基于余切函数的数据弱化处理方法

苏海军

（西华师范大学数学与信息学院，四川南充637009）

基于余切函数的数据弱化处理方法

苏海军

（西华师范大学数学与信息学院，四川南充637009）

构建了以余切函数为基础的弱化缓冲算子；通过实例说明该算子能有效弱化数据，消除冲击扰动因素对原始数据的干扰，提高GM（1，1）模型在冲击扰动系统中的模拟和预测精度.

余切函数；弱化缓冲算子；GM（1，1）模型

0 引言

灰色系统理论是研究系统信息未完全知晓的“小样本、贫信息”的不确定性系统.［1］通过对系统中已知信息的分析，找出其内在的规律，用以预测未知的信息，然而面对复杂多变的系统表象，选择何种方法对已知信息进行充分的挖掘和利用，邓聚龙教授在文献［2］中做了一定的阐述.但在实际的预测过程中，常常因为系统的原始数据受到外界环境的影响而导致预测效果不佳，刘思峰教授在文献［3］、［4］中采用了冲击扰动系统和缓冲算子来解决此类问题，经过大量的实践证明，缓冲算子理论能有效解决因系统受到外界干扰而导致预测效果不理想的问题.然而，许多的缓冲算子（如文献［1］、［5］、［6］、［7］）都是利用均值来构建的，所构建的缓冲算子不但形式较为繁杂，而且计算过程较为繁琐.

针对上述问题，本文另辟蹊径，构建了一类以余切函数为基础的弱化缓冲算子.实例证明，该弱化缓冲算子能有效弱化数据，消除冲击扰动因素对原始数据的干扰，提高GM（1，1）模型在冲击扰动系统中的预测精度，而且过程简洁.

1 基本概念及性质

为了叙述方便，我们将缓冲算子的相关概念、基本性质概述如下：

定义1［1］设系统行为数据序列为X＝（x（1），x（2），...，x（n）），对∀k＝2，3，...，n，都有x（k）—x（k—1）＞0，则称X为单调增长序列，反之则称X为单调衰减序列.

定义2［1］设D为作用于系统行为数据序列X的算子，D作用X后的算子序列记为XD＝（x（1）d，x（2）d，...，x（n）d），称D为序列算子，称XD为一阶算子作用序列.

若D1，D2，D3，....，Dn皆为序列算子，称D1D2为二阶算子，并称XD1D2＝（x（1）d1d2，x（2）d1d2，...，x（n）d1d2）为二阶算子作用序列.同理可得三阶算子作用序列，四阶算子作用序列……n阶算子作用序列.

定义3［1］设D为作用于系统行为数据序列X的算子，若满足：

（1）x（n）d＝x（n）（不动点公理）；

（2）X中的每一个数据x（k），k＝1，2，...，n都充分参与算子作用的全过程（信息充分利用公理）；

（3）任意的x（k）d，k＝1，2，...，n皆由一个统一的x（1），x（2），...，x（n）的初等解析式表达（解析化、规范化公理）；则称D为缓冲算子.

定义4［1］设D为作用于系统行为数据序列X的算子，当X分别为单增（减）序列时，若序列XD比序列X的增长（衰减）速度减缓，则称D为弱化缓冲算子.

性质1［1］设XD1为单增序列X的缓冲序列，D1为弱化缓冲算子的充要条件是x（k）≤x（k）d1（k＝1，2，...，n）.

性质2［1］设XD2为单减序列X的缓冲序列，D2为弱化缓冲算子的充要条件是x（k）≥x（k）d2（k＝1，2，...，n）.

2 基于余切函数的弱化缓冲算子构建

定理 设系统原始行为数据序列为X＝（x（1），x（2），...，x（n）），x（k）＞0，k＝1，2，...，n，令XD＝（x（1）d，x（2）d，...，

x（n）d），其中x（k）d＝f（x（k））·cot（g（x（k））），且f（x（n））＝x（n），cot（g（x（n）））＝1，f（x（k）），g（x（k））关于x（k）单增，那么，

（1）当｛x（k）｝关于k单增，0＜x（k）≤f（x（k）），0＜g（x（k））≤时，则D为弱化缓冲算子.

（2）当｛x（k）｝关于k单减，0＜f（x（k））≤x（k），≤g（x（k））＜时，则D为弱化缓冲算子.

