关于高中数学教材中应用问题的思考

郭海萍

现行的高中数学教材把培养学生应用数学的意识贯穿在教材编写的始末，在教材设计方面做了深层次的考虑，编入了很多联系实际的数学问题.本文就人教A版普通高中课程标准实验教科书《数学》的必修1至必修5中所涉及的数学应用问题展开思考.

1.应用问题的分布概况

（1）在引言、例习题中的分布情况

教材中每一章的序言及每一节的开始，都编排了一些实际问题引出该章节的知识内容，突出了数学知识的实际背景.在例题、习题中编入了许多贴近学生生活实际或与其他学科相关的应用问题.

（2）安排了21个“阅读与思考”和6次“探究与发现”活动

①有关历史故事方面.如必修1《集合和函数概念》中的“函数概念的发展历程”，《基本初等函数》中的“对数的发明”，《函数的应用》中的“中外历史上的方程求解”；必修3《概率》中的“天气变化的认识过程”、“概率与密码”；必修5《解三角形》中的“海伦和秦九韶”等都涉及数学概念的实际背景.

②有关数学应用方面.如必修2《空间几何体》中的“画法几何与蒙日”，《直线与方程》中的“魔术师的地毯”；必修3《算法初步》中“割圆术”，《统计》中的“广告中数据的可靠性”、“如何得到敏感性问题的诚实反应”、“生产过程中的质量控制图”；必修5《数列》中“购房中的数学”等都体现了数学的重要应用.

③扩充知识方面.如必修2《空间几何体》中的“祖暅原理与几何体的体积”；必修5《解三角形》中的“解三角形的进一步讨论”，《数列》中的“斐波那契数列”、“九连环”等拓宽了学生的知识面.

（3）安排了5次实习作业

《集合和函数概念》中有关“函数概念发展的历史”的实习作业，让学生了解函数形成和发展的历史；《函数的应用》中“牛顿冷却模型”的实习作业，让学生体会函数模型的应用价值；通过完成《统计》中的抽样调查、收集数据并整理分析的相关作业，使学生体会运用数学知识和方法发现身边事物发展的一些规律；《解三角形》中要求做一个有关测量的实习作业，让学生真正把握测量物体高度和长度的方法，体会数学在生活中的应用.

由此可见，人教A版教材的必修系列较好地体现了数学应用的理念，通过一些历史材料和现实背景阐述了数学的实际应用，形式多样，背景充实，把数学编得有血有肉，有助于提高学生学习数学的兴趣.

2.存在的问题

通过教学实践及对教材的再认识，发现教材中的应用问题存在如下不足：

（1）有些应用问题不够贴近“实际”

例如必修2《直线与圆的位置关系》的导入问题：“一艘轮船在沿直线返港的途中，接到台风预报：台风中心位于轮船正西70km处，影响的范围是半径为30km长的圆形区域，港口位于台风中心正北40km处，若这艘轮船不改变航线继续行驶，那么它是否会受到台风的影响？”教材视台风中心固定不动，显然，这与实际不符，会让学生产生误会和疑惑.

（2）有些背景材料应用意义不大

例如在必修3《概率》中虽然编入了许多现实社会中常见的中奖概率、密码设置等问题，但大多数是摸球、排数字、抽取产品等问题，这些材料的应用意义不大，很难让学生感受到概率对于生活的用处之大，有可能挫伤学生的学习情感，影响学生学习能动性的发挥.我们应该多关注一些贴近生活的例子，使学生对数学产生亲和力，例如运用频率和地理知识了解“降水量几年一遇”问题，运用概率和生物知识分析“子女是哪一种血型”问题，等等.

（3）真正体现建模过程的应用题偏少

虽然《函数模型的应用实例》和《三角函数模型的简单应用》中的一些例题有体现建立函数模型解决实际问题的基本过程，也展现信息技术的应用过程，但教材中真正体现建模过程的应用题还是偏少。许多应用题的条件不多不少，没有多余的干扰信息，目标指向明确，最后的答案也是唯一的，没有真正体现从实际问题抽象到数学问题的数学化过程，这就剥夺了学生发现问题、创造性地解决问题的机会.教师在教学过程中必须开发“好”的应用问题，作为应用教学的素材.

此外，由于很多教师认为高中数学课时紧张，因此把为数不多的实习作业和研究性学习“压缩”了，甚至“砍掉”了，更不用说要开展“数学建模”活动了.

3.构建恰当的数学应用教学素材

实施数学应用教学要以应用问题为载体，那么什么样的问题才是适合中学生的“好”问题呢？笔者认为应具备以下特点：①适合中学生的数学知识水平，要用到数学知识、思想和方法解决，且“可读性”好，不需补充大量其他知识就可入手；②有生活、生产、社会、科技等实际背景，有利于学生了解一般社会知识与科学知识；③能体现出数学建模求解过程；④有较强的趣味性、典型性，使学生逐渐形成科学解题的思想方法；⑤能发挥计算机（器）在求解中的作用等.事实上，数学应用问题很难同时具备上述这些特点，但这些特点为我们收集、整理、加工、构建“好”的问题提供了参考标准.

