用数轴，“巧”解题

毛晓兵

摘 要：初中阶段，我们学习了数学中重要的一个概念：数轴。数轴是规定了原点、正方向和单位长度的直线，它对学生理解有理数的概念、比较有理数大小及有理数运算起到重要作用。同时数轴又是非常重要的数学工具，通过数轴，它将数与形结合在一起，很好地揭示了数与形之间的内在联系。对于某些数学问题，利用数轴去求解，不仅能够化难为易、化繁为简，而且解法直观、明快。

关键词：数轴；作用；求解

初中阶段，我们学习了数学中重要的一个概念：数轴。数轴是规定了原点、正方向和单位长度的直线，它对学生理解有理数的概念、比较有理数大小及有理数运算起到重要作用。同时数轴又是非常重要的数学工具，通过数轴，它将数与形结合在一起，揭示了数与形之间的内在联系。

一、数轴有四个方面的作用

1.数轴能反映出数形之间的对应关系

所有的有理数都可以用数轴上唯一的一个点表示出来，而数轴上表示有理数的点亦可读出其所表示的一个有理数。就是说，有理数与数轴上表示有理数的点之间存在着一一对应关系。

2.数轴能反映出数的性质

数轴是一条规定了原点、正方向和单位长度的直线，有理数的性质可通过数轴表示出来。原点表示的有理数——零，是个“中性”数；有理数的性质符号决定了这个有理数的点与原点的相对位置：当规定向右的方向为数轴的正方向时，表示正有理数的点都在原点的右侧，表示负有理数的点都在原点的左侧。

3.数轴能解释数的某些概念

（1）相反数：将一对相反数表示在数轴上，表示这对相反数的点是一对关于原点对称的点。也就是说，表示一对相反数的两个点分别位于原点两侧，并且到原点的距离相等。

（2）绝对值：用数轴可以形象地解释绝对值的概念，一个数的绝对值，就等于表示这个数的点离开原点的距离。

（3）近似数：近似数是与实际接近的数，用数轴可表示出某一近似数的精确度。如，近似数3的精确度可在数轴上表示，即3是一个大于或等于2.5且又小于3.5的近似数。

4.数轴可使有理数比较大小形象化

两个有理数比较大小，可以借助数轴这个工具进行。在数轴上表示的两个有理数，右边的数总比左边的数大。

二、对于某些数学题，若利用数轴求解，不仅能够化难为易、化繁为简，而且解法直观、明快

1.用数轴比较实数大小，解决求样本的中位数的问题

问题1：由小到大排列的一组数据x1，x2，x3，x4，x5，其中x5<-1，则1，x1，-x2，x3，-x4，x5，的中位数是____________。

分析：要求所给的六个数据的中位数，只要将这六个数据从小到大依次排列，求出排在第三和第四的两个数据的平均数，即可得到这组数据的中位数。本题的难点就是把六个数按从小到大的顺序排列。为了突破难点，我们可以借助数轴。

解：在数轴上任取x1，x2，x3，x4，x5表示的点，使x1

■

观察数轴知x1

2.用数轴求字母的取值范围求值

问题2：若不等式组的解集不在2

■

解：由不等式组x-a>1a-x>-3

所以a+1

由图2，可知a+3≤2或a+1≥9，即a≤-1或a≥8

3.用数轴解含有绝对值的方程

■

问题3：解方程：x+3+x-1=6

分析：由绝对值的几何意义可知，此方程表示在数轴上求一动点x，使x到定点A（-3）的距离与到定点B（1）的距离之和等于6，如图3。由数轴上的点的性质可知，这样的点x有两个，即表示-4与2的点，所以方程的解为x=-4或x=2。

4.用数轴取零点，求最值

问题4：若m

分析：在数轴上标出m，n，p的大致位置，如图4，于是问题转化为在x轴上求一点，使它到m，n，p所对应的三点距离的和最小。易知当x=n时，它到m，n，p所对应的三点的距离之和最小，故当x=n时，x-m+x-n+x-p的值最小，最小值等于p-m。

