物理学知识在数学教学中的应用

【摘要】本文从运动学角度引入带有拉格朗日型余项的泰勒公式，以此介绍物理学知识在数学教学中的应用。既解决了数学教学难点，又丰富了物理学科中直线运动的位移公式，使学生形象地理解记忆泰勒定理，激发学生学习数学的兴趣。

【关键词】泰勒定理直线运动的位移公式物理数学

【中图分类号】O13 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2014）06-0140-01

数学和物理是密不可分的.在数学学习过程中，学生能体会到用数学知识解决物理问题的过程，但很少体会到物理学知识在数学学习中的应用。本文就以直线运动的位移公式引入泰勒公式为案例，介绍物理学知识在数学教学中的应用。泰勒定理是大学一年级理工科学生必需掌握的内容，但很多学生不理解泰勒定理。为了让学生能顺利地理解这个定理，虽然很多同行对其教学方法做了大量探讨，但并没有从根本上解决问题。究其原因是：教师在教学中有意识地用多项式逼近的方法引出泰勒公式。对于学生来说，他们完全不了解这种形式的逼近性，老师将用多项式逼近函数的思想强加给了他们。所以，泰勒定理难理解就难在用逼近的思想引入。本文恰好突破这一点，不是刻意用多项式逼近函数，而是自然而然地转化到多项式逼近上。本文从运动学的角度演绎泰勒定理的形成，可謂是泰勒定理的再发现，使学生形象地理解记忆泰勒定理，丰富了物理学科中直线运动的位移公式，激发了学生学习数学的兴趣。

现假设一物体在时刻x0开始作直线运动，f(x)为物体在时刻x的位移。

若物体运动是匀速的，即速度f′(x)是常数，根据匀速直线运动的位移公式得：

f(x)=f(x0)+f′(x0)(x-x0) （1）

若物体作匀变速运动，即加速度f″(x)是常数，根据匀变速直线运动的位移公式得：

f(x)=f(x0)+f′(x0)(x-x0)＋■f″(x0)(x-x0)2 （2）

以上是学生在中学物理中已经熟悉的知识。

若物体作变加速运动，但加速度是均匀变化的，以下不妨称为匀变加速运动，即f?苁(x)≡f?苁((x0)，我们猜测物体运动的位移公式可能为：

f(x)=f(x0)+f′(x0)(x-x0)＋■f″(x0)(x-x0)2+■f?苁((x0)(x-x0)3（3）

下面来分析（3）式是否成立：

将（3）式对x逐次求导得：

速度函数：

f′(x)=■f′(x0)+■f″(x0)(x-x0)+■f?苁((x0)(x-x0)2，

加速度函数：

f″(x)=■f″(x0)+■f?苁(x0)(x-x0)，

加速度函数的导函数：

f?苁((x)=■f?苁(x0)。

这与f?苁(x)是常数矛盾，所以（3）式不成立。若上述求导过程中得到f?苁(x)≡f?苁((x0)，只需将（3）中■改为■，所以可对（3）式进行修正，正确的结果应该为：

f(x)=f(x0)+■f′(x0)(x-x0)＋■f″(x0)(x-x0)2+■f?苁((x0)(x-x0)3（3）′

这就是匀变加速运动的位移公式。弹簧振子的简谐振动、大气中不断焚毁的陨星就是典型的这类运动。其实若在f?苁(x)≡f?苁((x0)的两端从时刻x0到时刻x积分三次可直接得（3）′ 式，只是这个阶段学生还未学习积分知识。

显然若f（n+1）(x)=f（n+1）(x0)，则f(x)=f(x0)+■f′(x0)(x-x0)＋■f″(x0)(x-x0)2+…+■f(n)((x0)(x-x0)n+■(x-x0)n+1

进一步，若f(n+1)(x)不是常数，将f(n+1)(x0)换为f(n+1)(x)在[x0，x]上的最大值，等式右边的值比左边可能要大。相仿的，若将f(n+1)(x0)换为f(n+1)(x)在[x0，x]上的最小值，则等式右边的值比左边可能要小。所以应将f(n+1)(x0)换为f(n+1)(x)在[x0，x]上的介于最大值与最小值之间的值f(n+1)(ξ)，其中ξ∈[x0，x]，实际上，由导数的介值定理，可保证点ξ的存在。容易看到，当x≤x0时，结论也是成立的。这样，我们就得到了带有拉格朗日型余项的泰勒公式，以定理的形式给出：

泰勒定理如果函数f(x)在含有x0的某个开区间（a，b）内具有直到（n+1）阶的导数，则对任一x∈（a，b），有

f(x)=f(x0)+f′(x0)(x-x0)+■(x-x0)2+…+■(x-x0)n+Rn(x)（4）

其中Rn(x)=■f(n+1)(ξ)(x-x0)n+1，这里ξ是x0与x之间的某个值。

多年的教学实践表明，用这种方法引入泰勒公式很自然，不但让学生经历了数学发展的过程，而且使学生很容易接受泰勒定理，大大激发了学生的创造性思维、发散性思维，激发了学生学习数学的兴趣，体会物理学知识在数学学习中的应用，并在应用中丰富物理学知识。

参考文献：

[1]华东师范大学数学系. 数学分析(上册) [M]. 4版. 北京:高等教育出版社, 2010.137-142.

[2]同济大学数学系. 高等数学(上册) [M]. 6版. 北京:高等教育出版社, 2007.139-142.

作者简介：

姚海燕，女，1985年出生，汉族，山东阳谷人，助教，硕士，主要研究函数论方向。