除了从教材中挖掘数学应用素材外，还可以通过以下方式寻得“好”问题.一是从生活实际中提炼出问题.日常生活是数学应用问题的源泉之一，我们应当鼓励学生从现实生活中寻找与数学有关的，又能用数学知识解决的实际问题，让学生经历一个完整的发现问题、提出问题和解决问题的过程；二是从中学数学教育方面的书籍、报刊上整理.通过查找有关中学数学应用方面的优秀书籍和中学数学杂志，以及网络搜索的方式等，都能收集到适合于中学生的数学应用素材；三是从中学生数学知识应用竞赛题中引用.各届中学生数学知识应用竞赛中有很多好问题，可以适度加以变式引用.

4.教学建议

在数学教学中，教师必须结合课程内容将数学的应用不断地融入日常教学活动中，方可取得满意的效果.

（1）数学具有高度抽象性，对基本概念的理解，要注重引导学生经历从具体实例中抽象出数学概念的过程，然后在应用中逐渐理解概念的本质.在高中数学课程中，有许多重要的数学概念，如函数、数列、算法、统计、概率、向量、线性规划、圆锥曲线、导数等都有丰富的实际背景，在教学中要注重通过实际背景理解这些概念，使抽象的数学概念变得具体生动，有助于学生进一步理解和应用.endprint

（2）加强数学应用，就应当站在构建数学模型的高度认识和实施数学应用教学，侧重于培养学生能从实际问题中提出并用数学语言表述问题的能力，初步构建数学模型的能力，对数学问题进行变换化归并解决的能力，对数学结果进行检验、评价和阐释的能力等，在数学应用教学中要对以上各种能力的培养分步落实.

现以函数模型应用为例展开教学构想.

对于函数模型的应用，在学生能够用函数刻画现实生活问题的基础上，我们将函数应用分两个层次，第一层次是进行数学模型的套用，在高中阶段，指数函数、对数函数、一次函数、二次函数、幂函数、三角函数等都是重要的函数模型，很多实际问题都是这些模型的直接应用.

例1：某星级旅馆有300个标准房，经过一段时间的经营，经理得到一些定价和住房率（平均每天情况）的数据如下：

欲使每天的营业额最高，那么应如何定价？

分析：根据已知数据，可假设该旅馆客房的定价最高为160元，并且在各价位之间，房价与住房率二者存在线性关系.

现将实际问题化为数学问题：设旅馆一天的客房总营业额为y，与房价160元相比所降低的房价为20x元，因此当房价为（160-20x）元时，住房率为（55+10x）%，则

y=300×（160-20x）×（55+10x）%

解数学问题：由于（55+10x）%≤1，可得0≤x≤4.5.

问题转化为：求当0≤x≤4.5时，y的最大值.

y=300（-2x +5x+88），根据图像知y在x=1.25时取得最大值，此时房价定价为160-25=135（元），相应的住房率为67.5%，总营业额最大为27337.5元.

还原到实际中：欲使每天的营业额最高，该客房应定价为135元，当然，在实际中为了便于管理，定价140元也是合理的.

例2：请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥.试问当帐篷的顶点O到底面中心O 的距离为多少时，帐篷的体积最大？

这是生活中的优化问题，通过解答能让学生感受到数学在解决实际问题中的重要作用.

函数应用的第二层次是进行简单的数学建模，可以让学生思考如下问题：

例3：下表所示的是某地区不同身高的未成年男性的体重平均值：

若体重超过相同身高男性体重平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么这个地区的一名身高为175cm，体重为78kg的中学男生的体重是偏胖还是偏瘦？

在教学过程中，此例应让学生借助计算机作出散点图，进行数据拟合，让学生经历分析数据、构造函数模型（尝试寻找合适的函数进行描述问题中两个变量的关系）、检验模型等过程，从而培养学生的数据处理能力.

当然，数学模型的应用不能只局限于课堂上，而应该适当向课外延伸，如布置学生收集函数模型应用问题，并做分析与思考，写心得体会，教师组织学生开展交流活动，这样的作业可收到出人意料的效果.

参考文献：

[1]廖金祥.谈高中数学新课程教学应用问题的背景设计[J].福建教育学院学报，2008，12

[2]彭春春.对高中数学新教材中数学应用问题的几点思考[J].中学数学杂志，2008，7.endprint

（2）加强数学应用，就应当站在构建数学模型的高度认识和实施数学应用教学，侧重于培养学生能从实际问题中提出并用数学语言表述问题的能力，初步构建数学模型的能力，对数学问题进行变换化归并解决的能力，对数学结果进行检验、评价和阐释的能力等，在数学应用教学中要对以上各种能力的培养分步落实.

现以函数模型应用为例展开教学构想.

对于函数模型的应用，在学生能够用函数刻画现实生活问题的基础上，我们将函数应用分两个层次，第一层次是进行数学模型的套用，在高中阶段，指数函数、对数函数、一次函数、二次函数、幂函数、三角函数等都是重要的函数模型，很多实际问题都是这些模型的直接应用.