5.运用数轴变换两圆的位置关系

如图5，数轴反映两圆的位置关系和数量关系，设⊙O1、⊙O2的半径分别为R1，R2，圆心距为d，则两圆的位置关系可以在数轴上表示出来，如图5所示。

■

图5

问题5：已知⊙O1、⊙O2的半径分别为3cm和5cm，两圆的圆心距是6cm，则两圆的位置关系是（ ）

A.内含 B.外离

C.内切 D.相交

分析：由题设，知：R1-R2=2，R1+R2=8，由图6知R1-R2

6.借助数轴，进行代数式的化简

■

问题6：已知有理数a、b在数轴表示的位置如图7所示，试化简：■-a-b

观察数轴上字母的位置不难发现，a+b>0，a-b>0根据绝对值的意义，很容易去掉绝对值符号，问题迎刃而解。

7.用数轴找临界点，求点的象限范围

问题7：点（x，x-1）不可能在第几象限。

■

图8

8.无理数的理解

问题8：关于π的理解：

用直径为1的圆，从数轴原点沿数轴滚动一周，所得到的点的位置就是π。

问题9：■的认识：

好奇的古希腊人在数轴上以线段[0，1]为底边作正方形，以O为圆心，过O点的对角线为半径画弧，交数轴正方向于D。D点表示的数是■。

以上是我在初中教学中，对数轴的一些用法，感觉数轴它虽小，但作用很大，用途很广，借用数轴可轻松解决多方面的数学问题，是研究初中数学的有效工具之一，也是培养学生提高分析解题能力的好工具。

参考文献：

刘锦海.与数轴有关的问题.中学课程辅导：初一版，2004（08）.

（作者单位 甘肃省酒泉市育才学校）

？誗编辑 张珍珍

摘 要：初中阶段，我们学习了数学中重要的一个概念：数轴。数轴是规定了原点、正方向和单位长度的直线，它对学生理解有理数的概念、比较有理数大小及有理数运算起到重要作用。同时数轴又是非常重要的数学工具，通过数轴，它将数与形结合在一起，很好地揭示了数与形之间的内在联系。对于某些数学问题，利用数轴去求解，不仅能够化难为易、化繁为简，而且解法直观、明快。

关键词：数轴；作用；求解

初中阶段，我们学习了数学中重要的一个概念：数轴。数轴是规定了原点、正方向和单位长度的直线，它对学生理解有理数的概念、比较有理数大小及有理数运算起到重要作用。同时数轴又是非常重要的数学工具，通过数轴，它将数与形结合在一起，揭示了数与形之间的内在联系。

一、数轴有四个方面的作用

1.数轴能反映出数形之间的对应关系

所有的有理数都可以用数轴上唯一的一个点表示出来，而数轴上表示有理数的点亦可读出其所表示的一个有理数。就是说，有理数与数轴上表示有理数的点之间存在着一一对应关系。

2.数轴能反映出数的性质

数轴是一条规定了原点、正方向和单位长度的直线，有理数的性质可通过数轴表示出来。原点表示的有理数——零，是个“中性”数；有理数的性质符号决定了这个有理数的点与原点的相对位置：当规定向右的方向为数轴的正方向时，表示正有理数的点都在原点的右侧，表示负有理数的点都在原点的左侧。

3.数轴能解释数的某些概念

（1）相反数：将一对相反数表示在数轴上，表示这对相反数的点是一对关于原点对称的点。也就是说，表示一对相反数的两个点分别位于原点两侧，并且到原点的距离相等。

（2）绝对值：用数轴可以形象地解释绝对值的概念，一个数的绝对值，就等于表示这个数的点离开原点的距离。

（3）近似数：近似数是与实际接近的数，用数轴可表示出某一近似数的精确度。如，近似数3的精确度可在数轴上表示，即3是一个大于或等于2.5且又小于3.5的近似数。

4.数轴可使有理数比较大小形象化

两个有理数比较大小，可以借助数轴这个工具进行。在数轴上表示的两个有理数，右边的数总比左边的数大。

二、对于某些数学题，若利用数轴求解，不仅能够化难为易、化繁为简，而且解法直观、明快

1.用数轴比较实数大小，解决求样本的中位数的问题

问题1：由小到大排列的一组数据x1，x2，x3，x4，x5，其中x5<-1，则1，x1，-x2，x3，-x4，x5，的中位数是____________。

分析：要求所给的六个数据的中位数，只要将这六个数据从小到大依次排列，求出排在第三和第四的两个数据的平均数，即可得到这组数据的中位数。本题的难点就是把六个数按从小到大的顺序排列。为了突破难点，我们可以借助数轴。

