时间C0-连续一次有限元法的先验误差分析

赖军将

（闽江学院 数学系,福建 福州350108）

时间C0-连续一次有限元法的先验误差分析

赖军将

（闽江学院 数学系,福建 福州350108）

对于变系数二阶常微分方程的初值问题，应用时间C0-连续一次有限元方法数值求解。在对网格剖分的适当限制下，获得了数值方法的稳定性结果。赋以有限元空间相应的范数，证明了在该范数意义下方法的先验误差估计。数值实验结果验证了该方法的收敛率。

连续一次有限元；误差分析；稳定性；收敛性

引言

时间连续有限元方法是数值求解微分方程的一种有效算法[1-3].对于二阶常微分方程初值问题,文献[4]给出了相应的时间C0-连续有限元法计算格式,并且得到了时间C0-连续m(m≥2)次有限元方法的先验误差估计.文献[5]对于一类二阶常系数齐次线性常微分方程,采用直接计算的方法获得了时间C0-连续一次有限元法的先验误差估计.文献[3]采用时间连续有限元法数值求解二阶发展问题，进行了后验误差分析并提出了一个自适应算法.

本文对于一般情形的变系数二阶常微分方程的初值问题,在文献[5-7]的基础上,利用回收技巧[1]和离散Gronwall引理[8],获得了时间C0-连续一次有限元法对初值的稳定性.并且对有限元空间赋以相应的范数,证明了在此范数意义下的先验误差估计结果.

本文使用Sobolev空间的标准符号[9].对于ν(t)∈H2（0，T）,定义

将“≤C…”简记为“^…”,其中正常数C在不同地方可取不同的值,它与方程右端项,真解函数以及网格剖分尺寸无关.

1 求解格式与相容性

讨论二阶常微分方程的初值问题[7]:

初值u0与ν0事先给定，已知函数p,q,f适当光滑,并设

其中C0,C1,C2,及C3都为正常数.

对求解区间I=（0，T）进行拟一致剖分:t0=0

这里,空间P1(In)由In上所有次数不超过1的多项式组成.于是数值求解问题(1)的时间C0-连续一次有限元法为[4-5]:求U(t)∈Sk使得从这里开始,分别用u和U表示方程(1)及(3)的解,并假设有正则性u∈H2（I）.于是下式恒成立,

在式（3）中,对n从1到N求和得到

从而由式（4）-（5）可知

即时间C0-连续一次有限元法具有相容性.

2 稳定性分析

赋以有限元空间Sk以下范数,

引理1对w∈Sk以下等式成立,

综合式（6）和式（9）-（11）得证引理.

引理2对w∈Sk以下不等式成立,

证明 由于w∈Sk,在任一区间In上w可线性表示成

由直接积分,且应用算术几何平均值不等式可获得证明.

利用引理1,(5)式和式(7),若f(t)=0,则有

由T的任意性,得到了下述稳定性定理.

定理1 设U∈Sk为方程(3)的解,f=0且条件(2)满足.则当k

3 误差估计

记u在Sk中的分段线性插值函数为πu,即有

4 数值实验

考虑二阶常微分方程初值问题

采用时间C0-连续一次有限元法求解以上问题并取均匀剖分计算.表1列出了取不同步长时的误差,表明都小于某一有界常数,而且在||·||||意义下此方法具有阶的收敛速度[11].

表1 取不同步长的误差

由表1中的误差结果,可获得图1所示的双对数误差图,从图1可知,经取对数后的误差结果落在斜率为－的一条线段上,即验证了在意义下此方法收敛阶为阶,与定理2的结论相吻合.

图1 取不同步长的双对数误差

以下采用时间C0-连续一次有限元法（18）(简称CG1)及几类典型的时间离散化格式[12]求解初值问题

分别采用CG1方法,三层格式 （θ=0）[12],两层格式（θ1=1，θ2=1/2）[12]及两层格式（θ1=θ2=1）[12]进行数值计算,记以上方法在T=1处数值解的误差绝对值分别为e1，e2，e3和e4， 自由度数 (未知量数)为NDOF，表2给出了不同方法的误差结果,表明在自由度数相同的情况下求解以上问题,CG1方法获得的数值解在时间节点处较其它方法准确.图2给出了相同自由度数时由不同方法获得的解曲线,从此图可知,用CG1方法求解以上问题获得的数值解较其它方法更逼近精确解.

表2 不同方法的节点误差

图2 不同方法获得的解曲线,NDOF=60

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[责任编辑：桂传友]

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A

1674-1102(2014)06-0025-04

10.13420/j.cnki.jczu.2014.06.006

2014-07-06

国家自然科学基金资助项目(11101199);福建省高等学校新世纪优秀人才支持计划资助(JA12260)。

赖军将(1977-),男,湖南攸县人,闽江学院数学系副教授，博士，主要从事科学计算研究。