仿射性质在初等几何中的应用

秦进 简萱慧

摘 要： 本文体现克莱因几何观点，介绍仿射变换的几个性质，利用仿射变换的不变量和不变性解决初等几何问题，体现了高等几何对初等几何的指导意义.

关键词： 仿射性质 初等几何 应用

近代几何发展有重要意义的克莱因（F.Klein）观点，把变换群与几何学联系起来给几何学以新的定義.图形在仿射变换群下的不变性和不变量的命题系统构成了仿射几何，它是从欧氏几何到射影几何的桥梁，研究仿射变换在初等几何中的应用，有利于我们开阔视野，扩大几何领域，提高认识.利用仿射性质解决初等几何问题的要抓住“不变”两字.当涉及有关点线结合、直线平行和面积之比等问题，适当利用仿射变换解决某些初等几何问题，可以使问题化繁为简，转难为易.

1.仿射性质

定义：若两个平面间（平面到自身）的一个点的对应（变换）保持同素性，结合性和共线三点的单比不变，则这个点对应（变换）称为仿射对应（仿射变换）.

性质1：保持同素性、结合性和共线三点单比是仿射不变.

性质2：两条平行直线具有仿射不变性.

性质3：两个封闭图形面积之比是仿射不变量.

2.仿射性质的应用

2.1有关平行命题的证明

高等几何的原理和方法在初等几何中应用非常广泛，利用高等几何的思想方法解决初等几何问题，它具有独特的巧妙、灵活等特点.加强高等几何和初等几何的联系，便于更深刻地认识和掌握初等几何，利于指导初等几何的教学与研究，在更高层面上理解几何空间的基本特性、研究方法及内在联系，深刻体会几何的本质.

参考文献：

[1]梅向明等.高等几何[M].北京：高等教育出版社，1983.

[2]罗崇善.高等几何[M].北京：高等教育出版社，1999.