非负矩阵Hadamard积的特征值估计

黄守德

（阿坝师范高等专科学校数学与财经系，四川阿坝623002）

非负矩阵Hadamard积的特征值估计

黄守德

（阿坝师范高等专科学校数学与财经系，四川阿坝623002）

非负矩阵的Hadamard积是矩阵分析理论研究中的一个重要问题.对于两个非负矩阵A和B的Hadamard积，给出了谱半径的一个新的上界估计方法.

非负矩阵；Hadamard积；特征值

0 引言

非负矩阵Hadamard积在计算数学、经济学、控制论等领域中有着十分广泛的应用.［1—3］而许多情况下都涉及到非负矩阵Hadamard积特征值的估计问题.对于这个问题，许多学者做出了比较好的结果.本文继续对这个问题进行研究，并得到了一个新的上界估计式.数值算例表明，本文所得结果比现有的一些结果更加精确.

1 预备知识

定义1［1］设矩阵A＝（aij）∈Rn×n，若对于任意i，j∈N，都有aij≥0，则称A是非负矩阵，记作：A≥0，而对于非负矩阵A＝（aij）∈Rn×n，记N＝A—D，其中D＝diag（aii），i∈N.令

定义2［1］由矩阵A＝（aij）∈Cn×n的所有特征值λ1，λ2，…，λn组成的集合称为A的谱，记为σ（A），即：σ（A）＝｛λi，i＝1，2，…，n｝，称ρ（A）为A的谱半径.

定义3［2］设Cn×n，用A°B表示A，B的对应元素相乘后组成的n×n矩阵，即：A°B＝（aijbij），称其为矩阵A，B的Hadamard积.

定义4［2］对于A＝（aij）∈Rn×n，k≥0，称矩阵Ak＝（）∈Rn×n是矩阵A的k次Had—amard幂，特别地，对于x＝（xi）∈Rn，k≥0，有xk＝（）∈Rn

2 ρ（A°B）的一个新的上界估计

在本节，将给出两个非负矩阵A和B的ρ（）A°B的一个新的上界，为了方便后文的论证，首先给出以下两个引理.

引理1 设A＝（aij）∈Rn×n，B＝（bij）∈Rn×n，且D，E∈Rn×n都是对角矩阵，则：

D（A°B）E＝（DAE）°B＝（DA）°（BE）＝（AE）°（DB）＝A°（DBE）.

设A＝（aij）∈Rn×n是一个非负矩阵，则：

定理1 设A＝（aij）∈Rn×n，B＝（bij）∈Rn×n，A≥0，B≥0.于是：

（1）若对于∀i∈N，都有aiibii≠0，则：

（2）若存在i0≠j0，使得ai0i0≠0，aj0j0≠0，或者bi0i0≠0，bj0j0≠0，但对于∀i∈N，有aiibii＝0，则

（3）若对于任意i∈N，有aii＝0，bii＝0，则

（4）若存在i0≠j0∈N，使得ai0i0bi0i0≠0，aj0j0bj0j0≠0，则

ρ（A°B）≤max｛T1，T2，T3｝，其中T1≤max

证明：当k＝1时，上述定理就是文［5］的定理3.因此当k＝1时上述定理成立.

当k＝2时，对于n＝1上述定理显然成立，下证当n≥2时结论成立.

a.假定矩阵（A°B）是不可约的，则矩阵A，B都是不可约的，显然JA，JB也是非负不可约的，所以J（2）A，J（2）B均为非负不可约矩阵.故存在正向量使得，且

U＝diag（u1，u2，…，un），V＝diag（v1，v2，…，vn），

所以根据引理2以及Holder不等式可得

因此，综上可得定理1的结论成立.

b.假定矩阵A°B是可约的，此时定义矩阵G＝（gij），g12＝g23＝…＝gn—1n＝gnn＝1，其余gij＝0.任意给定的正实数ε矩阵A+εG，B+εG都是不可约非负矩阵，所以将第（1）种情况中的矩阵A，B分别用矩阵A+εG，B+εG代替，并令ε→0即得结论.

3 数值算例

利用MATLAB7.1，计算可得ρJ（）A＝0. 8128，ρ（JB）＝1.1258，ρ（）＝0.3407， ρ（）＝0.6263，ρ（A°B）＝6.3365.由文献［4］的定理6可得ρ（）A°B≤11.5266；由文献［5］的定理3可得ρ（）A°B≤9.6221，根据本文的定理1可得ρ（）A°B≤7.3620.于是本文所得结论比文献［4］和文献［5］所得结论更加精确.

［1］R.A.Horn，C.R.Johnson.Matrix Analysis［M］.Cambridge：Cambridge University Press，1985：165—180.

［2］R.A.Horn，C.R.Johnson.Topics in Matrix Analysis［M］.Cambridge：Cambridge University Press，1991：101—125.

［3］顾幸生，刘漫丹，张凌波.现代控制理论及应用［M］.上海：华东理工大学出版社，2008：55—60.

［4］R.Huang.Some inequalities for the Hadamard product and the Fan product of Matrices［J］.Linear Algebra Appl，2008（428）：1551—1559.

［5］Q.B.Liu，G.L.Chen.Some new bounds on the spectral radius of Matrices［J］.Linear Algebra Appl，2010（432）：936—948.

［责任编辑 范 藻］

An Eigen Value Estimation of Non—negative Matrix Hadamard

HUANG Shou—de

（Mathematics and Finance Department ofAba Teachers College，Aba Sichuan 623002，China）

The product of non—negative matrix Hadamard is an important study in the matrix analysis theory.From there，a new upper—estimation method of spectral radius is given for the Hadamard product of two non—negative matri—ces A and B.

non—negative matrix；Hadamard product；Eigen value

O151.21

A

1674—5248（2014）05—0019—03

2014—01—08

阿坝师范高等专科学校2013年度青年基金项目“矩阵特征值的上下界估计”（ASC13—13）

黄守德（1986—），男，四川自贡人.助教，硕士，主要从事数值代数方向研究.