注重课本习题导向，挖掘潜在问题

杨耀昇

不论是原《教学大纲》还是《新课程标准》，教材只是一种基本的教学素材，不是教学内容的全部体现.针对目前某些教师轻视课本教学的态度，不得不重作提醒：教师是教材的延拓者和开发者，创造性地使用教材，极尽所能地挖掘教材的潜在价值，对于练习题的探究，更有助于数学潜在内涵的挖掘，且高考并非陌生的化身.

1.揭示实际背景，增强数学实践性

在数学教学中，有意识地解释问题的实际背景，可提高学生的学习兴趣，培养学生的应用意识.

例1.已知a，b，m都是正数，且a （普通高中课程标准实验教科书（B必修5）P81例1）.在这个不等式中，蕴涵很多实际背景，如给一栋房屋的窗户和低平增加同样的面积，屋内的亮度是否增强；在一定量的糖水里加糖，糖水会更甜等.

例2.某批大米质量服从正态分布N（10，0.01）（单位kg）.任选一袋大米，它的重量在9.8kg～10.2kg内的概率是多少？（全日制普通高级中学教科书（试验修订本）第三册（选修Ⅱ）P35第3题）.本题是我们常面对的实际问题，如一班同学体重在某范围内的人数所占的比例；考试成绩在某分数段上所占的比例等，都属于我们生活中的常识问题，2004年、2007年分别出现在高考题里的正态分布问题与此题同出一辙.

2.一题多解，培养发散思维

课本上很多题目可施行一题多解，可以培养学生面对问题进行多角度思维，多渠道寻找解决办法，有助于思维的发散性和创造性培养.

例3.已知a，b，c，d都是实数，且a +b =1，c +d =1，求证：|ac+bd|≤1（全日制普通高中教科书（必修）第二册（上）p27例1）.此题可用综合法、分析法、反证法等不同的常规方法解决.

法1：将原式化为（ac+bd）≤（a +b ）（c +d ）（将1化为（a +b ）（c +d ）的形式.

法2：用反证法，若原命题不成立，则有|ac+bd|>1，即：

|ac+bd|>（a +b ）（c +d ）推出矛盾，问题得证.

法3：（换元法）设a=cosα，b=sinα，c=cosβ，d=sinβ.问题化为：|ac+bd|=|cos（α-β）|≤1.

法4：（向量法） =（a，b）， =（c，d），则 · =ac+bd，且| |=1，| |=1，

|ac+bd|=| · |=|| || |cos﹤ ， ﹥|≤| || |=1.

3.连接类似问题，可深化知识结构

在教科书上，不论例题还是习题，里面都有很多类似的问题，归纳总结，类比异同，有助于将零散的知识整体化，将个别问题深刻化.

例4.已知3sinβ=sin（2α+β），求证tan（α+β）=2tanα（全日制普通高中教科书（必修）第一册（下）P9十2习题9）.

例5.已知sinβ=msin（2α+β），且m≠1，α≠ ，α+β≠ +kπ（k∈Z）求证tan（α+β）= tanα（全日制普通高中教科书（必修）第一册（下）P93习题14）.比较上述两题，从特殊性到一般性，从简单到深刻，由此可让学生将其他类同的问题自己编写从简单到深刻的数学命题，收到举一反三的功效.同理，在下面的习题中，更显现圆锥曲线的类同规律和表示上的微妙之差异.

例6.设点A，B的坐标分别为（-5，0），（5，0）.直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是 ，求点M的轨迹方程（普通高中课程标准实验教科书（A选修2-1）P41例3）.

全日制普通高中教科书（必修）第二册（上）p108习题1：△ABC一边的两个端点是B（0，6），C（0，-6），另两边所在直线的斜率之积为 ，求顶点A的轨迹.与此相近的命题还有同册教材P56练习4：△ABC一边的两个端点是A（-6，0），B（6，0），另两边AC，BC所在直线斜率之积为- ，求顶点C的轨迹方程.

4.领悟课本编写的意图和习题规律

课程结构经数次改革后，对知识点的侧重点有了明确的划分，但很少因改革课程结构而将知识点遗忘.同时，更需要我们在课堂内外“忆古惜今”，在必要的时候大胆地将知识结构的外延扩大化.

例7.已知x=ρcosθ，y=ρsinθ，x≠0，求证：

（1）x +y =ρ ；（2）tanθ= （全日制普通高中教科书（必修）第一册（下）p28习题9）.本题将快要遗忘的极坐标运算重新纳入三角和几何范畴，让人们在不知不觉中感悟两种坐标形式的换算和某些解题方法的快捷与方便.

5.注重课本阅读材料与研究性学习材料

在现行教材与新课标教材中安排了很多课外阅读材料，它们渗透数学发展的历史、某些公式定理的起源、数学悖论及个别辅助性资料，认真阅读它们对于教师和学生无疑是一种很好的帮助，了解数学发展的规律性和个别问题与结论起源.如人类在很早以前，如何测量地球的半径（全日制普通高中教科书（必修）第一册（下）P140阅读材料）和我们今天如何借助斜三角形的性质，使用正弦定理和余弦定理解题是一脉相承的.杨辉三角的课本表述，《详解九章算法》、《释锁》算术记忆，让我们记住那段历史和某数学知识板块的发源.

6.注重课本概念会跨过解决难题的第一道门槛

例8.（2013辽宁高考）已知函数f（x）=（1+x）e 当x∈[0，1]时，求证：1-x≤f（x）≤ .

本考题在题目构造上是课本内容中常见的函数不等式证明，但在解答上有创意，关键在于恰当构造函数，要证1-x≤f（x）成立，即证（1+x）e ≥（1-x）e 成立，可构造函数h（x）=（1+x）e -（1-x）e ，将问题迁移为证明h（x） ≥0的问题.引发导数概念在不等式问题中的应用.

7.课本习题在不断回顾中展示数学问题

例9.如图，点D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，求证：AE，BF，CD相交于同一点G，且 = = = （点G叫做△ABC的重心）（全日制普通高中教科书（必修）第一册（下）P151习题8）.初中平面几何中三角形重心定理，在高中数学中的回顾，密切向量与三角的关联.

（塞瓦定理）：已知G为△ABC所在平面上任一点，联结AG，BG，CG.分别交线段BC，CA，BA（或所在直线）于D，E，F.则 · · =1.

证明（略）.可以看出例9与塞瓦定理有相似之处，或者说一个为另一个的特殊化.