地方院校线性代数的教学实践

卓泽朋，崇金凤，杜翠真，王 慧

（淮北师范大学 数学科学学院，安徽 淮北 235000）

线性代数是高等学校理工科专业一门基础数学课程，其基本概念、理论和方法具有很强的逻辑性、抽象性和广泛的应用性，对培养学生的计算能力、抽象思维能力和逻辑推理能力等方面发挥着重要的作用.随着我国高等教育的快速发展，地方院校的在校生人数急剧增加，诸多原因导致学生的素质参差不齐，给教师的教学带来了一定的困难.从教学实践看，由于线性代数学时较少、概念抽象，产生教师难教学生难学的现象.为此，相关专家、学者在线性代数的教学方面进行了深入探讨和研究，得到了丰富的研究成果［1-8］.文章结合我校线性代数的教学实际，以同济大学数学系编著的《线性代数》［9］为例，介绍笔者在多年来授课过程中的一些经验.

1 线性代数的教学现状

在我校，理学、工学、经济学、管理学的所有专业和部分文科专业开设线性代数，涉及专业达30个之多，表1列出我校各学院开设线性代数的情况.

表1 各学院开设线性代数课程

不可否认的是，目前我校线性代数教学存在不少问题，这些问题的产生既有教学方法和学习的原因，也有教材内容等方面的原因.为了体现“宽口径”的办学思想，各专业必须增设一些选修课程，从而使得一些重要基础课的课时被压缩，但教学内容却不能被删减，这直接导致“填鸭式教学”的加剧；现有的教材体系、教学内容对相关专业的交叉渗透不够充分，甚至没有应用类的习题，这导致学生不了解线性代数对后续专业课程学习有什么作用，产生线性代数在自身的专业中应用不深不广或没有用处的错觉等，影响专业课的学习质量；缺乏具有专业特色的线性代数的教学模式.

2 教学实践

2.1 知识结构的分析

我国现行的线性代数［9，11］教材中，内容主要涉及：行列式、矩阵、向量、线性方程组和二次型5部分，其中，线性方程组大一新生稍微熟悉，而其他内容都是第一次接触，所以很多学生把它们认为是5个孤立的小岛，学习起来非常困难.因此，在实际教学中，教师一定要分析5部分内容间的关系，让这些内容联系起来.认真思考，可以看到“线性方程组的求解问题”是一条主线，它们间的主要关系可以用图1给出：

图1 线性代数5部分内容的关系

由求解二元和三元线性方程组，引入了二阶和三阶行列式，在此基础上引入了n阶行列式的定义，并给出相关性质和计算方法；利用行列式，根据克拉默法则可以求解线性方程组.但是，该法则只适应于未知量个数等于方程个数且方程组的系数行列式不等于零的线性方程组，同时，计算量较大.而当系数行列式为零，或未知量个数不等于方程个数时，就不能使用克拉默法则，为此，将借助矩阵的行初等变换解一般的线性方程组.利用矩阵，齐次线性方程组的求解问题得到了解决，当齐次线性方程组有无限多解时，由于通解中的参数可任意取值，所以方程组的解要多少有多少，自然产生个问题：在无限多解中，解与解之间有无关系？有无规律可循？为了解决这个问题，自然地引出第4部分的向量，主要包括：向量的线性表示、向量组、向量组的线性相关性、最大无关组等概念，由此得到齐次线性方程组的基础解系，齐次和非齐次线性方程组解的结构.第5部分二次型和相关的特征值、特征向量问题是行列式、矩阵、线性方程组的应用.行列式和矩阵虽然在形式上有些类似，但它们的意义是截然不同的.一个行列式是一个确定的数或代数式，而一个矩阵仅是一个数表；行列式中的行数列数必须相同，矩阵的行数列数可以不同，但二者可以通过方阵的行列式、矩阵的子式等联系起来.

2.2 结合专业，设置例题

线性代数是信息安全、通信工程等专业的重要基础课，因此，在日常的教学过程中，根据自己的研究方向和学生的专业特点，设置具有一定专业特色的例题，以加强专业知识的渗透，让学生体会到线性代数在本专业的作用，从而提高他们学习线性代数的兴趣.如，在计算机与科学技术学院的信息安全专业，讲授矩阵的乘法和求逆时，设置的例题是Hill密码问题［12］.Hill密码是数学家Lester Hill于1929年研制的，它将明文分成m个字母一组的明文组，若最后一组不够m个字母就加上一些字母凑够m个字母，每个组用m个密文字母代换，这种代换由m个线性方程决定，其中字母a，b，…，z分别用数字0，1，…，25表示.若m=3，该系统可以用矩阵表示为：

或

其中C和P分别是密文向量和明文向量，K是密钥矩阵，操作要执行模26运算.例如，用密钥

来加密明文july.将明文分成两个组ju和ly，分别为（9，20）和（11，24），计算如下：

因此，july的加密结果为DELW.为了解密，必须先计算密钥矩阵K的逆矩阵

然后计算

因此，得到了正确的明文july.

设置这样的例题，不仅让学生直观地掌握矩阵相乘和求逆运算，而且了解一定的专业知识，提高了教学效果，同时也激发学生的学习兴趣.

2.3 MATLAB的引入

信息技术的飞速发展及计算机的广泛应用为大学理工科数学教学模式提出了新的改革思路，以提高学生的数学应用能力，达到学以致用.线性代数理论性强且计算繁琐，在教学中，如果只要求学生用笔算，既费时又易错，学生感到枯燥无味.因此，在教学中积极指导学生使用计算机，合理应用数学软件来完成繁杂的计算，提高学生的动手能力、计算能力和实践能力.

