普通积分与随机积分的异同探究

史琼怡　毕露霞

摘 要：选取黎曼积分、黎曼—斯第杰斯积分作为普通积分，伊藤积分作为随机积分探究普通微积分与随机微积分的异同，分别比较三种积分在定义、性质上的异同点，并着重探讨它们的差异性。随机积分的求解可根据普通积分定义的四个步骤进行，可认为是普通积分的延伸。但由于两者的性质不同，它与普通积分有着较为明显的差异。从它们的图像、积分过程的取分割点、收敛性方面讨论它们的差异性，并得出结论。

关键词：黎曼积分；伊藤积分；异同；收敛

在普通积分里面，积分变量就是一般的实变量，而随机微积分的积分变量是布朗运动，在数学上严格的定义和构造布朗运动较为复杂。以下对普通积分与随机积分的异同探究时，我们分别选取黎曼积分、黎曼—斯第杰斯积分作为普通积分的代表，以伊藤积分作为随机积分的代表，比较它们在定义、性质上的异同点，并着重探讨它们的差异性。

一、相同点及联系

1.黎曼积分、黎曼—斯第杰斯积分

2.随机积分

iv.求极限R：由于布朗运动的性质，它在任何有限区间上，布朗运动无有界变差。因此，求解随机积分不能用通常意义上的R-S积分规则来处理。

归纳总结：由上分析可归纳得：随机积分的求解可根据普通积分定义的四个步骤进行，可认为是普通积分的延伸。

二、普通积分与随机积分的差异性

1.图像比较

设一个随机过程（Bt）t∈[0，∞），它在一个微小时间间隔Δt之间内的变化为ΔB。若遵循布朗运动，则需满足两个条件：

（2）对于任何两个不同时间间隔，ΔB的值相互独立。

2.积分过程取点比较

由上分析知：随机积分的分割点的取法将影响积分值，而普通积分的结果与分割点的取法无关。

3.收敛性比较

黎曼积分存在的充分条件是：被积函数连续且仅有有限个间断点；黎曼—斯第杰斯积分存在，则需满足以下两个条件：

（1）f（x），g（x）在0，1上没有相同的间断点；

（2）f（x）有p-有界变差，g（x）有q-有界变差，p-1+q-1>1。

果明显不同。

4.积分结果比较

普通积分结果为常数或含有参数的式子，但在随机积分中积分结果含有随机变量BT（w）。

归纳总结：随机微积分与普通微积分有较多不同之处，从图像来看，布朗运动关于自身的变上限Ito随机积分的图像处处连续但不可导，而变上限的普通积分的图像处处可导；从积分过程的取分割点来看，随机积分中不同的分割点对积分结果有直接的影响，但普通积分中的分割取点与积分结果无关；在收敛性方面，随机积分为均方收敛，普通积分中为逐点收敛；普通积分结果为常数或含有参数的式子，但在随机积分中结果含有随机变量。

参考文献：

[1]张卓奎，陈慧婵.随机过程[M].西安电子科技大学出版社，2003.

[2]Lawrence C. Evans. An Introduction To Stochastic Differen-tial Equations[M].Version1.2，UC Berkeley，2006.

[3]华东师范大学数学系.数学分析：第四版.高等教育出版社，2010.

[4]麦考斯基.随机分析基础：英文版.（Elementary Stochastic Calculus.世界图书出版公司，2009.

（作者单位 浙江师范大学）

编辑 王团兰endprint

摘 要：选取黎曼积分、黎曼—斯第杰斯积分作为普通积分，伊藤积分作为随机积分探究普通微积分与随机微积分的异同，分别比较三种积分在定义、性质上的异同点，并着重探讨它们的差异性。随机积分的求解可根据普通积分定义的四个步骤进行，可认为是普通积分的延伸。但由于两者的性质不同，它与普通积分有着较为明显的差异。从它们的图像、积分过程的取分割点、收敛性方面讨论它们的差异性，并得出结论。

关键词：黎曼积分；伊藤积分；异同；收敛

在普通积分里面，积分变量就是一般的实变量，而随机微积分的积分变量是布朗运动，在数学上严格的定义和构造布朗运动较为复杂。以下对普通积分与随机积分的异同探究时，我们分别选取黎曼积分、黎曼—斯第杰斯积分作为普通积分的代表，以伊藤积分作为随机积分的代表，比较它们在定义、性质上的异同点，并着重探讨它们的差异性。