例1：某星级旅馆有300个标准房，经过一段时间的经营，经理得到一些定价和住房率（平均每天情况）的数据如下：

欲使每天的营业额最高，那么应如何定价？

分析：根据已知数据，可假设该旅馆客房的定价最高为160元，并且在各价位之间，房价与住房率二者存在线性关系.

现将实际问题化为数学问题：设旅馆一天的客房总营业额为y，与房价160元相比所降低的房价为20x元，因此当房价为（160-20x）元时，住房率为（55+10x）%，则

y=300×（160-20x）×（55+10x）%

解数学问题：由于（55+10x）%≤1，可得0≤x≤4.5.

问题转化为：求当0≤x≤4.5时，y的最大值.

y=300（-2x +5x+88），根据图像知y在x=1.25时取得最大值，此时房价定价为160-25=135（元），相应的住房率为67.5%，总营业额最大为27337.5元.

还原到实际中：欲使每天的营业额最高，该客房应定价为135元，当然，在实际中为了便于管理，定价140元也是合理的.

例2：请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥.试问当帐篷的顶点O到底面中心O 的距离为多少时，帐篷的体积最大？

这是生活中的优化问题，通过解答能让学生感受到数学在解决实际问题中的重要作用.

函数应用的第二层次是进行简单的数学建模，可以让学生思考如下问题：

例3：下表所示的是某地区不同身高的未成年男性的体重平均值：

若体重超过相同身高男性体重平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么这个地区的一名身高为175cm，体重为78kg的中学男生的体重是偏胖还是偏瘦？

在教学过程中，此例应让学生借助计算机作出散点图，进行数据拟合，让学生经历分析数据、构造函数模型（尝试寻找合适的函数进行描述问题中两个变量的关系）、检验模型等过程，从而培养学生的数据处理能力.

当然，数学模型的应用不能只局限于课堂上，而应该适当向课外延伸，如布置学生收集函数模型应用问题，并做分析与思考，写心得体会，教师组织学生开展交流活动，这样的作业可收到出人意料的效果.

参考文献：

[1]廖金祥.谈高中数学新课程教学应用问题的背景设计[J].福建教育学院学报，2008，12

[2]彭春春.对高中数学新教材中数学应用问题的几点思考[J].中学数学杂志，2008，7.endprint

（2）加强数学应用，就应当站在构建数学模型的高度认识和实施数学应用教学，侧重于培养学生能从实际问题中提出并用数学语言表述问题的能力，初步构建数学模型的能力，对数学问题进行变换化归并解决的能力，对数学结果进行检验、评价和阐释的能力等，在数学应用教学中要对以上各种能力的培养分步落实.

现以函数模型应用为例展开教学构想.

对于函数模型的应用，在学生能够用函数刻画现实生活问题的基础上，我们将函数应用分两个层次，第一层次是进行数学模型的套用，在高中阶段，指数函数、对数函数、一次函数、二次函数、幂函数、三角函数等都是重要的函数模型，很多实际问题都是这些模型的直接应用.

例1：某星级旅馆有300个标准房，经过一段时间的经营，经理得到一些定价和住房率（平均每天情况）的数据如下：

欲使每天的营业额最高，那么应如何定价？

分析：根据已知数据，可假设该旅馆客房的定价最高为160元，并且在各价位之间，房价与住房率二者存在线性关系.

现将实际问题化为数学问题：设旅馆一天的客房总营业额为y，与房价160元相比所降低的房价为20x元，因此当房价为（160-20x）元时，住房率为（55+10x）%，则

y=300×（160-20x）×（55+10x）%

解数学问题：由于（55+10x）%≤1，可得0≤x≤4.5.

问题转化为：求当0≤x≤4.5时，y的最大值.

y=300（-2x +5x+88），根据图像知y在x=1.25时取得最大值，此时房价定价为160-25=135（元），相应的住房率为67.5%，总营业额最大为27337.5元.

还原到实际中：欲使每天的营业额最高，该客房应定价为135元，当然，在实际中为了便于管理，定价140元也是合理的.

例2：请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥.试问当帐篷的顶点O到底面中心O 的距离为多少时，帐篷的体积最大？

这是生活中的优化问题，通过解答能让学生感受到数学在解决实际问题中的重要作用.

函数应用的第二层次是进行简单的数学建模，可以让学生思考如下问题：

例3：下表所示的是某地区不同身高的未成年男性的体重平均值：

若体重超过相同身高男性体重平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么这个地区的一名身高为175cm，体重为78kg的中学男生的体重是偏胖还是偏瘦？

在教学过程中，此例应让学生借助计算机作出散点图，进行数据拟合，让学生经历分析数据、构造函数模型（尝试寻找合适的函数进行描述问题中两个变量的关系）、检验模型等过程，从而培养学生的数据处理能力.

当然，数学模型的应用不能只局限于课堂上，而应该适当向课外延伸，如布置学生收集函数模型应用问题，并做分析与思考，写心得体会，教师组织学生开展交流活动，这样的作业可收到出人意料的效果.

参考文献：

[1]廖金祥.谈高中数学新课程教学应用问题的背景设计[J].福建教育学院学报，2008，12

[2]彭春春.对高中数学新教材中数学应用问题的几点思考[J].中学数学杂志，2008，7.endprint