anghenjing变量关系图在多元复合函数求导中的应用

邵 艺

（西华师范大学数学与信息学院，四川南充637009）

anghenjing变量关系图在多元复合函数求导中的应用

邵 艺

（西华师范大学数学与信息学院，四川南充637009）

利用变量关系图直观反映多元复合函数中各变量之间的关系，给出了变量关系图的使用方法，并结合实例加以说明，使多元复合函数的求导变得简单明了.

变量关系图；多元复合函数；导数

0 引言

多元复合函数求导是微积分的重点和难点，如何突出重点，突破难点，在文献［1］中做了一定的介绍；对多元复合函数求导的方法而言，很多文献也对此做了一定的介绍，如文献［2］［3］中直接利用链式法则写出微分表达式，这种方法理论性太强，不直观，在实际应用中有一定难度；文献［4］、［5］、［6］中分别采用“树状图”、“网状图”、“路径图”来表示函数各变量间的关系，再用链式法则写出微分表达式，虽然借助“图形”反映出了变量的关系，但各变量之间缺乏方向感，容易弄混淆.为此，找到一种形象的、易于理解掌握的、使用方便的且能够适应所有多元复合函数求导情形的方法就显得尤其重要.变量关系图就是能够达到以上要求的用于解决多元复合函数求导的一种非常好的方法.本文将结合笔者多年的教学经验，将变量关系图的使用方法进行梳理、总结和改进，并加以具体的应用.

1 变量关系图的使用方法及实例分析

1.1 变量关系图的使用方法

（1）描点：将所有涉及到的变量用点表示；

（2）连线：将每层函数的因变量和自变量所表示的点用有向线段连接，方向为因变量指向自变量；

（3）定量：即确定最终的自变量，无有向线段指出去的变量即为最终自变量；

（4）定项：即确定最终自变量偏导（或导数）的项数，对最终自变量求偏导（或导数）的项数由指向该最终自变量的有向线段的条数决定，每项的具体形式由到达该自变量的路径决定.

1.2 变量关系图的实例分析

情形Ⅰ 函数关系为：z＝f（u，v），u＝φ（x，y），v＝ψ（x，y）的情形.

变量关系图如图1，由图可知：

图1

①x，y两变量处无有向线段出去，x，y为最终自变量；

②变量x处有两条有向线段进来，分别通过u和v，所以对x求偏导有两项；同理对y求偏导也有两项.于是有

例1 求z＝（x2+y2）xy的偏导数.

解：令u＝x2+y2，v＝xy，则z＝uv，变量关系图如图1，则

情形Ⅱ 函数关系为：z＝f（u，v），u＝ φ（x），v＝ψ（x）的情形.变量关系图如图2，由图可知：

图2

①变量x处无有向线段出去，x为最终自变量；

②变量x处有两条有向线段进来，分别通过u和v，所以对x求导有两项.于是有

例2 已知z＝u2—v2，u＝sinx，v＝cosx，求.

解：变量关系图如图2，则

情形Ⅲ 函数关系为：z＝f（u），u＝φ（x，y）的情形.

变量关系图如图3，由图可知：

图3

①变量x，y两处无有向线段出去，x，y为最终自变量；

②变量x处有一条有向线段进来，通过u，所以对x求偏导有一项；同理对y求偏导也有一项.于是有

解：变量关系图如图3，则

Ⅳ其它情形 由于情形多样，不便于归纳总结，仅以实例加以说明.

例4 已知u＝ln（ex+ey），y＝x3，求

图4

分析：变量关系图如图4，由图可知，变量x处有两条有向线段进来，分别由u经过v进来和由u经过v再经过y进来，所以对x求导有两项.

解：令v＝ex+ey，则u＝lnv，

例5 设u＝f（x，y，z），z＝φ（x，y），求u＝ f［x，y.φ（x，y）］的偏导数（）和（）.yx

图5

分析：变量关系图如图5，由图可知，变量x处有两条有向线段进来，分别通过u直接进来和由u经过z进来，所以对x求偏导有两项；同理对y求偏导也有两项.

［1］陈顺请.数学分析教学改革谈——省级精品课程《数学分析》建设探讨［J］.四川文理学院学报，2009（2）：73—76.

［2］同济大学数学系.高等数学：下册［M］.北京：高等教育出版社，2007：76—79.

［3］四川大学数学院高等数学教研室.高等数学：第二册·物理类专用［M］.北京：高等教育出版社，2009：95—97.

［4］华东师范大学数学系.数学分析：下册［M］.北京：高等教育出版社，2010：126—128.

［5］张锦炎，周建茔.高等数学·生化医农类：下册［M］.北京：北京大学出版社，2002：32—35.

［6］余海燕.多元函数求导的图示教学法探讨［J］.九江学院学报，2011（1）：122—123.

［责任编辑 范 藻］

Figure Variables Used in Derivation of Complex multi—function

SHAO Yi

（Mathematics andInformation College of China West Normal University，Nanchong Sichuan 637009，China）

The paper uses figure variables reflect the relationship between variables in the multivariate composite function intuitively，gives the using method of figure variable，illustrates with examples and makes the derivation of multiple com—posite function become straightforward.

Variables figure；complex multi—function；derivation

O174.56

A

1674—5248（2014）05—0022—03

2014—04—26

邵艺（1982—），女，上海人，讲师，主要从事灰色系统理论研究及高等数学教学与科研.