解：在数轴上任取x1，x2，x3，x4，x5表示的点，使x1

■

观察数轴知x1

2.用数轴求字母的取值范围求值

问题2：若不等式组的解集不在2

■

解：由不等式组x-a>1a-x>-3

所以a+1

由图2，可知a+3≤2或a+1≥9，即a≤-1或a≥8

3.用数轴解含有绝对值的方程

■

问题3：解方程：x+3+x-1=6

分析：由绝对值的几何意义可知，此方程表示在数轴上求一动点x，使x到定点A（-3）的距离与到定点B（1）的距离之和等于6，如图3。由数轴上的点的性质可知，这样的点x有两个，即表示-4与2的点，所以方程的解为x=-4或x=2。

4.用数轴取零点，求最值

问题4：若m

分析：在数轴上标出m，n，p的大致位置，如图4，于是问题转化为在x轴上求一点，使它到m，n，p所对应的三点距离的和最小。易知当x=n时，它到m，n，p所对应的三点的距离之和最小，故当x=n时，x-m+x-n+x-p的值最小，最小值等于p-m。

5.运用数轴变换两圆的位置关系

如图5，数轴反映两圆的位置关系和数量关系，设⊙O1、⊙O2的半径分别为R1，R2，圆心距为d，则两圆的位置关系可以在数轴上表示出来，如图5所示。

■

图5

问题5：已知⊙O1、⊙O2的半径分别为3cm和5cm，两圆的圆心距是6cm，则两圆的位置关系是（ ）

A.内含 B.外离

C.内切 D.相交

分析：由题设，知：R1-R2=2，R1+R2=8，由图6知R1-R2

6.借助数轴，进行代数式的化简

■

问题6：已知有理数a、b在数轴表示的位置如图7所示，试化简：■-a-b

观察数轴上字母的位置不难发现，a+b>0，a-b>0根据绝对值的意义，很容易去掉绝对值符号，问题迎刃而解。

7.用数轴找临界点，求点的象限范围

问题7：点（x，x-1）不可能在第几象限。

■

图8

8.无理数的理解

问题8：关于π的理解：

用直径为1的圆，从数轴原点沿数轴滚动一周，所得到的点的位置就是π。

问题9：■的认识：

好奇的古希腊人在数轴上以线段[0，1]为底边作正方形，以O为圆心，过O点的对角线为半径画弧，交数轴正方向于D。D点表示的数是■。

以上是我在初中教学中，对数轴的一些用法，感觉数轴它虽小，但作用很大，用途很广，借用数轴可轻松解决多方面的数学问题，是研究初中数学的有效工具之一，也是培养学生提高分析解题能力的好工具。

参考文献：

刘锦海.与数轴有关的问题.中学课程辅导：初一版，2004（08）.

（作者单位 甘肃省酒泉市育才学校）

？誗编辑 张珍珍

摘 要：初中阶段，我们学习了数学中重要的一个概念：数轴。数轴是规定了原点、正方向和单位长度的直线，它对学生理解有理数的概念、比较有理数大小及有理数运算起到重要作用。同时数轴又是非常重要的数学工具，通过数轴，它将数与形结合在一起，很好地揭示了数与形之间的内在联系。对于某些数学问题，利用数轴去求解，不仅能够化难为易、化繁为简，而且解法直观、明快。

关键词：数轴；作用；求解

初中阶段，我们学习了数学中重要的一个概念：数轴。数轴是规定了原点、正方向和单位长度的直线，它对学生理解有理数的概念、比较有理数大小及有理数运算起到重要作用。同时数轴又是非常重要的数学工具，通过数轴，它将数与形结合在一起，揭示了数与形之间的内在联系。

一、数轴有四个方面的作用

1.数轴能反映出数形之间的对应关系

所有的有理数都可以用数轴上唯一的一个点表示出来，而数轴上表示有理数的点亦可读出其所表示的一个有理数。就是说，有理数与数轴上表示有理数的点之间存在着一一对应关系。

2.数轴能反映出数的性质

数轴是一条规定了原点、正方向和单位长度的直线，有理数的性质可通过数轴表示出来。原点表示的有理数——零，是个“中性”数；有理数的性质符号决定了这个有理数的点与原点的相对位置：当规定向右的方向为数轴的正方向时，表示正有理数的点都在原点的右侧，表示负有理数的点都在原点的左侧。

