中学数学情境与提出问题的教学实践

摘 要：“一蜘蛛欲从长方体的一顶点捕捉与之不共侧面的对角顶点上的小虫，寻求最佳行走路线”。从该问题的讨论求解创设数学情境，进而推广到对圆锥、圆台等几何体表面路径最小值的求解，学习利用侧面展开图，化空间问题为平面问题的划归数学思想，掌握几何体表面路径最小值的求解方法，掌握几何体侧面展开图的应用。

关键词：侧面展开；空间问题平面化；最小路径

一、教学设计

1.教学背景

遵义四中是贵州省省级示范高级中学，从建校至今已有九十余年的历史，在教育教学上取得了引人注目的成绩。面对全球教育教学改革的新环境，如何实施素质教育，创新教育？我们正在积极探索中。贵州师大吕传汉、汪秉彝二位教授研究推广的“数学情境与提出问题”教学模式，经过多年的尝试，学生对这种新素质教育教学方法比较适应和接受。

我现任教的是两个文科班数学课。我校生源总体属于本地区上乘，但因扩招形成的捐资助学生成绩较差，不得已进入文科班学习。因此，文科班数学成绩，除少数全面发展的学生外，大部分学生对数学有明显的畏难情绪，有的甚至厌学或不学。而改变现状的最好办法就是顺应新a形势的需要，用创新思想、创新方法解决新问题。

2.教材分析

几何体表面最小路径问题，作为中学数学中的定量概念的典型形式，在生产和生活实践中具有广泛应用，特别是利用展开图把空间问题平面化，化空间最小路径问题为平面两点间的最小路径问题，是中学数学中的重要数学思想，也是高考命题中的常见内容。

中学数学中，主要涉及柱、锥、台、球的表面路径问题，关于球的相关问题在其他专题中解决，这里所涉及的柱、锥、台体（含旋转体），都具有表面可展开性。通过该专题的讨论，建立巩固从平面到空间的思维纽带。通过恰当展开表面（或部分表面），将最小路径问题转换成平面两点间路径最小问题来解决。这是一个训练学生几何变换能力、空间想象力以及转移化归的数学思想方法的课题，如处理恰当，对于提高学生分析问题和解决问题的能力将有明显效果。

3.设计思想

（1）教学目标

本节课是高三第二轮复习内容，通过本专题的研究，使学生在继续巩固立体几何相关基础知识的基础上，探索几何变换及其应用方法，强化空间问题平面化的等价转化思想，提高学生分析问题、探索问题和解决问题的能力。

（2）教学方法

本节课是“情境—问题”教学实验课，并辅以多媒体手段。

设置数学情境（观察分析）—提出数学问题（猜测探究）—解决数学问题（正面求解或反驳）—注重数学应用（学做学用），而且，学生学习：质疑提问、自主学习贯穿全过程；老师导学：激发兴趣、反思矫正贯穿全过程。

（3）课前准备

为了充分发挥“情境—问题”教学实践的课堂效果，课前做了如下准备：①将全班学生分为若干小组，每组6人左右，原则自愿组合，老师可帮助适当调整，使每组尽可能具备讨论问题氛围的基础。②将相关题目精选出6个，难易类别兼顾搭配，组成思考题单，课前发放到各小组，各组就自己感兴趣的问题分析思考；每小组用硬纸片做正方体、圆锥模型各一个，以此奠定上课时各组之间研究问题的基础。③做好相应的多媒体课件。

二、教学过程

提出数学问题：

教师：在刚才的蜘蛛路径问题的讨论中，涉及一个几何体表面最小路径问题。请回顾，你都想到或用到了哪些知识和方法，还有什么疑惑要和同学探讨？或有哪些结果值得总结？请畅所欲言。

……

学生通过积极的讨论，提出各种问题及想法，大致为如下几个方面（把课堂上首先要解决的问题列在前面）：

在长方体中，展开方式的不同将影响最小路径的求解，值得注意。

1.几何体表面路径问题与两点间的距离的关系如何？

2.“蜘蛛路径问题”的方法是否可以推广？

3.几何体表面路径最值问题求解的思想方法是什么？

4.几何体是否都能够把表面展开？哪些能展开？

5.球面不能展开，球面上两点间的距离怎么求解？

……

三、教学反思

1.恰当创设数学情境，是有效强化学生问题意识的重要步骤，更是吸引学生积极参与讨论问题并能够提出有价值问题的有效方法。在教学实践中，趣味数学问题、贴近生活问题、伟人科研轶事等，都可作为创设情境的素材源。本案例选取“蜘蛛路径问题”，属于学生熟知的趣味数学问题，实践说明，学生是乐意接受的，同时，如果恰当利用多媒体技术，对情境创设效果更好。

2.在讨论问题的选材方面，本案例结合目前高考复习的需要，以及本节课教学主题的需要，选择了中学立体几何中“折卷”相关题目（柱、锥、台），并注意兼顾具有思考解答的多样性特点或具有某些不确定性特点，这有利于学生在分类讨论中发现、比较、质疑，强化学生提出问题或质疑问题的意识。

参考文献：

[1]吕传汉，汪秉彝.中小学数学情境与提出问题教学探究.贵州人民出版社，2002-07.

[2]吕传汉，汪秉彝.“论中小学数学情境与提出问题”的数学学习[J].数学教育学报，2001（4）：9-14.

[3]汪秉彝，吕传汉.创新与中小学数学教育[J].数学教育学报，2000，9（4）：34.

[4]刘友军.高中“数学情境与提出问题”的教学实践：“归纳—猜想—证明”教学案例[J].数学教育学报，2003，12（4）：83-86.

（作者单位 贵州省遵义市第四中学）

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