证明：容易验证D满足定义3，所以D为缓冲算子.

（1）当｛x（k）｝关于k单增，f（x（k）），g（x（k））关于x（k）单增，0＜x（k）≤f（x（k）），0＜g（x（k））≤时，则

所以，x（k）d≥x（k），故D对单调增长序列为弱化缓冲算子.

（2）当｛x（k）｝关于k单减，f（x（k））、g（x（k））关于x（k）单增，0＜f（x（k））≤x（k），≤g（x（k））＜时，则

所以，x（k）d≤x（k），故D对单调衰减序列为弱化缓冲算子.

证明：验证上述f（x（k））、g（x（k））满足定理中条件即可.

注：推论中的f（x（k））、g（x（k））可以取任意满足定理对应条件的函数.

3 实例

以文献［8］中某市1999—2005年工业总产值数据（394.13，498.27，580.43，640.21，702.34，708.86，716.95）（单位：亿元）作为系统行为数据初始序列，用以检验弱化缓冲算子在扰动系统预测中的应用.

用1999—2003年的总产值作为建模数据，而2004、2005年的总产值作为模型检验数据.由前5年的总产值可知，年平均增长率达到了16%.很明显，以后的增长速度不可能继续保持，显然不能直接用来作为建模数据进行预测.究其高增长的原因，主要是在工业发展的前期，上级政府给予了政策扶持.随着时间的推移，上级政府将逐步取消政策扶持，工业发展速度显然要减慢.要预测工业总产值发展趋势，必须消除前期特殊政策带来的影响，为此需对原始数据序列进行弱化处理.

以此弱化缓冲算子对原始数据（1999—2003年）：X＝（394.13，498.27，580.43，640.21，702. 34）进行二阶弱化，得到新的弱化数据序列为：XDD＝（657.67，685.10，696.63，700.81，702. 34）

用上述X，XDD的数据分别建立GM（1，1）模型：

对应的时间响应式为：

通过计算得到1999—2003年的拟合总产值及2004—2005年的预测总产值，计算结果如表1，表2.

表1 拟合数据及效果对比

表2 预测数据及效果对比

4 结束语

由表1可以看出，应用原始数据序列和弱化数据序列建立GM（1，1）模型，后者模拟效果要优于前者.由表2可以看出，用原始数据序列直接建模进行预测，效果不理想，误差很大，平均误差超过了10%；用本文的二阶弱化算子作用原始数据后再建模，取得了很好的预测效果.因此本文所提出的弱化缓冲算子有一定的实用性.

［1］刘思峰，党耀国，方志耕，等.灰色系统理论及其应用［M］.北京：科学出版社，2010：69.

［2］邓聚龙.累加生成灰指数律［J］.华中理工大学学报，1987（5）：7—12.

［3］Liu S F.The Three Axioms of Buffer Operator and Their Application［J］.The J of Grey System，1991（1）：39—48.

［4］刘思峰.冲击扰动系统预测陷阱与缓冲算子［J］.华中理工大学学报，1997（1）：25—27.

［5］党耀国，刘思峰，刘 斌，等.关于强化缓冲算子的研究［J］.控制与决策，2005（12）：1332—1336.

［6］关叶青，刘思峰.基于不动点的强化缓冲算子序列及其应用［J］.控制与决策，2007（10）：1189—1192.

［7］吴征鹏，刘思峰，米传民.基于单调函数的若干实用强化缓冲算子的构造［J］.系统工程，2009（5）：124—126.

［8］中国统计局.中国统计年鉴［Z］.北京：中国统计出版社，1999—2005.

［责任编辑 范 藻］

Data Weakening Method Based on Cotangent Function

SU Hai—jun

（Mathematics andInformation College of China West Normal University，Nanchong Sichuan 637009，China）

Using the cotangent function to construct new kind of weakening buffer operators.The example expresses that the new weakening buffer operator can weaken the data effectively，eliminates the impact factors on the original data，and raises the simulation and forecasting accuracy of GM（1，1）in the shock disturbed system.

cotangent function；weakening buffer operator；GM（1，1）model

O174

A

1674—5248（2014）05—0007—03

2014—01—16

四川省教育厅2013年度一般项目“灰色系统模型的优化及数据预处理应用研究”（13ZB0013）

苏海军（1980—），男，四川广安人.讲师，硕士，主要从事灰色系统理论研究.