广义代数几何码探究

王 贞

（池州学院 数学与计算机科学系，安徽 池州247000）

广义代数几何码探究

王 贞

（池州学院 数学与计算机科学系，安徽 池州247000）

广义代数几何码是通过有限域上的代数函数域中一些次数较低的位而得到的一种码。在此基础上,通过构造函数域码和广义代数几何码的子域子码，从而得到参数更好的线性码。

位；代数几何码；函数域码；子域子码

1 引言

20世纪70年代，Goppa[1]首先利用有限域上的代数曲线来构造码。20世纪80年代初，Tsfasman[2]等人将Goppa思想与代数几何相结合，构造出一系列纠错码，使其信息率超过Gilbert-Varshamov界。代数几何码主要利用有限域上代数曲线的有理点构造线性码。对于有限域，当较小时，建立在其上的代数曲线的有理点很难构造出好的代数几何码。由于这样的局限性，人们尝试用次数高于1的位去构造线性码，并取得了好的渐近系数[3-4]。

Xing[5]通过高次数级联码构造广义代数几何码，将代数几何码进行推广，并且得到非常好的线性码。本文在此基础上，通过构造其子域子码，得到参数更好的线性码。

2 预备知识

对于任意一个Fr(x)中除子G，向量空间

是一个有限维线性空间，由Riemann-Roch定理[6],

其中g为x的亏格。当deg（G）≥2g-1时，（2）式取等号。

令P1，P2， …，Ps为x上s个互不相同的位，deg(Pi)=ki，1≤i≤s，且满足supp(G)∩{P1，P2，…，Ps}=.

定义1[7]函数域码是Fr(x)一个非零有限维的Fr线性子空间V满足：

Ci表示r元线性码[ni，ki=deg（Pi）,di],1≤i≤s。 πi表示Fr上Frki到Ci的单同态。令

定义2[5]上述映射α的象称为广义代数几何码，记为C（P1，P2，…Ps；G；C1，…Cs）.

当Pi为有理位时，有ni=ki=di=1，1≤i≤s，C（P1，P2，…Ps；G；C1，…Cs）为Goppa代数几何码。

3 主要结论

令C是Fr上线性码[N0，K0，D0]，为Fq上线性码[N0，K0，D0]，C|Fq称为C的子域子码，k0≥sK0-（s-1）N0，d0≥D[8]。 从而得到：

定理3 设C（P1，P2，…Ps；G；C1，…Cs）为来自函数域码V（G）的广义代数几何码[N，K，D]，C（P1，P2，…Ps；G；C1，…Cs）|Fq为其子域子码[N，K，d]，则，k≥sK-（s-1）N，d≥D.

通过有限域Fr上函数域码V（G）来构造广义几何码C（P1，P2，…Ps；G；C1，…Cs），该广义几何码具有非常的参数。在此基础上，进一步构造广义几何码的子域子码，由定理3可以看出，其子域子码有更好的参数。

[1]V D Goppa,Codes associated with divisors[J].Probl.Inform.Transm.1977,13:22-26.

[2]M A Tsfasman.S.G.Vlǎdut,and T.Zink.Modular curves,Shimura curves and Goppa codes,better than Varshamov-Gilbert bound.Math[J].Nachriechten,1982,109:21-28.

[3]H Niederreiter,C P Xing,and K Y Lam,A new construction of algebraic-geometry codes[J].Applicable Algebra Engineering.Comm.Comput,1999(9)373-381.

[4]Wanbao Hu,Zhen Wang,Improvements on the distance of onepoint codes using places of higher degree[J].Procedia Engineering，2011(15)：1711-1715.

[5]Chaoping Xing,Harald Niederriter,and Kwok Yan Lam,A Generalization of Algebraic Geometry Codes[J].IEEE transations on information theory,1999(7):1123-1127.

[6]H.Stichtenoth.Algebraic Function Fields and Codes[M].Berlin:Springer-Verlag,1993.

[7]Hachenberger D,Niederreiter H,Chaoping Xing Functionfield codes[J].Applicable Algebra in Engineering,Communication and Computing,2008,19(3):201-211.

[8]Chaoping Xing,San Ling,A class linear codes good parameters from algebraic curves[J].IEEE Inform Theory,2000,46(4):1527-1532.

[责任编辑：桂传友]

O175

A

1674-1102(2014)06-0039-02

10.13420/j.cnki.jczu.2014.06.010

2014-07-23

池州学院研究生引进启动项目（2011RC035）。

王贞（1987-）,男，安徽东至人，池州学院数学与计算机科学系助教，硕士,研究方向为代数编码。