Gorenstein合冲模的扩张封闭性

杨星星

（宿州学院 数学与统计学院，安徽 宿州 234000）

本文中，设R是左—右Noether 环，modR(modRop)表示由有限生成左R模（或右R模）组成的模范畴.众所周知，合冲模类具有很好的性质，对于任意正整数n，合冲模类都是函子有限的；另外，Auslander等［1］给出了诺特环上的合冲模与挠自由模的关系，并探讨两模类的扩张封闭性；Huang［2］研究了相对合冲模类的扩张封闭性；文［3］引入Gorenstein合冲模（以下简称G-合冲模）的概念，给出了G-合冲模类与挠自由模类的关系.本文探讨G-合冲模类的扩张封闭性（即：如果modR中正合列0 →A→B→C→0，若A，C是G-合冲模，则B是G-合冲模）.

先来回顾一些后面要用到的基本知识.

我们把HomR(M,R)表示为M∗.对于一个左（或右）R模M，设：σM:M→M∗∗为M的典范同态，如果σM是单态射，模M为无挠的；如果σM是同构，模M为自反的.对于正整数k，模M∈modR为k-挠自由模，如果Exti R(TrM,R)=0，(1＜i≤k)，其中 TrM是模M的转置［2］.易知：1- 挠自由模是无挠模，2- 挠自由模是自反模.本文用Tn(modR)表示由全体n-挠自由模组成的全子范畴.

定义1模M∈modR（或M∈modRop）被称为Gorenstein 投射的（简称G- 投射），如果满足（1）M是自反的.

定义2[4]对任意正整数n，模A∈modR,叫做左R模M的n-Gorenstein 合冲模，如果modR存在正合列 0 →A→Gn-1→ …G1→G0→M→0，其中所有的Gi都是G- 投射的.本文用G-Ωn(modR)表示全体n-Gorenstein合冲模组成的全子范畴，对偶地表示为G-Ωn(modRop).

定义3设M∈modR，i为任意非负整数，如果对任意 0≤j＜i，有ExtRj(M,R)=0，则称模M的级数不小于i，记为GradeM≥i；如果对M的任意子模N都有GradeN≥i，则称模M的强级数不小于i，记为s.GradeM≥i.

显然，若s.GradeM≥i，则GradeM≥i，反之不成立.

引理4［5］下列陈述等价：

（1）对任意M∈modR，有GradeExtiR+1(M,R)≥i，其中1≤i≤k-1；

（2）对任意的1≤i≤k，有G-Ωi(modR)=Ti(modR).

下面给出G-Ω1(modR)的扩张封闭的结论.

定理5对任意N∈G-Ω1(modR)，以下陈述等价：

（1）s.GradeExt1R(N,R)≥1；

（2）对 modR中的正合列 0 →L→M→N→0，若L∈G-Ω1(modR)，则M∈G-Ω1(modR).

证明（1）⇒（2），对正合列应用典范同态σX:X→X∗∗，则容易得到如下交换图：

已知L，N∈G-Ω1(modR)，于是σL和σN都是单的，由交换图可知：若f∗∗:L∗∗→M∗∗是单的，则可得σM是单的.事实上，对正合列，函子扩张后有如下正合列：

令K=co kerf∗，显然K为Ext1R(N,R)的子模，已知（1）中s.GradeExt1R(N,R)≥1，于是Hom(Ext1R(N,R),R)=0，即K∗=0，于是有，得f∗∗是单的，得证.

（2）⇒（1），设K为Ext1R(N,R)的任意子模，要证：s.gradeExt1R(N,R)≥1，只需证：K∗=0 即可.因为Ext1R(N,R)∈ modRop，则K为Ext1R(N,R)的有限生成子模，已知（2）中的正合列 0 →L→fM→gN→ 0 通过函子扩张以后有是正合的，因此,有下面的正合列交换图：

由交换图易知：K∗=0，于是有s.GradeExt1R(N,R)≥1.

引理6［2］以下陈述等价：

（1）对任意M∈modR，s.GradeExt1R(M,R)≥i，(1＜i≤k)；

（2）对任意的1＜i≤k，有Ti(modR)是扩张封闭的.

下面给出本文的主要定理：

定理7对正整数k，有1＜i≤k，以下陈述等价：

（2）G-Ωi(modR)是扩张封闭的；

（3）G-Ωi(modR)是扩张封闭的，且G-Ωi(modR)=Ti(modR).

证明（1）⇒（2）：由（1）中，则由引理 4 可得：G-Ωi(modR)=Ti(modR)，1＜i≤k.设：N∈Ti(modR)，于是N∈G-Ωi(modR)，且在 modR中存在正合列：0 →N→Gi-1→ …G0→M→0，其中所有的Gi都是G-投射模，那么：M∈G-Ω-i(modR).所以由（1）可得于是由引理6可得：对任意的1＜i≤k，有Ti(modR)是扩张封闭的，从而G-Ωi(modR)是扩张封闭的.

（2）⇒（3）：K=1 显然，现设K≥2，利用数学归纳法，假设结论在 1＜i≤k-1 时成立，即有：G-Ωi(modR)=Ti(modR)且G-Ωi(modR)是扩张封闭的，于是在modR中存在正合列：，其中所有的Gi都是G- 投射模，可得：Imfi∈G-Ωi(modR)=Ti(modR)，1＜i≤k-1，且有：，由G-Ωi(modR)在 1＜i≤k-1 是扩张封闭的，可知在1＜i≤k-1时,有Ti(modR)是扩张封闭的.由引理5有：对1＜i≤k-1,有：

再由引理4可得：

（3）⇒（1）：由于G-Ωi(modR)是扩张封闭的，且G-Ωi(modR)=Ti(modR)，于是对1＜i≤k，Ti(modR)是扩张封闭的，于是由引理5 可得：s.gradeExt1R(N,R)≥i，1＜i≤k，N∈modR，还由正合列 0 →N→Gi-1→ …G0→M→0 可知：s.gradeExtiR+1(M,R)≥i且M∈G-Ω-i(modR)，得证.

推论8对正整数k，有1＜i≤k，以下陈述等价：

（1）s.gradeExtiR+1(M,R)≥i，M∈modR；

（2）G-Ωi(modR)是扩张封闭的；

（3）G-Ωi(modR)是扩张封闭的，且G-Ωi(modR)=Ti(modR).

［1］AUSLANDER M，REITEN I.Syzygy module for Northerian rings［J］.Journal of Algebra，1996，183（1）：163-185.

［2］HUANG Z Y.Extension closure of relative syzygy module［J］.Science in China（Series A）,2003，46（5）：611-620.

［3］黄宠辉,谭良,蔡秋娥.Noether环上的Gorenstein合冲模［J］.南华大学学报，2008,22（3）：26-28.

［4］HUANG C H，HUANG Z Y.Gorenstein syzygy module［J］.Journal of Algebra,2010,324：3408-3419.

［5］AUSLANDER M，BRIDGER M.Stalble module theory［M］.Memoirs Amer Math Soc，Providence：AMS,1996.

［6］AUSLANDER M，REITEN I.K-Gorenstein algebras and syzygy module［J］.Pure and Appl：Algebra,1994，92（1）：1-27.