性就可以激活学生已有的经验，打开学生的思维，帮助学生理解出入相补原理。

三、在平面图形变换教学中有效运用“方格图”

小学数学平面图形领域蕴藏着很多规律需要引导学生去探索，有很多精美的图案就是通过基本图形的变换得到的，教学中让学生在动手实践的基础上感受平移、旋转的图形变换方法及图形的对称特征，能唤起学生欣赏数学美的心，激发学生创作的热情，为进一步学习平面图形积累宝贵的方法和经验。

1.运用“方格图”探索图形变换的规律

周长和面积是平面图形的两个重要概念，它们之间有着密切的联系，用直白的语言描述很难表达清楚，也不符合小学生的认知特点。如果让学生在方格图上画一画，通过观察、比较就可以获得周长和面积的变化规律。

例如，在学习了“面积和面积单位”之后让学生在方格图上画出面积是4平方厘米的图形，并观察周长的变化与什么有关。在探索中学生画出了很多图形（如图12）。

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通过观察比较发现：周长的大小与重叠的边数有关，重叠的边数越多周长就越短，重叠的边数越少周长就越长。

同样还可以让学生在方格图中画出面积是12平方厘米的长方形，探索发现周长的变化规律：长和宽的差越小，周长也就越小。还可以让学生在方格图中画出周长相等的长方形，观察面积的变化规律，学生通过探索发现：长和宽的差越小，面积就越大。

只有把发现图形变换规律的过程变为学生亲身体验的过程，这种规律才是鲜活的规律，才能给学生留下深刻的印象，丰富学生探索图形的经验。方格图便为此提供了一个良好的平台。

2.运用“方格图”感受密铺图形的神奇

生活中有很多密铺现象，在精美的密铺图案的背后蕴含着丰富的图形变换。

例如，在方格图上找可以密铺的图形，学生很快就能发现正方形是可以密铺的；接着进一步提出探索要求：以小正方形为基础，通过割补、平移、旋转等方法设计简单的密铺图案。有的学生在正方形的左边割下一个三角形，平移到右边变成一个组合图形（如图13），并通过在方格图上反复试验，最终发现这个变换后的图形就是一个密铺图形。

受其启发，学生找到了一个又一个的密铺图形，设计出一幅又一幅精美的图案（如图14），经历了欣赏数学美、创造数学美的过程，培养了自身的操作、观察、猜测、验证以及推理能力。

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任何有价值的发现都需要一个有价值的素材作为支撑。学生的空间观念正在发展中，让其在没有任何参照的情况下绘制某一特征的图形，往往会有很大的偏差。在图形变换教学中，方格图为学生提供了清晰、准确的参照。

3.运用“方格图”体验创作图形的乐趣

平面图形的创作是展现学生个性、感悟图形特征和体会图形变换的有效手段。创作有时只是灵光一现，方格图的便捷性能让学生快速捕捉灵感，完成想象中的作品，有时还会激发新的灵感，使数学的美感与个性魅力同时展现，学生从中体验到创作的乐趣，增强了学习的信心。

例如，设计面积是5平方厘米的图案。有的学生画成十字架，有的学生画成动物头像，还有的学生画成喇叭……（如图15）

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上面图形的面积都是5平方厘米，但形状各异，为学生对割补、转化提供了直观感受，为图形面积的推导埋下了伏笔，也为组合图形面积的计算积累了感性经验。

总之，方格图为多样化的数学学习搭建了探索平台，激活了学生的经验，让探索的过程精彩纷呈。方格图避免了为操作而操作，使探索自然地深入，结论自然地生成，它在教材中随处可见，我们要善于挖掘，让学生在方格图的背景下探索发现，释放它的能量，展现其神奇的魅力。

（责编 金 铃）endprint

在平行四边形面积计算推导过程中，教材上只介绍了沿着高剪开，通过平移把两部分拼成一个长方形的方法。如果借用方格图，学生不仅可以顺利想到沿着高剪开拼成长方形，有的学生还会创造性地想到其他转化方法（如图9）。

在三角形面积推导过程中，教材中只提供了用两个完全一样的三角形拼成一个平行四边形推导出面积的方法。只用一个三角形能否推导出三角形的面积呢？有的学生在旁边画个完全一样的三角形拼成平行四边形，有的学生却无从下手。如果把三角形放在方格图上，学生不仅可以想到再画一个完全一样的三角形从而转化成平行四边形，还可以沿着中位线剪开拼成平行四边形（如图10）。