MATLAB 是一种功能强大的科学与工程计算软件，它的名字由“Matrix Laboratory”（矩阵实验室）的缩写而来，可见它的研究初衷是为了线性代数服务的，它具有以矩阵为基础的数学计算与分析功能、便捷的程序设计功能，是目前最好的科学计算软件.在教学中，在合适的时间为学生增加MATLAB的有关知识，主要包括MATLAB软件如何解决线性代数中的问题和MATLAB中线性代数基本的运算命令，并要求学生上机实验，让学生切身感受到MATLAB软件的强大功能.因此，将在今后的线性代数教学中，增加一定的上机实验课时，更好地提高教学效率和质量，提高学生应用软件的能力，实现理论和应用的有机结合，为学生今后的工作打下良好的基础.文献［11］的最后一章给出MATLAB简述与应用，在国内的教材中还是为数不多的，这为我们开设上机课，提供了方便.

2.4 传统教学与多媒体教学的有机结合

线性代数中，行列式、矩阵和方程组书写费时费力，且占用较多的空间，传统的“黑板+粉笔”式的教学，导致繁重的板书任务占据教师不少的课堂时间.因此，在实际教学中，适当地使用多媒体教学，减少教师的板书时间，有更多的时间进行讲解和分析，学生有更多的时间去思考，从而优化课堂教学，提高课堂教学效率.现行的线性代数教材都有配套的课件，但基本上都是教科书的翻版，缺乏一定的灵活性和特色.针对这种情况，我校线性代数课程组的全体老师在认真备好教材的基础上，在某些知识点的讲授中，结合学生的知识水平和专业特点，制作了具有一定特色的课件.如，在进行行列式、矩阵和线性方程组等内容的教学中，利用多媒体教学可以节约很多的课堂时间，提高课堂的教学效率.当然，多媒体教学能调节演示内容的快慢与多少，可以根据上课进度自行控制，计算的正确性已在课下准备过程中得到验证，不仅保证较高的准确性，还提高效率，可以在有限的时间内向学生传达更多的内容和信息.在进行第四章和第五章关于向量有关知识的教学中，由于向量组线性相关性的判定、推导和证明，逻辑性强，用传统的教学方式，更易讲清知识的内在联系，学生易于接受.

2.5 实行教考分离

教考分离一直是我校高等数学和线性代数课程实行的考试制度.任课教师不参与课程的期末试卷的命题、试卷分析，严格实行流水阅卷，借助学校的教务系统，建立一套包括试卷库、考试分析和成绩管理等各种制度完整的考核系统.通过实行教考分离，使教师自觉地按照课程教学大纲进行教学，注重教学研究，主动改进教学方法，力求好的教学效果；使学生树立端正的学习态度，努力学习并掌握课程的基本内容、重点内容，经受课程学习结束后的考试检验，形成重教重学的良好氛围，从而提高教学质量.

3 建议

3.1 教师的自身水平

教学的主体是学生，教师为主导，搞好教学的关键在于要有一支高素质的教师队伍，这不仅要求教师具备较高的知识水平，而且要有敬业精神.在众多高校，线性代数的任课教师都是出身数学专业，他们要面对整个学校开设该课程的所有本科生，虽然这些教师拥有较高的数学知识，但缺乏相应专业知识的了解，从而导致在教学中针对性不强.为了改变这种情况，建议邀请相关专业资深教师对线性代数的任课教师进行培训，主要介绍线性代数在该专业的具体应用.同时，每年在安排教学任务时，相关专业的线性代数任课教师尽量固定，这样任课教师能充分地了解学生的专业特点，从而在备课中更具有针对性，真正做到因材施教.经过一定时间的积累，这些任课教师的教案可以形成具有专业特色的线性代数讲义，以供后来的教师和学生使用和参考.

3.2 教材建设

要积极进行地方院校的线性代数教材建设，编写适合地方院校实际的教材.关于线性代数的教材问题，文献[3，15]比较和分析中外线性代数的区别，从中可以看出，国内线性代数教材内容和系统比较完整、理论性强、结构严谨、逻辑清晰、叙述详细；而国外教材与国内教材相比，其内容紧密结合生产生活实际、信息量大、较强的时代感和现代性、习题内容丰富、新颖等特点，这也是地方院校在线性代数教材的改革中要注意的问题.

虽然现在出版一些面向地方院校的线性代数教材，但这些教材的水平参差不齐，有的具有一定的功利性，如为了评职称；同时，即使有好的教材，在地方院校由于评估等种种原因也很难推广，而不得选择面向重点高校的规划教材.我校目前使用的线性代数教材［9］，是国内高校广泛使用、考研指定参考书目,经过多年教学实践的检验和多次修订，在内容、结构、应用等各方面都更加成熟和完善，具有一定的特色，概念引进时尽量做到简明、自然和浅显；教材淡化了定理的推导；强调了方法的训练、简明扼要，赢得多数教师和学生的喜爱［15］.但必须看到，在使用这些教材的高校中，有很多是重点高校.而地方院校无论是生源还是培养目标及学校的地位都不同于重点高校，绝大多数毕业生都将直接走向社会，因此在整个教学过程中必须强调知识产生和应用，使学生掌握知识的实际运用，才符合地方院校学生的培养目标.

4 结语

“数学正突破传统的应用范围向几乎所有的人类知识领域渗透，并越来越直接地为人类物质生产与日常生活做出贡献.同时，数学作为一种文化，已成为人类文明进步的标志”［16］.作为地方院校的数学工作者，肩上担负着重要的责任，我们一定要结合学校和学生实际，培养学生的数学素质，为他们终身学习打基础、做准备.

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