“外接球问题”解法小议

周晓瑞

摘 要：多面体的外接球是一个使得该多面体的所有顶点都在其上的球面，每个多面体至多有一个外接球，也就是说，如果某个多面体有外接球，那么它的外接球是唯一的.由于这个唯一性使得外接球问题成为历年高考的热点，也成了学生眼中的难点，为了让学生能快速、准确地解决这类问题，归纳总结几种常用的解答方法：性质法；构造法：根据多面体的特征常构造长方体、正方体、直棱柱等；逐个击

破法.

关键词：外接球；性质法；构造法；长方体；正方体；直棱柱；逐个击破法

.

分析：正四面体的各条棱均相等，且相对的棱异面垂直，而正方体的所有面对角线均相等，且相对的两个面内的异面对角线还互相垂直，故我们可以采用构造正方体的方法求解.

3.构造直棱柱

∴三棱锥D-ABC的外接球就是直三棱柱ABC-FDE的外接球.

设△ABC、△DEF的外接圆圆心分别为O1、O2，连接O1O2，则直三棱柱ABC-FDE的外接球球心就是线段O1O2的中点O，连接OC、O1C

规律小结：

在下列情形之下，常用构造法解决外接球问题：

（1）三棱锥的三条侧棱两两互相垂直时，常构造长方体，特别地，当三棱锥的三条侧棱两两互相垂直且相等时，可直接构造正方体.

（2）三棱锥的对棱相等时，常构造长方体，特别地，当三棱锥的各条棱相等，即为正四面体时，可直接构造正方体.

（3）三棱锥的四个面均是直角三角形时，可构造长方体.

（4）三棱锥只有一条侧棱与底面垂直时，可构造直棱柱.

方法三：逐个击破法

根据几何体的外接球的定义知，外接球的球心到几何体的各顶点的距离均相等，即只要确定了球心所处的准确位置，半径也就迎刃而解了.所以在有些题目中，我们可以采取“先找到满足到部分点距离相等的点集A，再找到满足到剩余点距离相等的点集B，而后取A和B的交集”的办法，就可以找到球心，即各个击破，逐步满足.

规律小结：

当几何体的各个表面中有部分或全部是可以确定外接圆圆心或半径的平面几何图形（如正三角形、直角三角形等）时，均可采用“逐个击破法”求解.

（作者单位 山西省保德中学）

编辑 谢尾合endprint

摘 要：多面体的外接球是一个使得该多面体的所有顶点都在其上的球面，每个多面体至多有一个外接球，也就是说，如果某个多面体有外接球，那么它的外接球是唯一的.由于这个唯一性使得外接球问题成为历年高考的热点，也成了学生眼中的难点，为了让学生能快速、准确地解决这类问题，归纳总结几种常用的解答方法：性质法；构造法：根据多面体的特征常构造长方体、正方体、直棱柱等；逐个击

破法.

关键词：外接球；性质法；构造法；长方体；正方体；直棱柱；逐个击破法

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分析：正四面体的各条棱均相等，且相对的棱异面垂直，而正方体的所有面对角线均相等，且相对的两个面内的异面对角线还互相垂直，故我们可以采用构造正方体的方法求解.

3.构造直棱柱

∴三棱锥D-ABC的外接球就是直三棱柱ABC-FDE的外接球.

设△ABC、△DEF的外接圆圆心分别为O1、O2，连接O1O2，则直三棱柱ABC-FDE的外接球球心就是线段O1O2的中点O，连接OC、O1C

规律小结：

在下列情形之下，常用构造法解决外接球问题：

（1）三棱锥的三条侧棱两两互相垂直时，常构造长方体，特别地，当三棱锥的三条侧棱两两互相垂直且相等时，可直接构造正方体.

（2）三棱锥的对棱相等时，常构造长方体，特别地，当三棱锥的各条棱相等，即为正四面体时，可直接构造正方体.

（3）三棱锥的四个面均是直角三角形时，可构造长方体.

（4）三棱锥只有一条侧棱与底面垂直时，可构造直棱柱.

方法三：逐个击破法

根据几何体的外接球的定义知，外接球的球心到几何体的各顶点的距离均相等，即只要确定了球心所处的准确位置，半径也就迎刃而解了.所以在有些题目中，我们可以采取“先找到满足到部分点距离相等的点集A，再找到满足到剩余点距离相等的点集B，而后取A和B的交集”的办法，就可以找到球心，即各个击破，逐步满足.

规律小结：

当几何体的各个表面中有部分或全部是可以确定外接圆圆心或半径的平面几何图形（如正三角形、直角三角形等）时，均可采用“逐个击破法”求解.

（作者单位 山西省保德中学）

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摘 要：多面体的外接球是一个使得该多面体的所有顶点都在其上的球面，每个多面体至多有一个外接球，也就是说，如果某个多面体有外接球，那么它的外接球是唯一的.由于这个唯一性使得外接球问题成为历年高考的热点，也成了学生眼中的难点，为了让学生能快速、准确地解决这类问题，归纳总结几种常用的解答方法：性质法；构造法：根据多面体的特征常构造长方体、正方体、直棱柱等；逐个击

破法.

关键词：外接球；性质法；构造法；长方体；正方体；直棱柱；逐个击破法

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分析：正四面体的各条棱均相等，且相对的棱异面垂直，而正方体的所有面对角线均相等，且相对的两个面内的异面对角线还互相垂直，故我们可以采用构造正方体的方法求解.

3.构造直棱柱

∴三棱锥D-ABC的外接球就是直三棱柱ABC-FDE的外接球.

设△ABC、△DEF的外接圆圆心分别为O1、O2，连接O1O2，则直三棱柱ABC-FDE的外接球球心就是线段O1O2的中点O，连接OC、O1C

规律小结：

在下列情形之下，常用构造法解决外接球问题：

（1）三棱锥的三条侧棱两两互相垂直时，常构造长方体，特别地，当三棱锥的三条侧棱两两互相垂直且相等时，可直接构造正方体.

（2）三棱锥的对棱相等时，常构造长方体，特别地，当三棱锥的各条棱相等，即为正四面体时，可直接构造正方体.

（3）三棱锥的四个面均是直角三角形时，可构造长方体.

（4）三棱锥只有一条侧棱与底面垂直时，可构造直棱柱.

方法三：逐个击破法

根据几何体的外接球的定义知，外接球的球心到几何体的各顶点的距离均相等，即只要确定了球心所处的准确位置，半径也就迎刃而解了.所以在有些题目中，我们可以采取“先找到满足到部分点距离相等的点集A，再找到满足到剩余点距离相等的点集B，而后取A和B的交集”的办法，就可以找到球心，即各个击破，逐步满足.

规律小结：

当几何体的各个表面中有部分或全部是可以确定外接圆圆心或半径的平面几何图形（如正三角形、直角三角形等）时，均可采用“逐个击破法”求解.

（作者单位 山西省保德中学）

编辑 谢尾合endprint