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在教材的课外知识部分还介绍了我国古代数学家刘徽利用出入相补原理来计算平面图形的面积（如图11）。

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面对教材中提供的这些方法，学生还是很难理解，如：从哪里剪开，怎么转化等。此时，方格图的直观性就可以激活学生已有的经验，打开学生的思维，帮助学生理解出入相补原理。

三、在平面图形变换教学中有效运用“方格图”

小学数学平面图形领域蕴藏着很多规律需要引导学生去探索，有很多精美的图案就是通过基本图形的变换得到的，教学中让学生在动手实践的基础上感受平移、旋转的图形变换方法及图形的对称特征，能唤起学生欣赏数学美的心，激发学生创作的热情，为进一步学习平面图形积累宝贵的方法和经验。

1.运用“方格图”探索图形变换的规律

周长和面积是平面图形的两个重要概念，它们之间有着密切的联系，用直白的语言描述很难表达清楚，也不符合小学生的认知特点。如果让学生在方格图上画一画，通过观察、比较就可以获得周长和面积的变化规律。

例如，在学习了“面积和面积单位”之后让学生在方格图上画出面积是4平方厘米的图形，并观察周长的变化与什么有关。在探索中学生画出了很多图形（如图12）。

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通过观察比较发现：周长的大小与重叠的边数有关，重叠的边数越多周长就越短，重叠的边数越少周长就越长。

同样还可以让学生在方格图中画出面积是12平方厘米的长方形，探索发现周长的变化规律：长和宽的差越小，周长也就越小。还可以让学生在方格图中画出周长相等的长方形，观察面积的变化规律，学生通过探索发现：长和宽的差越小，面积就越大。

只有把发现图形变换规律的过程变为学生亲身体验的过程，这种规律才是鲜活的规律，才能给学生留下深刻的印象，丰富学生探索图形的经验。方格图便为此提供了一个良好的平台。

2.运用“方格图”感受密铺图形的神奇

生活中有很多密铺现象，在精美的密铺图案的背后蕴含着丰富的图形变换。

例如，在方格图上找可以密铺的图形，学生很快就能发现正方形是可以密铺的；接着进一步提出探索要求：以小正方形为基础，通过割补、平移、旋转等方法设计简单的密铺图案。有的学生在正方形的左边割下一个三角形，平移到右边变成一个组合图形（如图13），并通过在方格图上反复试验，最终发现这个变换后的图形就是一个密铺图形。

受其启发，学生找到了一个又一个的密铺图形，设计出一幅又一幅精美的图案（如图14），经历了欣赏数学美、创造数学美的过程，培养了自身的操作、观察、猜测、验证以及推理能力。

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任何有价值的发现都需要一个有价值的素材作为支撑。学生的空间观念正在发展中，让其在没有任何参照的情况下绘制某一特征的图形，往往会有很大的偏差。在图形变换教学中，方格图为学生提供了清晰、准确的参照。

3.运用“方格图”体验创作图形的乐趣

平面图形的创作是展现学生个性、感悟图形特征和体会图形变换的有效手段。创作有时只是灵光一现，方格图的便捷性能让学生快速捕捉灵感，完成想象中的作品，有时还会激发新的灵感，使数学的美感与个性魅力同时展现，学生从中体验到创作的乐趣，增强了学习的信心。

例如，设计面积是5平方厘米的图案。有的学生画成十字架，有的学生画成动物头像，还有的学生画成喇叭……（如图15）

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上面图形的面积都是5平方厘米，但形状各异，为学生对割补、转化提供了直观感受，为图形面积的推导埋下了伏笔，也为组合图形面积的计算积累了感性经验。

总之，方格图为多样化的数学学习搭建了探索平台，激活了学生的经验，让探索的过程精彩纷呈。方格图避免了为操作而操作，使探索自然地深入，结论自然地生成，它在教材中随处可见，我们要善于挖掘，让学生在方格图的背景下探索发现，释放它的能量，展现其神奇的魅力。

（责编 金 铃）endprint

在平行四边形面积计算推导过程中，教材上只介绍了沿着高剪开，通过平移把两部分拼成一个长方形的方法。如果借用方格图，学生不仅可以顺利想到沿着高剪开拼成长方形，有的学生还会创造性地想到其他转化方法（如图9）。