3.数轴能解释数的某些概念

（1）相反数：将一对相反数表示在数轴上，表示这对相反数的点是一对关于原点对称的点。也就是说，表示一对相反数的两个点分别位于原点两侧，并且到原点的距离相等。

（2）绝对值：用数轴可以形象地解释绝对值的概念，一个数的绝对值，就等于表示这个数的点离开原点的距离。

（3）近似数：近似数是与实际接近的数，用数轴可表示出某一近似数的精确度。如，近似数3的精确度可在数轴上表示，即3是一个大于或等于2.5且又小于3.5的近似数。

4.数轴可使有理数比较大小形象化

两个有理数比较大小，可以借助数轴这个工具进行。在数轴上表示的两个有理数，右边的数总比左边的数大。

二、对于某些数学题，若利用数轴求解，不仅能够化难为易、化繁为简，而且解法直观、明快

1.用数轴比较实数大小，解决求样本的中位数的问题

问题1：由小到大排列的一组数据x1，x2，x3，x4，x5，其中x5<-1，则1，x1，-x2，x3，-x4，x5，的中位数是____________。

分析：要求所给的六个数据的中位数，只要将这六个数据从小到大依次排列，求出排在第三和第四的两个数据的平均数，即可得到这组数据的中位数。本题的难点就是把六个数按从小到大的顺序排列。为了突破难点，我们可以借助数轴。

解：在数轴上任取x1，x2，x3，x4，x5表示的点，使x1

■

观察数轴知x1

2.用数轴求字母的取值范围求值

问题2：若不等式组的解集不在2

■

解：由不等式组x-a>1a-x>-3

所以a+1

由图2，可知a+3≤2或a+1≥9，即a≤-1或a≥8

3.用数轴解含有绝对值的方程

■

问题3：解方程：x+3+x-1=6

分析：由绝对值的几何意义可知，此方程表示在数轴上求一动点x，使x到定点A（-3）的距离与到定点B（1）的距离之和等于6，如图3。由数轴上的点的性质可知，这样的点x有两个，即表示-4与2的点，所以方程的解为x=-4或x=2。

4.用数轴取零点，求最值

问题4：若m

分析：在数轴上标出m，n，p的大致位置，如图4，于是问题转化为在x轴上求一点，使它到m，n，p所对应的三点距离的和最小。易知当x=n时，它到m，n，p所对应的三点的距离之和最小，故当x=n时，x-m+x-n+x-p的值最小，最小值等于p-m。

5.运用数轴变换两圆的位置关系

如图5，数轴反映两圆的位置关系和数量关系，设⊙O1、⊙O2的半径分别为R1，R2，圆心距为d，则两圆的位置关系可以在数轴上表示出来，如图5所示。

■

图5

问题5：已知⊙O1、⊙O2的半径分别为3cm和5cm，两圆的圆心距是6cm，则两圆的位置关系是（ ）

A.内含 B.外离

C.内切 D.相交

分析：由题设，知：R1-R2=2，R1+R2=8，由图6知R1-R2

6.借助数轴，进行代数式的化简

■

问题6：已知有理数a、b在数轴表示的位置如图7所示，试化简：■-a-b

观察数轴上字母的位置不难发现，a+b>0，a-b>0根据绝对值的意义，很容易去掉绝对值符号，问题迎刃而解。

7.用数轴找临界点，求点的象限范围

问题7：点（x，x-1）不可能在第几象限。

■

图8

8.无理数的理解

问题8：关于π的理解：

用直径为1的圆，从数轴原点沿数轴滚动一周，所得到的点的位置就是π。

问题9：■的认识：

好奇的古希腊人在数轴上以线段[0，1]为底边作正方形，以O为圆心，过O点的对角线为半径画弧，交数轴正方向于D。D点表示的数是■。

以上是我在初中教学中，对数轴的一些用法，感觉数轴它虽小，但作用很大，用途很广，借用数轴可轻松解决多方面的数学问题，是研究初中数学的有效工具之一，也是培养学生提高分析解题能力的好工具。

参考文献：

刘锦海.与数轴有关的问题.中学课程辅导：初一版，2004（08）.

（作者单位 甘肃省酒泉市育才学校）

？誗编辑 张珍珍