一、相同点及联系

1.黎曼积分、黎曼—斯第杰斯积分

2.随机积分

iv.求极限R：由于布朗运动的性质，它在任何有限区间上，布朗运动无有界变差。因此，求解随机积分不能用通常意义上的R-S积分规则来处理。

归纳总结：由上分析可归纳得：随机积分的求解可根据普通积分定义的四个步骤进行，可认为是普通积分的延伸。

二、普通积分与随机积分的差异性

1.图像比较

设一个随机过程（Bt）t∈[0，∞），它在一个微小时间间隔Δt之间内的变化为ΔB。若遵循布朗运动，则需满足两个条件：

（2）对于任何两个不同时间间隔，ΔB的值相互独立。

2.积分过程取点比较

由上分析知：随机积分的分割点的取法将影响积分值，而普通积分的结果与分割点的取法无关。

3.收敛性比较

黎曼积分存在的充分条件是：被积函数连续且仅有有限个间断点；黎曼—斯第杰斯积分存在，则需满足以下两个条件：

（1）f（x），g（x）在0，1上没有相同的间断点；

（2）f（x）有p-有界变差，g（x）有q-有界变差，p-1+q-1>1。

果明显不同。

4.积分结果比较

普通积分结果为常数或含有参数的式子，但在随机积分中积分结果含有随机变量BT（w）。

归纳总结：随机微积分与普通微积分有较多不同之处，从图像来看，布朗运动关于自身的变上限Ito随机积分的图像处处连续但不可导，而变上限的普通积分的图像处处可导；从积分过程的取分割点来看，随机积分中不同的分割点对积分结果有直接的影响，但普通积分中的分割取点与积分结果无关；在收敛性方面，随机积分为均方收敛，普通积分中为逐点收敛；普通积分结果为常数或含有参数的式子，但在随机积分中结果含有随机变量。

参考文献：

[1]张卓奎，陈慧婵.随机过程[M].西安电子科技大学出版社，2003.

[2]Lawrence C. Evans. An Introduction To Stochastic Differen-tial Equations[M].Version1.2，UC Berkeley，2006.

[3]华东师范大学数学系.数学分析：第四版.高等教育出版社，2010.

[4]麦考斯基.随机分析基础：英文版.（Elementary Stochastic Calculus.世界图书出版公司，2009.

（作者单位 浙江师范大学）

编辑 王团兰endprint

摘 要：选取黎曼积分、黎曼—斯第杰斯积分作为普通积分，伊藤积分作为随机积分探究普通微积分与随机微积分的异同，分别比较三种积分在定义、性质上的异同点，并着重探讨它们的差异性。随机积分的求解可根据普通积分定义的四个步骤进行，可认为是普通积分的延伸。但由于两者的性质不同，它与普通积分有着较为明显的差异。从它们的图像、积分过程的取分割点、收敛性方面讨论它们的差异性，并得出结论。

关键词：黎曼积分；伊藤积分；异同；收敛

在普通积分里面，积分变量就是一般的实变量，而随机微积分的积分变量是布朗运动，在数学上严格的定义和构造布朗运动较为复杂。以下对普通积分与随机积分的异同探究时，我们分别选取黎曼积分、黎曼—斯第杰斯积分作为普通积分的代表，以伊藤积分作为随机积分的代表，比较它们在定义、性质上的异同点，并着重探讨它们的差异性。

一、相同点及联系

1.黎曼积分、黎曼—斯第杰斯积分

2.随机积分

iv.求极限R：由于布朗运动的性质，它在任何有限区间上，布朗运动无有界变差。因此，求解随机积分不能用通常意义上的R-S积分规则来处理。

归纳总结：由上分析可归纳得：随机积分的求解可根据普通积分定义的四个步骤进行，可认为是普通积分的延伸。

二、普通积分与随机积分的差异性

1.图像比较

设一个随机过程（Bt）t∈[0，∞），它在一个微小时间间隔Δt之间内的变化为ΔB。若遵循布朗运动，则需满足两个条件：

（2）对于任何两个不同时间间隔，ΔB的值相互独立。

2.积分过程取点比较

由上分析知：随机积分的分割点的取法将影响积分值，而普通积分的结果与分割点的取法无关。

3.收敛性比较

黎曼积分存在的充分条件是：被积函数连续且仅有有限个间断点；黎曼—斯第杰斯积分存在，则需满足以下两个条件：

（1）f（x），g（x）在0，1上没有相同的间断点；

（2）f（x）有p-有界变差，g（x）有q-有界变差，p-1+q-1>1。

果明显不同。

4.积分结果比较

普通积分结果为常数或含有参数的式子，但在随机积分中积分结果含有随机变量BT（w）。

归纳总结：随机微积分与普通微积分有较多不同之处，从图像来看，布朗运动关于自身的变上限Ito随机积分的图像处处连续但不可导，而变上限的普通积分的图像处处可导；从积分过程的取分割点来看，随机积分中不同的分割点对积分结果有直接的影响，但普通积分中的分割取点与积分结果无关；在收敛性方面，随机积分为均方收敛，普通积分中为逐点收敛；普通积分结果为常数或含有参数的式子，但在随机积分中结果含有随机变量。

参考文献：

[1]张卓奎，陈慧婵.随机过程[M].西安电子科技大学出版社，2003.

[2]Lawrence C. Evans. An Introduction To Stochastic Differen-tial Equations[M].Version1.2，UC Berkeley，2006.

[3]华东师范大学数学系.数学分析：第四版.高等教育出版社，2010.

[4]麦考斯基.随机分析基础：英文版.（Elementary Stochastic Calculus.世界图书出版公司，2009.

（作者单位 浙江师范大学）

编辑 王团兰endprint