在三角形面积推导过程中，教材中只提供了用两个完全一样的三角形拼成一个平行四边形推导出面积的方法。只用一个三角形能否推导出三角形的面积呢？有的学生在旁边画个完全一样的三角形拼成平行四边形，有的学生却无从下手。如果把三角形放在方格图上，学生不仅可以想到再画一个完全一样的三角形从而转化成平行四边形，还可以沿着中位线剪开拼成平行四边形（如图10）。

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在教材的课外知识部分还介绍了我国古代数学家刘徽利用出入相补原理来计算平面图形的面积（如图11）。

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面对教材中提供的这些方法，学生还是很难理解，如：从哪里剪开，怎么转化等。此时，方格图的直观性就可以激活学生已有的经验，打开学生的思维，帮助学生理解出入相补原理。

三、在平面图形变换教学中有效运用“方格图”

小学数学平面图形领域蕴藏着很多规律需要引导学生去探索，有很多精美的图案就是通过基本图形的变换得到的，教学中让学生在动手实践的基础上感受平移、旋转的图形变换方法及图形的对称特征，能唤起学生欣赏数学美的心，激发学生创作的热情，为进一步学习平面图形积累宝贵的方法和经验。

1.运用“方格图”探索图形变换的规律

周长和面积是平面图形的两个重要概念，它们之间有着密切的联系，用直白的语言描述很难表达清楚，也不符合小学生的认知特点。如果让学生在方格图上画一画，通过观察、比较就可以获得周长和面积的变化规律。

例如，在学习了“面积和面积单位”之后让学生在方格图上画出面积是4平方厘米的图形，并观察周长的变化与什么有关。在探索中学生画出了很多图形（如图12）。

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通过观察比较发现：周长的大小与重叠的边数有关，重叠的边数越多周长就越短，重叠的边数越少周长就越长。

同样还可以让学生在方格图中画出面积是12平方厘米的长方形，探索发现周长的变化规律：长和宽的差越小，周长也就越小。还可以让学生在方格图中画出周长相等的长方形，观察面积的变化规律，学生通过探索发现：长和宽的差越小，面积就越大。

只有把发现图形变换规律的过程变为学生亲身体验的过程，这种规律才是鲜活的规律，才能给学生留下深刻的印象，丰富学生探索图形的经验。方格图便为此提供了一个良好的平台。

2.运用“方格图”感受密铺图形的神奇

生活中有很多密铺现象，在精美的密铺图案的背后蕴含着丰富的图形变换。

例如，在方格图上找可以密铺的图形，学生很快就能发现正方形是可以密铺的；接着进一步提出探索要求：以小正方形为基础，通过割补、平移、旋转等方法设计简单的密铺图案。有的学生在正方形的左边割下一个三角形，平移到右边变成一个组合图形（如图13），并通过在方格图上反复试验，最终发现这个变换后的图形就是一个密铺图形。

受其启发，学生找到了一个又一个的密铺图形，设计出一幅又一幅精美的图案（如图14），经历了欣赏数学美、创造数学美的过程，培养了自身的操作、观察、猜测、验证以及推理能力。

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任何有价值的发现都需要一个有价值的素材作为支撑。学生的空间观念正在发展中，让其在没有任何参照的情况下绘制某一特征的图形，往往会有很大的偏差。在图形变换教学中，方格图为学生提供了清晰、准确的参照。

3.运用“方格图”体验创作图形的乐趣

平面图形的创作是展现学生个性、感悟图形特征和体会图形变换的有效手段。创作有时只是灵光一现，方格图的便捷性能让学生快速捕捉灵感，完成想象中的作品，有时还会激发新的灵感，使数学的美感与个性魅力同时展现，学生从中体验到创作的乐趣，增强了学习的信心。

例如，设计面积是5平方厘米的图案。有的学生画成十字架，有的学生画成动物头像，还有的学生画成喇叭……（如图15）

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上面图形的面积都是5平方厘米，但形状各异，为学生对割补、转化提供了直观感受，为图形面积的推导埋下了伏笔，也为组合图形面积的计算积累了感性经验。

总之，方格图为多样化的数学学习搭建了探索平台，激活了学生的经验，让探索的过程精彩纷呈。方格图避免了为操作而操作，使探索自然地深入，结论自然地生成，它在教材中随处可见，我们要善于挖掘，让学生在方格图的背景下探索发现，释放它的能量，展现其神奇的魅力。

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